Adaptation des impédances

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ADAPTATION DES IMPEDANCES
2ème Partie
INTRODUCTION
Dans la première partie de cet article, nous avons introduit le problème de l'adaptation des
impédances et rappelé les notions essentielles sur les impédances et les admittances. Ce faisant,
nous avons vu qu' en plaçant une réactance en série ou en parallèle avec une impédance, on pouvait
modifier la partie résistive et la partie réactive de cette impédance; ces transformations étant
matérialisées dans le plan complexe par des segments de droite ou des arcs de cercle.
Dans la 2ème partie de cet article, nous étudierons plus en détail le problème de l'adaptation des
impédances.
1. CONDITION D'ADAPTATION DES IMPEDANCES
1.1 RAPPEL DU PROBLEME
On considère (figure 1) un générateur de tension sinusoïdale d'impédance de sortie Z s = R s + jX s ,
Zs = R s + jX s
Z L = R L + jX L
Figure 1: générateur de tension sinusoïdale chargé par une impédance complexe.
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branché sur une charge d'impédance Z L = R L + jX L (par exemple, un émetteur raccordé à une
antenne). On s'intéresse à la relation qu'il faut avoir entre Z L et Z S pour que la puissance fournie
par le générateur à la charge soit maximum.
1.2 IMPEDANCES DE SOURCE ET DE CHARGE PUREMENT RESISTIVES
On envisage d'abord le cas où les deux impédances sont purement résistives (figure 2).
Zs = R s
U
IL
ZL = R
UL
s
L
Figure 2: générateur d'impédance de sortie résistive, chargé par une résistance pure.
Soit US l'amplitude de la tension à vide du générateur et UL l'amplitude de la tension aux bornes de
la charge. La puissance fournie à la charge vaut, IL étant l'amplitude du courant dans la charge:
1
2
P = R I
L 2 L L
(1)
avec
I
L
=
U
R
S
S
+R
(2)
L
Le facteur 1/2 dans (1) provient du fait que l'on travaille ici avec les amplitudes. En remplaçant
dans (1), IL par son expression, on obtient:
 US
1
P = R 
L 2 L R + R
 S
L
Soit :




2
(3)
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U2
RL
S
P =
L
2 (R + R )2
S
L
(4)
Si l'on suppose RS fixe, le problème est de savoir quelle doit être la valeur à donner à RL pour que la
puissance PL fournie à la charge soit maximum.
Remarquons que si RL = 0 (court-circuit), PL =0; de même, si RL = ∞ (circuit ouvert), PL =0 aussi
car IL = 0. On a donc bien un maximum pour une certaine valeur de RL non nulle et non infinie.
Mathématiquement, le problème se résout en calculant la dérivée de PL par rapport à RL ; la valeur
recherchée pour RL est celle qui annule cette dérivée. On trouve alors que PL est maximum lorsque
la résistance de la charge est égale à celle du générateur.
RL = RS
(5)
1,00
PTot = PL + PS
PL/PTot
0,80
PL
(puissance dissipée dans la charge)
0,60
η = PL/ PTot
0,40
PS
(puissance dissipée dans la source)
0,20
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RL/RS
Figure 3: variation du rendement η = PL/ PTot en fonction du rapport RL/ RS; on voit bien le maximum
de PL pour RL = RS (pour les courbes de puissance, PTot a été normalisée à 1 W).
On voit que la puissance fournie à la charge est maximum lorsque la résistance RL de la charge est
égale à l'impédance de sortie RS du générateur; dans ce cas, la puissance PL fournie à la charge est
égale à la puissance PS dissipée dans le générateur et le rendement vaut alors 50 %. Par exemple, un
émetteur de 100 W, d'impédance de sortie égale à 50 Ω, et branché sur une charge de 50 Ω, dissipe
aussi 100 W (en chaleur) dans son étage de sortie.
La figure 3 montre comment varie le rendement η = PL/ PTot en fonction du rapport RL/ RS (PTot
étant la puissance totale fournie par le générateur); la figure montre aussi les courbes de PL, PS et
PTot (avec PTot normalisée à 1 W).
La courbe du rendement montre bien que celui-ci n'est pas maximum lorsque la condition RL = RS
est réalisée; en fait, il ne vaut que 50 %. Pour cette raison, l'adaptation des impédances n'est pas
toujours réalisée, en particulier, dans les systèmes de production d'énergie.
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1.3 IMPEDANCES DE SOURCE ET DE CHARGE QUELCONQUES
On envisage maintenant le cas général. En se reportant à la figure 1, on voit que la puissance
fournie à la charge est encore la puissance PL dissipée dans la partie résistive RL de la charge (la
partie réactive ne dissipant pas de puissance). On a donc:
1
2
P = R I
L 2 L L
(6)
Avec
IL =
US
US
=
(R S + jX S ) + (R L + jX L ) (R S + R L ) + j(X S + X L )
(7)
I L et U S étant les amplitudes complexes (amplitudes réelles et phases) du courant dans la charge et
de la tension à vide du générateur.
L'amplitude IL du courant vaut:
I
L
=
U
(R S + R L )
2
S
+ (X S + X L )
(8)
2
La puissance dissipée dans la charge vaut donc:
2
U
1
S
P = R
L 2 L (R + R )2 + (X + X )2
S
L
S
L
(9)
L'expression (9) montre que l'on peut maximiser une première fois la puissance PL dissipée dans la
charge en prenant XL = -XS. On a alors:
2
U
1
S
P = R
L 2 L (R + R )2
S
L
(10)
On est alors ramené au cas précédent (l'expression (10) est identique à l'expression (4) du 1er cas).
Par conséquent, pour maximiser la puissance fournie à la charge, il faut réaliser les deux conditions
suivantes:
RL = RS
et
XL = -XS
(11)
Soit
*
Z L = RS – jXS = Z S
(12)
Il faut donc que l'impédance de la charge soit le complexe conjugué de l'impédance de sortie du
générateur; on parle alors d'adaptation conjuguée (Rappelons que le complexe conjugué d'un
*
nombre complexe Z = a + jb est Z = a – jb).
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Exemple.
Un émetteur dont l'impédance de sortie est de 50 Ω doit fonctionner avec une antenne dont
l'impédance vue à travers la ligne reliant l'émetteur à l'antenne vaut (50 - j100) Ω (figure 4). La
fréquence de travail est de 3,65 MHz. On peut donc considérer qu'à la fréquence de travail, le
système "ligne - antenne" est équivalent à une résistance de 50 Ω en série avec une capacité de 436
pF. On veut assurer un transfert maximum de puissance vers l'antenne.
Zs = 50 Ω
Z L = (50 − j100) Ω
Figure 4: émetteur chargé par une impédance capacitive.
Zs = 50 Ω
L = 4,36 µH
XL = +100 Ω
Z L = (50 − j100) Ω
Figure 5: la réactance capacitive a été compensée par une inductance.
Solution.
Comme l'égalité des parties résistives des impédances est déjà réalisée, il suffit, puisque
l'impédance de sortie de l'émetteur est purement résistive, d'annuler la partie réactive de
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l'impédance de la charge. Pour cela, il faut insérer dans le circuit d'alimentation de l'antenne une
inductance L dont la réactance à 3,65 MHz vaut +100 Ω ; soit L = XL/(2πf) = 4,36 µH (figure 5)
(on suppose ici que l'inductance est parfaite).
1.4 ADAPTATION PAR TRANSFORMATEUR
n
n
p
s
ZL
Z
Figure 6: transformation d'une impédance au moyen d'un transformateur.
Lorsqu'une impédance est branchée aux bornes du secondaire d'un transformateur de rapport de
transformation np/ns (figure 6), l'impédance mesurée aux bornes du primaire vaut:
 np
Z = ZL 
n
 s




2
(13)
En exprimant les impédances sous la forme polaire, on obtient:
Z=
 np
Z ∠ϕ 
L
L n
 s
(
)
2 
2
n



 =  Z  p   ∠ϕ
 L n   L

  s 



= Z∠ϕ
L
(14)
Cette dernière relation nous montre que le module de Z est égal au module de Z L multiplié par le
2
 np 
carré du rapport de transformation   ; par contre l'argument φL n'est pas modifié. Il résulte de
n 
 s
cela que le point représentatif de l'impédance se déplace sur une droite passant par l'origine (figure
7).
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Dans ce cas, on peut montrer que la puissance fournie par le générateur est maximum lorsque les
impédances de source Z S et de charge Z L ont le même module (ZL = ZS).
X (réactance)
ZL
Z
ΦL
0
R (résistance)
Figure 7: transformation d'une impédance par un transformateur (on a supposé ici un rapport
np/ns < 1).
2. RESEAU D'ADAPTATION DES IMPEDANCES
Dans la pratique, on a rarement affaire à des cas aussi simples que celui de l'exemple précédent. En
général, l'impédance de la charge a une réactance non nulle et une résistance différente de celle du
générateur. Dans ce cas, il faut alors effectuer une transformation de l'impédance de la charge, par
des mises en série et/ou parallèle avec cette charge, de réactances convenablement choisies; c'est le
rôle du réseau d'adaptation des impédances, en particulier, du coupleur d'antenne dans le cas d'un
émetteur (figure 8).
2.1 CAS GENERAL
D'une manière générale, le réseau d'adaptation va transformer l'impédance de la charge en une
impédance qui est complexe conjuguée de celle du générateur; on aura ainsi réalisé l'adaptation
conjuguée. Dans le cas particulier d'un émetteur avec une impédance de sortie purement résistive
(égale à 50 Ω par exemple), l'impédance vue à travers le coupleur d'antenne devra aussi être égale à
cette résistance pure. Nous avons vu dans la première partie de cet article que ce réseau d'adaptation
devait être composé exclusivement de réactances, puisque des résistances introduiraient des pertes
par effet Joule; en réalité, les réactances (inductances ou capacités) ne sont pas parfaites et une
partie de la puissance fournie par l'émetteur sera donc perdue en chaleur dans le réseau d'adaptation.
Pour la suite de cet article, nous supposerons que les pertes dans les réactances du réseau
d'adaptation sont négligeables.
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Le fonctionnement du réseau d'adaptation de la figure 8 peut être représenté graphiquement dans le
plan complexe (figure 9). Il faut transformer Z L de façon à obtenir une impédance égale au
*
complexe conjugué de Z S , soit Z S = R − jX . La figure 9 montre qu'en partant du point A (point
S
S
Zs = R s + jX s
Réseau d'adaptation
des impédances
Z = R s − jX s
ZL =
R L + jX L
Figure 8: à travers le réseau d'adaptation, le générateur voit une impédance Z égale au complexe conjugué de Z s .
*
représentatif de Z L ), il est possible d'arriver au point C (point représentatif de Z S ) par divers
chemins (théoriquement, il en existe une infinité). Deux de ces chemins parmi les plus simples sont
représentés sur la figure 9.
1° Le chemin ABC.
En plaçant une inductance Ls en série avec Z L , on passe de A à B; ensuite, une capacité Cp en
parallèle avec l'ensemble produit un déplacement dans le sens horlogique sur le cercle de
*
conductance constante passant par B, ce qui nous amène en C, point représentatif de Z S . Nous
avons ici affaire à un adaptateur en L direct de type passe-bas.
2° Le chemin AB'C.
En plaçant une inductance Lp en parallèle avec Z L , on passe de A à B' (déplacement dans le sens
anti-horlogique sur le cercle de conductance constante passant par A); ensuite, une capacité Cs en
*
série nous amène en C, point représentatif de ZS . Le circuit obtenu constitue un adaptateur en L
inversé de type passe-haut.
En général, il faut au moins deux réactances pour réaliser l'adaptation; on parle alors de réseau en L.
On peut utiliser un nombre de réactances plus élevé; pour trois réactances, on parle de réseau en T
ou en π. La figure 10 illustre ces différentes configurations.
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Réactance
Ls
B
ZS
XS
*
ZS
Cp
ZL
B'
ZL
Chemin ABC
A
Résistance
RS
0
Cs
-XS
*
*
ZS
C
Lp
ZL
ZS
Chemin AB'C
*
Figure 9: transformation d'une impédance Z L en une impédance Z S , complexe conjugué de Z S .
X1
X2
X2
X1
Réseau en L inversé
Réseau en L direct
X1
X3
X1
X2
Réseau en PI
Figure 10: réseaux d'adaptation d'impédances à 2 et 3 réactances.
X2
X3
Réseau en T
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2.2 COUPLEUR D'ANTENNE
A titre d'application de la théorie que nous venons de voir, considérons le cas de la figure 11 dans
lequel une antenne est reliée par une ligne à un émetteur dont l'impédance de sortie est supposée
purement résistive et égale à RS (50 Ω par exemple). L'impédance Z A de l'antenne est transformée
par la ligne en une impédance Z L . Un coupleur est intercalé entre l'émetteur et la ligne pour
réaliser l'adaptation des impédances. Ce coupleur doit transformer l'impédance Z L de la charge en
une impédance RS purement résistive.
Coupleur d'antenne
ZS = R S
Z=R
S
ZL
Ligne
Antenne
ZA
Emetteur
Figure 11: système ligne-antenne relié à un émetteur via un coupleur.
L'impédance Z L , à priori quelconque, est représentée sur la figure 12, par le point A. Le point C,
correspondant à une résistance RS, représente l'impédance de sortie de l'émetteur. Une configuration
de coupleur (L, T, PI …) est représentée dans le plan complexe par un chemin reliant A à C, ce
chemin étant composé de segments de droite (réactances en série) et d'arcs de cercle (réactances en
parallèle).
Deux lieux particuliers sont représentés à la figure 12.
- La droite de résistance constante R = RS. Tous les points de cette droite correspondent à
des impédances dont la partie résistive est égale à RS. Pour une impédance représentée par le point
B par exemple (et en général par des points au-dessus de l'axe des R), la mise en série d'une
capacité avec cette impédance suffit pour passer au point C (RS); dans le cas des points de la droite
en dessous de l'axe des R (tel que B'), il faudrait utiliser une inductance.
- Le cercle de conductance constante G = GS = 1/RS. Tous les points de ce cercle
correspondent à des impédances pour lesquelles la conductance (partie réelle de l'admittance
correspondante) est égale à 1/RS (voir 1ère partie de cet article). Pour une impédance représentée par
le point D par exemple (et en général par des points du demi-cercle supérieur), la mise en parallèle
d'une capacité avec cette impédance suffira pour arriver au point C; pour les points du demi-cercle
inférieur (tel que E par exemple), il faudrait utiliser une inductance.
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Pour revenir maintenant à l'impédance Z L , la figure 12 nous montre deux exemples de
transformations possibles, donnant lieu dans ce cas, à des coupleurs en L.
B
Réactance
A ( ZL )
Droite de résistance
constante (R = RS )
B"
D
A'
RS
0
Résistance
C
E
Cercle de conductance
constante (G = GS = 1/RS)
D'
B'
Figure 12: transformation par le coupleur d'antenne, de l'impédance Z L (point A) en l'impédance RS
(point C).
1° Le chemin ABC.
En plaçant une inductance Lp en parallèle avec Z L , on passe de A à B en suivant dans le sens antihorlogique le cercle passant par A; ensuite, une capacité Cs en série avec l'ensemble produit le
déplacement de B à C (on a affaire ici à un coupleur en L inversé passe-haut).
2° Le chemin AB'C.
En plaçant une capacité Cp en parallèle avec Z L , on passe de A à B' en suivant dans le sens
horlogique le cercle passant par A; ensuite, une inductance Ls en série nous amène en C (on a
affaire ici à un coupleur en L inversé passe-bas).
Une autre transformation possible est représentée par le chemin AA'B"C; elle correspond à un
coupleur en T de type passe-haut (capacités dans les branches série et inductance dans la branche
parallèle). Le chemin AD'DC représente un coupleur en PI de type passe-bas (capacités dans les
branches parallèles et inductance dans le branche série). Les schémas correspondant à ces
différentes transformations sont donnés à la figure 13.
A la figure 12, le point A représentatif de l'impédance Z L a été arbitrairement placé à droite du lieu
R =RS. D'autres solutions de coupleurs en L auraient été obtenues si ce point A avait été placé à
gauche de ce lieu; une distinction est aussi à faire en fonction de la position du point A par rapport
au cercle G = GS = 1/RS (à l'intérieur ou à l'extérieur).
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CS
LS
RS
RS
ZL
CP
ZL
LP
Chemin ABC
Chemin AB'C
CS2
CS1
RS
LS
ZL
RS
CP1
CP2
ZL
LP
Chemin AA'B"C
Chemin AD'DC
Figure 13: schémas des coupleurs correspondant aux transformations de la figure 12.
CONCLUSION
Dans la première partie de cet article, nous avons revu les notions importantes d'impédance et
d'admittance, ainsi que les modifications que subissent les impédances ou les admittances lorsqu'on
met une réactance en série ou en parallèle avec elles. Nous avons montré que ces modifications se
traduisent dans le plan complexe par des trajectoires rectilignes ou circulaires suivant le cas.
Dans la seconde partie de cet article, nous avons vu comment se réalise l'adaptation des
impédances, dans le cas particulier d'une charge résistive et dans le cas général d'une charge
quelconque. Nous avons ensuite étudié quelques réseaux d'adaptation simples d'une façon générale
et dans le cas plus particulier des coupleurs d'antennes.
ON5WF
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BIBLIOGRAPHIE
1. F. E. Terman, "Electronic and radio Engineering", McGraw-Hill 1955.
2. W. L. Everitt & G. E. Anner, "Communication Engineering", McGraw-Hill 1956.
13/13
3. F. de Dieuleveult, "Electronique appliquée aux hautes fréquences", Dunod 1999.
4. The ARRL antenna book.
5. G3YNH, "From Transmitter to Antenna", chapt 5: Impedance Matching, part 1.
http://www.g3ynh.info/zdocs/index.html.