Rallye Mathématique d`Aquitaine

Rallye Mathématique d'Aquitaine
Lundi 31 mars 2008
Une solution
Enigme 1: NUITS BLANCHES
Lamiae, Vincent et Jennifer ont résolu respectivement 16, 2 et 7 énigmes.
Enigme 2: LES DIAGONALES DES FOUS
Nombre côtés du polygone
3 4 5 6 7
8
9 10 11 12
Nombre de diagonales
0 2 5 9 14 20 27 35 44 54
Les 2 seuls polygones qui ont, à eux deux, 44 diagonales comme l'hendécagone (11 côtés) sont
l'hexagone (6 côtés) et le décagone (10 côtés).
Enigme 3: CROP CIRCLE
Notons A, B et C les centres des 3 arcs de cercles de 6 dam
de long qui forment l'oeuvre.
Notons r le rayon de ces arcs de cercle en dam.
ABC est donc un triangle équilatéral de côté 2r et de
3 ×2r
hauteur
2
Les 3 portions de disque contenues dans ABC forment à
eux trois un demi-disque de rayon r.
Superficie de l'oeuvre = Aire (ABC) – Aire(demi-disque)
1 3
×r²
 ×2r ×2r −
=
2 2
2
×r²

=r²   3− 
=   3×r² −
2
2
Cherchons r :
Les arcs de cercle représentent un sixième du cercle de périmètre 2πr donc ils mesurent 2πr/6 dam.
Donc on a 2πr/6 = 6 d'où r = 18/π dam.
Donc la superficie de l'oeuvre est: 
18

²   3− ≃5,29 dam²

2
Enigme 4: LES CUBES DE SON COURS
FACE A:
FACE B:
Enigme 5: COVOITURAGE ET FESTAYRE
Le trajet Agen-Marmande-Bordeaux-Bayonne mesure 285 km et coûte 85,50 €. On obtient alors:
Coût (€)
Jean-Phi Françoise
Cathy
Seb
Marc
Agen-Marmande
60×85,5
=18
285
9
9
0
0
0
Marmande-Bordeaux
75×85,5
=22,5
285
7,5
7,5
7,5
0
0
Bordeaux-Bayonne
150×85,5
=45
285
9
9
9
9
9
Total (€)
85,5
25,5
25,5
16,5
9
9
Enigme 6: QUARRER UN CARRE
Enigme 7: NE PAS PERDRE LE NORD
Représentons le trajet du randonneur (en trait plein):
x
x
x 2
Ruines du vieux
moulin
x 2
x
x 2
x
Tour de guet
Village
Notons x le nombre de pas faits par le randonneur entre la tour de guet et les ruines du vieux
moulin.
En calculant l'hypoténuse des triangles rectangle-isocèles, on obtient:
1
x  2 x=1 km donc x=
km
 21
D'où la longueur du trajet du randonneur:
3 xx  2=x 3 2=
3 2
≈1,828 km
1 2
Enigme 8: LE POIDS DES NOMBRES
Le plus petit nombre entier qui « pèse » 2008 doit posséder un minimum de chiffres donc un
maximum de 9.
Comme 2008 = 9×223 + 1, le nombre cherché possède 224 chiffres et s'écrit:
199...................9999
Le chiffre 9 apparaît 223 fois
Enigme 9: LE PATRON A LE BOURDON...
La surface latérale du cylindre est un rectangle de longueur 6 pieds et de hauteur 4 pieds.
Si on représente cette surface en double afin de distinguer l'intérieur de l'extérieur, on obtient le
patron suivant.
Dans le triangle AM'C rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore, on a:
AM'² = AC² + CM'² d'où AM' =
 4²3²= 25=5
La distance la plus courte entre l'abeille A et la goutte de miel M est 5 pieds.
Enigme 10: DU LIQUIDE POUR UN SOLIDE
La réalisation de la base rectangulaire du moule pyramidal ABCDS nécessite les 2 tiges de 6 cm et
les 2 tiges de 2,4cm. Cela donne une base ABCD de 14,4 cm².
Comme son volume est de 15,36 cm3, sa hauteur est égale à 3×15,36÷14,4, c'est-à-dire 3,2 cm, ce
qui est exactement la longueur de l'arête [SA]. Cela signifie que l'arête [SA] correspond à la hauteur
de la pyramide donc celle-ci est perpendiculaire à la base.
Il reste 3 tiges à placer: l'arête [SB] mesure forcément 6,8 cm et l'arête [SD], 4 cm.
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le
théorème de Pythagore, on a:
AC = 6²2,4²= 41,76 cm
Dans le triangle ASC rectangle en A, d'après le
théorème de Pythagore, on a:
SC= 3,2²41,76=52 cm
La dernière tige [SC] mesure
 52 cm .
Enigme 11: SUR LA TOUCHE
Le nombre manquant est 14.
Enigme 12: MOBI PHOLLY
Les énigmes du rallye ne sont pas évidentes !