Formule du binôme de Newton

Formule du binôme de Newton - Correction
Exercice 1
1) Quel est le coefficient de dans le développement de 2 puis de 5 ?
On a de façon générale :
2
Le coefficient de est donc
8
2
8
2 28 4 112
6
On a de façon générale :
5
7
5
Le terme s’obtient quand 3. On a donc comme coefficient de ce terme :
7
5 21875
3
2) Quel est le coefficient de dans le développement de ?
On a de façon générale
10
On obtient le terme en prenant 3.
Ce terme apparaît dans le binôme sous la forme :
10
10
3
3
Le coefficient de est donc
10
120
3
3) Quel est le coefficient de dans le développement de 2 ?
On a de façon générale :
2 13
2 On obtient le terme en prenant 6.
Ce terme apparaît dans le binôme sous la forme :
13
13
2 2 6
6
Le coefficient de est donc
13
2 109824
6
Exercice 2
1) Effectuer le développement de 1 # par la formule du binôme de Newton (on conservera les
coefficients binomiaux sans chercher à les simplifier).
On a de façon générale :
1 #
#
4
4
4
4
4
4
#
0
1
2
3
4
2) Quel est le coefficient de # dans le développement de 1 # 1 # (on ne simplifiera pas la
somme de produits que l’on obtient)
Les termes en # dans le développement de ce produit sont obtenus par le produit de termes dont les
exposants des « » ont pour somme 4.
On aura donc
4 4
4
4
4
4
4
4
4
4
# # 0 4
1
3
2
2
3
1
4
0
Ce qui donne
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
$ % #
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
3) Quel est le coefficient de # dans le développement de 1 ?
On a de façon générale :
8
1 Le terme en # de cette somme a pour coefficient :
8
4
4) En tenant compte de la symétrie des coefficients binomiaux, démontrer que
4 4 4 4 4 8
0
1
2
3
4
4
Puisque 1 # 1 # 1 , on a :
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
8
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
4
On sait que pour tout ' 4 :
4
4
4
Donc
4 4 4 4 4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
4 0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
0
1
2
3
4
Et donc
4 4 4 4 4 8
0
1
2
3
4
4
5) Généralisation :
En remarquant que 1 ( 1 ( 1 ( , montrer que l’on a
(
* 2*
) + *
On a de façon générale
(
*
1 ) + (
(
Le coefficient du terme dans le produit 1 1 ( est égal à la somme de tous les coefficients
des produits des termes du type par ( où varie de 0 à *.
Ce coefficient est égal à
(
*
*
) +)
+
*
(
Or
1 ( 1 ( 1 (
Et
(
2*
2*
Le coefficient de ( dans cette somme est égal à ) +.
*
On en déduit que
(
*
*
2*
) +)
+ ) +
*
*
*
*
Et en tenant compte de l’égalité ) + )
+:
*
(
* 2*
) + *
1 (
6) On veut calculer
(
* . ) +
Justifier que :
(
* . * ) +
En déduire 2., puis ..
On a en posant * /,
(
(
0(
0
* * * . ) + * / * / *
/
/
Soit en repassant à la variable .
On a donc
(
(
(
* . * ) +
* * 2. ) + * ) +
(
*
* ) + * ) +
(
(
(
* * * * ) + * ) + * ) + On en déduit que
2* 1!
1 2*
1 2*! 1 2* 1! 2*
2* 1
. * *
*
*
*
2
*
2 *! *! 2
*! *!
*! * 1!
*
Exercice 3
En utilisant la formule :
(
1
Calculer :
(
*
a ) +
(
(
*
) + (
*
b ) +
a) On a
1
Pour 0, on a
*
c ) +
( 5
5
(
*
6 ) + 7
*
) + 1
0
La dérivée de ce terme est donc nulle. On peut donc écrire :
(
(
*
*
(
* 1
) + 8 ) + En prenant 1, on obtient
(
(
*
*
) + ) +
*2(
b) On aura :
( 5
* 1
Pour 1, on a :
(
5
*
6 ) + 7
*
) + 1 *
1
Ce terme est constant, on peut donc commencer la dérivée à 2.
On a donc
(
(
*
*
(
5
** 11 ) + ) + 1 On en tire en faisant 1 :
** 12
Or
Donc
(
(
(
(
(
(
*
*
1 ) + 1 ) +
(
(
*
*
*
1 ) + ) + ) +
(
*
*
*
) + 1 ) + ) + ** 12( *2( ** 12( – c) On a
** 11 ( 5
Quand 2, on a
5
(
*
6 ) + 1 7
*
) + 22 1 ** 1
2
Ce terme est constant, sa dérivée est nulle. On peut donc commencer la dérivation à 3. On a :
(
(
*
*
(
** 1* 2
) + 1 8 ) + 1 2 En prenant 1, on a :
On a
** 1* 22
(
(
*
) + 1 2
1 2 3 2
On a donc
** 1* 22
(
Donc
(
(
*
) + 3 2
(
(
(
*
*
*
) + 3 ) + 2 ) + *
) + ** 1* 22( 3** 12( – 2*2( * * 32( –