Prénom et nom : …………………………… Première ES/L Mercredi 5
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Prénom et nom : …………………………… Première ES/L Mercredi 5 février 2014 Durée: 3 heures DST de Mathématiques n° 4. Calculatrice autorisée. Les exercices 1 et 2 sont à faire directement sur l'énoncé. Rendre le sujet. Exercice 1 Vrai-Faux Dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Ne pas justifier. Répondre sur l'énoncé. (+0,5 par bonne réponse et -0,5 par mauvaise réponse) a) Si f est une fonction positive sur [-2;3], alors f' ( x) > 0 sur [-2;3]. Réponse : …………… b) Une fonction qui n'est pas strictement croissante sur un intervalle I Réponse : …………… est décroissante sur I. c) Si f est une fonction vérifiant f' (-2)=0, alors f admet un extremum en -2. Réponse : …………… d) La fonction f définie sur Ë par f( x)= x 3+3x 2+ 3 est décroissante sur [-1;0]. Réponse : …………… e) Si f est une fonction définie et dérivable sur [0;3] telle que f(1)<f(2), Réponse : …………… alors pour tout x de [0;3] f' ( x) Ã 0. Exercice 2 Algorithme 1. Considérons l’algorithme suivant écrit à l’aide du logiciel Algobox. Ecrire ce que renvoie l'algorithme si les valeurs d’entrée sont 7 pour k et 5 pour n ? (Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 10 à 13. Répondre sur l'énoncé.) Réponse : ……………………………………………………………………………… 2. Compléter l'algorithme ci-dessous à la ligne 11. (Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 12 à 15. Vous pouvez utiliser une syntaxe "naturelle". Répondre sur l'énoncé.) ………………………………………………… Exercice 3 A la dérive 1. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes. a) f définie sur Ë*+ par f( x)=3x 4− x + 1 2x 1 2x 2−3 b) g définie sur Ë− par g( x)= 2x−1 2 7 2. Etudier les variations de la fonction h définie sur Ë par h( x)=x 3− x 2+2x+7. 2 Exercice 4 Trois inconnues Soit f la fonction définie sur Ë−{2} par f( x)=ax+ b+ c . x−2 C est la courbe représentative de f dans un repère. Déterminer a, b et c sachant que Cf admet deux tangentes horizontales en A(4;9) et B(0;1). Exercice 5 Coût marginal et recette marginale Un industriel fabrique et commercialise des jouets. On suppose, tout au long de l’exercice, qu’il n’a pas d’invendus dans sa production. On désigne par x le nombre de centaines de jouets fabriqués. Le coût total de fabrication est donné en centaines d’euros par CT ( x)=0,03x 3−0,45x 2+2,5x. Si l’industriel fabrique x centaines de jouets, il vend chaque centaine de jouets au prix P( x)=2−0,08x. La production est comprise entre 100 et 1 000 jouets. 1. Calculer la recette totale R( x) pour la vente de x centaines de jouets. 2. Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal Cm à la dérivée du coût total CT . De même, on a coutume d’assimiler la recette marginale Rm à la dérivée de la recette totale. Calculer pour quelle valeur x0 de x la recette marginale est égale au coût marginal. (On donnera x0 à 10 jouets près.) 3. Vérifier que le bénéfice est maximal en x0. 4. A l’aide d’une calculatrice graphique, représenter les fonctions CT et R. En observant le graphique, que peut-on conjecturer pour les tangentes à ces courbes au point d’abscisse x0 ? Expliquer pourquoi ce résultat est vrai. Exercice 6 Pourcentages Une usine fabrique des clous et des vis. Les vis représentent 30 % de la production. 10 % des vis sont en acier inoxydable (inox). 1. Quelle part de la production représentent les vis en inox ? 2. La production de vis en inox augmente de 50 % et les quantités des autres produits restent identiques. a) Quel est le pourcentage d’augmentation de la production totale ? (Aide : vérifier les calculs en prenant une quantité de produits égale à 100, et compter le nombre de produits de chaque sorte.) b) Quelle est la part, en pourcentage, des vis en inox dans la production totale ? (arrondir au dixième)