Terminale ES - Probabilités conditionnelles
Transcription
Terminale ES - Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles I) Notion de probabilité conditionnelle 1) Probabilité de B sachant A a) Définition On considère un univers π dβune expérience aléatoire et π une loi de probabilité associée. Soit π¨ un événement de probabilité π·(π¨) non nulle et π© un événement. La probabilité de π© sachant que π¨ est réalisé est le réel noté π·π¨ (π©) défini par : π·π¨ (π©) = π·(π¨β©π©) π·(π¨) = π·( π¨ ππ π© ) π·(π¨) Remarques : 1) ππ΄ (π΅) est la probabilité conditionnelle de π΅ relative à π΄. 2) ππ΄ (π΄) = 1 Exemple : On considère une urne contenant 10 boules indiscernables au toucher, 7 dβentre elles sont blanches et 3 sont noires. Parmi les boules blanches 5 portent le numéro 1 et parmi les boules noires 1 seule porte le numéro 1 Lβexpérience aléatoire consiste à extraire une boule de lβurne. On considère les événements suivants : π΄ : « la boule extraite est blanche » π΅ : « la boule extraite porte le numéro 1» On a π(π΄) = 7 10 et π(π΅) = 6 10 de plus π΄ ππ‘ π΅ ( π΄ β© π΅ ): « la boule extraite est blanche et porte le numéro 1 » donc : π(π΄ β© π΅) = 5 10 de là ππ΄ (π΅) = π(π΄ β© π΅) π(π΄) = 5 10 7 10 = 5 7 b) Probabilité dβune intersection Soient π¨ et π© deux événements de probabilités non nulles. On a π·(π¨ β© π©) = π·π¨ (π©) × π·(π¨) = π·π© (π¨) × π·(π©) c) Utilisation dβarbre pondéré β Les probabilités de π΄ β© π΅ et π΄ β© π΅ sont les produits des probabilités portées le long des branches aboutissant en π΅ β La probabilité de π΅ est la somme de ces deux probabilités Ainsi si π¨ un événement de probabilité non nulle et différente de 1. Alors pour tout événement π© on a : Μ β© π©) = π·(π¨) × π·π¨ (π©) + π·(π¨ Μ ) × π·π¨Μ (π©) π·(π©) = π·(π¨ β© π©) + π·(π¨ Exemple : Un grossiste en melons a deux fournisseurs, le fournisseur π΄ chez qui il achète 70 % des melons quβil vend et un autre fournisseur chez qui il achète le reste. Il constate que 5 % des melons du fournisseur π΄ et que 20 % des melons du fournisseur π΅ ne pas assez fruités . Il choisit un melon dans son étal. On note : π΄ lβévénement « le melon choisi provient du fournisseur π΄ » π΅ lβévénement « le melon choisi nβest pas assez fruité » a) Illustrer cette situation à lβaide dβun arbre b) Donner la probabilité que le melon choisi provienne du fournisseur π΄ et ne soit pas assez fruité c) Donner la probabilité que le melon choisi ne soit pas assez fruité. d) Sachant que le melon choisi nβest pas assez fruité quelle est la probabilité quβil provienne du fournisseur π΄ ? Réponses : a) Arbre pondéré ci-contre: b) On cherche π(π΄ β© π΅) = π(π΄) × ππ΄ (π΅) = 0,7× 0,05 = 0,035 (3,5 %) c) On cherche π(π΅) : On sait que π(π΅) = π(π΄) × ππ΄ (π΅) + π(π΄Μ ) × ππ΄Μ (π΅) donc π(π΅) == 0,7× 0,05 + 0,3 ×0,2 = 0,095 (9,5 %) d) On cherche ππ΅ (π΄) = π(π΅β©π΄) π(π΅) = 0,035 0,095 β 0,384 (38,4 %) 2) Probabilités totales a) Définition : Partition de lβunivers Soit π un entier naturel. On dit que les π événements π¨π , π¨π , β¦ . . π¨π forment une partition de lβunivers πΌ sβils sont disjoints deux à deux et si leur réunion forme lβunivers πΌ. Exemples : a) π΄ et π΄Μ forment pour tout événement π΄ une partition de π b) Considérons un jeu de cartes et lβexpérience consistant à extraire au hasard une carte de ce jeu. Les événements : π΄ : « la carte extraite est une carte de pique » π΅ : « la carte extraite est une carte de cΕur » πΆ : « la carte extraite est une carte de carreau » π· : « la carte extraite est une carte de trèfle » forment une partition de lβunivers. b) Propriété Si π¨π , π¨π , β¦ . . π¨π forment une partition de lβunivers πΌ et si pour tout π compris entre 1 et π, π·(π¨π ) β π alors pour tout événement B on a : π(π©) = π(π© ππ π¨π ) + π(π© ππ π¨π ) + β― + π(π© ππ π¨π ) ou π(π©) = π(π© β© π¨π ) + π(π© β© π¨π ) + β― + π(π© β© π¨π ) ou encore π(π©) = π·(π¨π ) × π·π¨π (π©) + π·(π¨π ) × π·π¨π (π©) + β― + π·(π¨π ) × π·π¨π (π©) Cette égalité est nommée loi de probabilités totales Exemple : Dans un lycée il y a 4 classes de terminale ES avec 4 professeurs π1 , π2 , π3 , π4 . Lors des devoirs communs les élèves constatent que la probabilité quβun sujet sur les suites « tombe » dépend du professeur rédacteur du devoir. Il savent que : β π1 rédige le devoir 1 fois sur 5 et quβalors le sujet sur les suites est présent 1 fois sur 2 β π2 rédige le devoir 3 fois sur 5 et quβalors le sujet sur les suites est présent 1 fois sur 4 β π3 rédige le devoir 1 fois sur 10 et quβalors le sujet sur les suites est toujours présent β π4 rédige le devoir 1 fois sur 10 et quβalors le sujet sur les suites est présent 1 fois sur 3 On appelle : ππ lβévénement « le rédacteur du sujet est le professeur ππ » π lβévénement « le sujet sur les suites est présent dans le devoir » Calculer la probabilité de π Réponse : Arbre pondéré : Dβaprès la loi des probabilités totales on a : π(π) = π(π1 ) × ππ1 (π) + π(π2 ) × ππ2 (π) + π(π3 ) × ππ3 (π) + π(π4 ) × ππ4 (π) Soit : π(π) = 1 1 3 1 ×2+5×4+ 5 1 ×1+ 10 1 1 ×3 = 10 23 60