Formulaire STI

FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités)
FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES
I.
.
PROBABILITÉS
Si A et B sont incompatibles : P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Conjugué
z = x + iy = ρeiθ
;
1
(z + z)
2
y=
Dans le cas général : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
x=
P A = 1 − P (A)
;
P (Ω) = 1
;
P (∅) = 0
z + z0 = z + z0
Dans le cas équiprobable : P (A) =
Nombres d’éléments de A
Nombres d’éléments de Ω
;
1
(z − z)
2i
zz 0 = zz 0
zz 0 = x2 + y 2 = |z|2
x
−y
1
z
1
=
= 2
+i 2
= e−iθ
z
zz
x + y2
x + y2
ρ
Variable aléatoire
Module et argument d’un produit, d’un quotient
Fonction de répartition : F (x) = P (X ≤ x)
Espérance mathématiques : E(X) =
n
X
zz 0 = ρeiθ
pi xi
i=1
Variance : V (X) =
;
z = x − iy = ρe−iθ
n
X
i=1
Écart type : σ(X) =
pi (xi − E(X)) 2 =
p
n
X
i=1
pi xi 2 − (E(X)) 2
V (X)
ρ0 eiθ
0
= ρρ0 ei(θ+θ
0
)
|zz 0 | = |z||z 0 |
0
ρeiθ
ρ
z
= 0 iθ0 = 0 ei(θ−θ )
0
z
ρ
ρe
z
|z|
0 = 0
z
|z |
z n = ρeiθ
n
= ρn einθ , n ∈ ZZ
Inégalité triangulaire
II.
ALGÈBRE
||z| − |z 0 || ≤ |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |
A.
Nombres complexes
Forme algébrique : z = x + iy
Forme trigonométrique : z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ , ρ > 0
−−→
OM = x~u + y~v
M (z)
Q
ρ
~v
O
OQ = y = =(z) = ρ sin θ
√
OM = ρ = |z| = x2 + y2
θ
~u
OP = x = <(z) = ρ cos θ
P
Opérations algébriques
z + z 0 = (x + iy) + (x0 + iy 0 ) = (x + x0 ) + i(y + y 0 )
zz 0 = (x + iy)(x0 + iy 0 ) = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y)
B.
Identités remarquables
(valables sur C et donc sur R)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
;
a2 + b2 = (a + ib)(a − ib)
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C.
Trigonométrie
D.
Équations du second degré
Soient a, b, c des nombres réels, a 6= 0 et ∆ = b2 − 4ac.
M
Q
l’équation az 2 + bz + c = 0 admet :
OP = cos θ
- si ∆ > 0, deux solutions réelles :
OQ = sin θ
θ
cos 2θ + sin 2θ = 1
P
tan θ =
z1 =
π
sin θ
, θ 6= 2kπ
cos θ
2
√
√
−b − ∆
−b + ∆
et z2 =
2a
2a
- si ∆ = 0, une solution réelle double :
z1 = z2 =
- si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées :
Valeurs remarquables
0
sin
0
cos
1
tan
0
−b
2a
π
6
π
4
√
2
2
√
2
2
1
2
√
3
2
√
3
3
π
3
√
3
2
π
2
π
1
0
0
−1
1
2
√
1
3
√
√
−b − i −∆
−b + i −∆
et z2 =
z1 =
2a
2a
Dans tous les cas : az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ) .
z1 + z2 = −
b
a
,
z1 z2 =
c
a
0
E.
Suites arithmétiques, suites géométriques
Suites arithmétiques
Formules d’Euler
cos θ =
1
2
eiθ + e−iθ , sin θ =
1
2i
eiθ − e−iθ
Premier terme u0
1 + 2 + ··· + n =
Formules d’addition
;
un+1 = un + a
;
un = u0 + na
n(n + 1)
2
ei(a+b) = eia eib
Suites géométriques
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Premier terme u0
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
2
2
cos 2a = cos a − sin 2a = 2 cos 2a − 1 = 1 − 2 sin a
sin 2a = 2 sin a cos a
cos2 a =
1
(1 + cos 2a)
2
;
sin2 a =
1
(1 − cos 2a)
2
Formules de Moivre
Pour tout entier naturel non nul n, eiθ
n
= einθ
soit encore (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
;
un+1 = bun
;
Si b 6= 1,
Sn = 1 + b + b2 + · · · + bn =
Si b = 1,
Sn = n + 1
un = u0 bn
1 − bn+1
1−b
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III.
A.
ANALYSE
Propriétés algébriques des fonctions usuelles
1. Fonctions logarithme et exponentielle
Si x ∈ ]−∞ ; + ∞[ et y ∈ ] 0 ; + ∞[,
ln 1 = 0
y = exp x = ex équivaut à x = ln y
ln e = 1
0
ax = ex ln a
(a > 0)
(ea )b = eab
e =1
ln(ab) = ln a + ln b
a
ln
= ln a − ln b
b
ln ax = x ln a
ea+b = ea eb
ea−b =
ea
eb
2. Fonctions puissances
xα = eα ln x
0
Si n ∈ N∗ , x ∈ [ 0; +∞[ et y ∈ [ 0; +∞[
α
x =1
B.
(xα )β = xαβ
xα+β = xα xβ
(x > 0)
xα−β =
x
xβ
y=
√
n
x équivaut à x = y n
Limites usuelles des fonctions
1. Fonctions
Comportement à l’infini
Comportement à l’origine
lim ln x = +∞
x→+∞
lim ln x = −∞
lim ex = +∞
x→0
x→+∞
Si α > 0, lim xα = 0 et si α < 0, lim xα = +∞
lim ex = 0
x→0
x→0
x→−∞
Si α > 0, lim xα = +∞ et si α < 0, lim xα = 0
x→+∞
x→+∞
Comportement à l’origine de ln(1 + x), ex , sin x
Croissances comparées à l’infini
lim
ln(1 + h)
=1
h
lim
eh − 1
=1
h
lim
sin h
=1
h
h→0
ex
= +∞
x→+∞ x
lim
h→0
x
lim xe = 0
x→−∞
h→0
lim
x→+∞
ln x
=0
x
ex
= +∞
x→+∞ xα
Si α > 0, lim
Si α > 0, lim xα e−x = 0
x→+∞
Si α > 0, lim
x→+∞
ln x
=0
xα
2. Suites (SÉRIES STI, spécialités génie électronique et génie électrotechnique)
Si k > 1,
lim kn = +∞
n→+∞
;
Si 0 < k < 1,
lim kn = 0
n→+∞
FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités)
C.
Dérivées et primitives
(Les formules ci-dessous peuvent servir à la fois pour calculer des dérivées et des primitives)
1. Dérivées et primitives des fonctions usuelles
f (x)
f 0 (x)
Intervalle de validité
k
0
] − ∞, +∞[
2. Opérations sur les dérivées
(u + v)0 = u0 + v 0
(ku)0 = k u0
x
1
] − ∞, +∞[
x n , n ∈ N∗
nxn−1
] − ∞, +∞[
1
x
1
, n ∈ N∗
xn
√
1
x2
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
n
xn+1
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
−
−
1
√
2 x
x
(uv)0 = u0 v + uv 0
0
u0
1
=−
u
u2
u 0
v
=
u0 v − uv 0
v2
(v ◦ u)0 = (v 0 ◦ u)u0
(eu )0 = eu u0
(ln u)0 =
]0, +∞[
u0
,
u
u à valeurs strictement positives
(uα )0 = nuα−1 u0
D.
xα , α ∈ R
αxα−1
]0, +∞[
ln x
1
x
]0, +∞[
ex
ex
] − ∞, +∞[
cos x
− sin x
] − ∞, +∞[
sin x
cos x
] − ∞, +∞[
Calcul intégral
Si F est une primitive de f , alors
Z
a
Formule de Chasles
Z c
Z b
Z
f (t) dt =
f (t) dt +
a
Z
a
a
b
f (t) dt = −
Z
f (t) dt = F (b) − F (a)
Positivité
c
f (t) dt
Si a ≤ b et f ≥ 0, alors
b
Z
b
a
f (t) dt ≥ 0
b
f (t) dt
a
Linéarité
Z b
Z
(αf (t) + βg(t)) dt = α
a
b
b
f (t) dt + β
a
Z
b
g(t) dt
a
Intégration d’une inégalité
Z b
Z
Si a ≤ b et f ≤ g, alors
f (t) dt ≤
a
g(t) dt
a
Si a ≤ b et m ≤ f ≤ M , alors m(b−a) ≤
Valeur moyenne de f sur [a, b] :
E.
b
Équations différentielles
Équations
Solutions sur intervalle ] − ∞, +∞[
y 0 − ay = 0
f (x) = keax
y 00 + ω 2 y = 0
f (x) = A cos ωx + B sin ωx
1
b−a
Z
Z
b
a
f (t) dt ≤ M (b−a)
b
f (t) dt
a