Chapitre 4. Séries chronologiques

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Chapitre 4.
Séries chronologiques
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Analyse des séries chronologiques
Estimation des composantes d’une série
Correction des variations saisonnières et prédiction
Exemple introductif 1
On considère la consommation mensuelle, exprimée en kWh, d’un
particulier, relevée durant trois années consécutives.
Janv
Fév
Mars
Avr
Mai
Juin
Juil
Août
Sept
Oct
Nov
Déc
2012
312
315
291
307
305
303
320
328
298
309
310
334
2013
315
319
299
314
306
304
325
331
304
310
317
332
2014
320
324
302
318
309
308
330
333
309
315
319
339
Figure: Consommation d’électricité de janvier 2012 à décembre 2014
2 / 29
Exemple introductif 2
On considère les chiffres d’affaires trimestriel, en milliers d’euros, d’une
entreprise au cours de quatre années consécutives :
Trimestres
1
2
3
4
2011
55
63
169
324
2012
231
175
378
627
2013
406
287
587
933
2014
585
399
795
1231
Figure: Chiffres d’affaire du 1er trimestre de 2011 au 4ème trimestre de 2014
3 / 29
Présentation
Définition
On appelle série chronologique toute suite y d’observations numériques
d’une grandeur effectuées à intervalles réguliers (appelés saisons) au
cours de plusieurs années.
On note :
I p : le nombre de saisons c’est-à-dire la période ;
I n : le nombre d’années ;
I yt : la valeur de la série à l’instant t.
Exemple 1 : la série y est la consommation d’électricité, le nombre
d’années est n = 3, la période est p = 12 et y1 = 312, y12 = 334,
y13 = 315 et y25 = 320.
Exemple 2 : la série y est le chiffre d’affaires, le nombre d’années est
n = 4, la période est p = 4 et y1 = 55, y4 = 324, y5 = 231 et y11 = 587.
4 / 29
Problématique
I
Pour toute série chronologique, deux questions se posent :
Comment peut-on comparer des données de la série issues de deux
saisons différentes ?
Peut-on prévoir des valeurs futures de la série ?
I
Pour répondre à ces deux questions, nous écrirons la série comme
une combinaison de trois composantes.
I
L’objectif est de fournir des méthodes permettant :
d’estimer ces trois composantes ;
de comparer les données de la série ;
de prévoir des données futures.
5 / 29
Sommaire
1
Composantes d’une série chronologique
Modèles considérés
2
Estimation de la tendance
Estimation des composantes saisonnières
3
Correction des variations saisonnières
Prédiction
6 / 29
Décomposition d’une série chronologique
I
Toute valeur yt de la série met en évidence trois composantes :
la tendance générale gt (appelée également trend), qui correspond à
l’évolution à long terme de la série ;
la composante saisonnière st∗ , qui correspond à des fluctuations
périodiques se reproduisant de façon plus ou moins identique d’une
période à l’autre ;
la composante aléatoire at , qui correspond à des fluctuations
irrégulières et imprévisibles.
I
Dans ce qui suit :
on présentera les trois composantes de la série ;
on fournira une méthode permettant d’avoir des estimations de la
tendance générale et de la composante saisonnière.
7 / 29
Tendance générale
Exemple : reprenons la consommation d’électricité.
I
Graphiquement, on constate que la consommation d’électricité a
tendance a augmenté.
I
On peut justifier rigoureusement un tel phénomène en faisant une
régression linéaire par la méthode des moindres carrés.
I
Pour rendre légitimes les calculs que nous ferons ultérieurement, on
supposera que la tendance présente une faible courbure.
8 / 29
Composante saisonnière
I
Graphiquement, on constate que la consommation d’électricité
admet des pics "positifs" en août et décembre et "négatifs" en mars
et juin.
I
On fournira une méthode permettant d’étudier l’impact que peut
avoir une saison (ici un mois) sur la série chronologique.
I
supposera que les composantes st∗ sont périodiques (de période p) et
ont une influence nulle sur l’année.
9 / 29
Composante aléatoire
I
Graphiquement, on constate que les pics "positifs" et "négatifs"
observés pour certaines saisons ne sont pas exactement réguliers.
I
Un tel phénomène est dû, en particulier, au fait que la composante
aléatoire "casse" la monotonie des cycles.
I
supposera que les composantes at sont négligeables.
10 / 29
Présentation des modèles
I
Une série temporelle consiste à supposer qu’elle est régie par une
certaine fonction.
I
Dans ce qui suit, on se limitera à deux types de modèles :
les modèles additifs ;
les modèles multiplicatifs.
11 / 29
Modèle additif
I
On parle de modèle additif, lorsqu’on cherche y sous la forme :
yt = gt + st∗ + at .
I
Rappelons que :
la participation de la composante saisonnière est nulle sur l’année :
s1∗ + · · · + sp∗
= 0;
p
la composante aléatoire est négligeable, c’est-à-dire at ' 0.
Remarque : pour savoir si l’on peut prendre un modèle additif pour une
série y , on procède comme suit :
I on trace les bornes supérieure et inférieure associées aux pics
"positif" et "négatif" du graphe de la série ;
I on prend le modèle additif uniquement lorsque la largeur de la bande
associée est presque constante.
Exemple : pour la consommation d’électricité, le modèle additif est
approprié.
12 / 29
Modèle multiplicatif
I
On parle de modèle multiplicatif, lorsqu’on cherche y sous la forme
yt = gt × st∗ × at .
I
Rappelons que :
la participation de la composante saisonnière est nulle sur l’année :
s1∗ × · · · × sp∗
1/p
= 1;
la composante aléatoire est négligeable, c’est-à-dire at ' 1.
Remarque : pour savoir si l’on peut prendre un modèle multiplicatif pour
une série y , on procède comme suit :
I on trace les bornes supérieure et inférieure associées aux pics
"positif" et "négatif" du graphe de la série ;
I on prend le modèle multiplicatif lorsque la largeur de la bande
associée est significativement croissante ou décroissante.
Exemple : pour les chiffres d’affaire, le modèle multiplicatif est approprié.
13 / 29
1
2
3
14 / 29
Méthodes générales pour estimer la tendance
But : estimer la tendance générale gt .
Méthodes : il existe deux façons classiques pour estimer la tendance
générale :
I
la régression (linéaire ou plus complexe) de yt en fonction de t ;
avantage : les calculs sont simples ;
inconvénient : à cause des effets saisonniers, la régression (linéaire ou
plus complexe) n’est pas toujours appropriée ;
I
la méthode des moyennes mobiles (présentée à la page suivante).
Remarques :
I
I
∼
On désigne par g t une estimation de gt obtenue soit par régression
soit par la méthode des moyennes mobiles.
Les méthodes permettant d’estimer la tendance générale sont
indépendantes des modèles (additif ou multiplicatif) choisis.
15 / 29
Moyennes mobiles
Définition
Considérons une série chronologique y et un instant t. On appelle
moyennes mobiles d’ordre 2,3,4 et 5 les quantités définies par :
Ordre k
2
3
4
5
(k)
Moyenne mobile d’ordre Mt
(2)
yt+1 Mt = 21 yt−1
2 + yt + 2
(3)
Mt
(4)
Mt =
(5)
Mt =
=
1 yt−2
4
2
1
(y
t−2
5
1
3
(yt−1 + yt + yt+1 )
+ yt−1 + yt + yt+1 +
yt+2 2
+ yt−1 + yt + yt+1 + yt+2 )
Dans le même esprit, on peut définir des moyennes mobiles d’ordre k.
I Lorsque k est pair, les valeurs des indices extrêmes sont pondérés
par 21 et les autres par 1.
I Lorsque k est impair, toutes les valeurs sont pondérées par 1.
16 / 29
Exemple 1 de moyennes mobiles
Exemple 1 : reprenons la consommation d’électricité avec des moyennes
∼
(3)
mobiles d’ordre k = 3. Ici, on a donc g t = Mt ' gt .
Janv
2012
Fév
Mars
Avr
Mai
Juin
Juil
Août
Sept
Oct
Nov
Déc
306
304
301
305
309
317
315
312
306
318
320
323
2013
323
311
310
306
308
312
320
320
315
310
320
2014
325
315
315
310
312
316
324
324
319
314
324
Figure: Consommation réelle (bleu) et moyennes mobiles (vert)
17 / 29
Exemple 2 de moyennes mobiles
Exemple 2 : reprenons les chiffres d’affaire avec des moyennes mobiles
∼
(4)
d’ordre k = 4. Ici, on a donc g t = Mt ' gt .
Trimestres
1
2
2011
3
4
175
211
2012
251
315
375
411
2013
451
515
576
612
2014
652
715
Figure: Consommation réelle (bleu) et moyennes mobiles (vert)
18 / 29
Remarques
I
En pratique, l’ordre des moyennes mobiles doit être choisi comme le
nombre de saisons considérés dans l’année c’est-à-dire k = p (pour
l’exemple 1, nous avons pris k = 3 et p = 12 pour des raisons
pédagogiques ; pour l’exemple 2, nous avons k = p = 4).
I
La méthode des moyennes mobiles permet :
de lisser la courbe (du fait que l’on considère des moyennes) ;
d’"éliminer" la composante aléatoire ;
de mieux visualiser la tendance.
I
L’inconvénient des moyennes mobiles par rapport à la régression
linéaire est que l’on perd des informations sur les premières et les
dernières données.
19 / 29
Méthode générale pour estimer les composantes
saisonnières
But : estimer la composante saisonnière st∗ .
Méthode : on procède en 4 étapes comme suit :
Etapes
1
Modèle additif yt = gt + st∗
Calculer St = yt −
2
Calculer st =
3
Calculer s
4
Calculer
∼
gt
St +St+1 +···+St+np
n
s +s +···+sp
= 1 2p
st∗ = st − s
Modèle multiplicatif yt = gt × st∗
Calculer St =
yt
∼
gt
Calculer (S1 × S2 × · · · × St+np )1/n
Calculer s = (s1 × s2 × · · · × sp )1/p
Calculer st∗ =
st
s
Remarque : les calculs des coefficients dépendent du modèle (additif ou
multiplicatif) choisi.
20 / 29
Exemple 1
∼
(3)
Exemple 1 : reprenons la consommation d’électricité avec g t = Mt .
(3)
1
On calcule les St − Mt .
2
On calcule la moyenne arithmétique st de chaque mois.
3
On calcule la moyenne arithmétique s de tous les mois (ici s = −2).
4
On calcule les coefficients saisonniers normalisés st∗ = st − s.
Janv
2012
Fév
Mars
Avr
Mai
Juin
Juil
Août
Sept
Oct
Nov
Déc
9
-13
6
0
-6
3
13
-14
3
-8
14
9
2013
-8
8
-12
8
-2
-8
5
11
-11
0
-3
2014
-5
9
-13
8
-3
-8
6
9
-10
1
-5
st
-6.5
8.7
-12.7
7.3
-1.7
-7.3
4.7
11
-11.7
1.3
-5.3
11.5
st∗
-4.5
10.7
-10.7
5.3
0.3
-5.3
2.7
9
-9.7
3.3
-3.3
9.5
21 / 29
Exemple 2
∼
(4)
Exemple 2 : reprenons les chiffres d’affaire avec g t = Mt .
St
(4) .
Mt
1
On calcule les
2
On calcule la moyenne géométrique st de chaque mois.
3
On calcule la moyenne géométrique s de tous les mois (ici s = 0.94).
4
On calcule les coefficients saisonniers normalisés st∗ =
Trimestres
1
2
2011
3
4
0.97
1.54
2012
0.92
0.56
1.01
1.53
2013
0.90
0.56
1.02
1.53
2014
0.90
0.56
st
0.91
0.56
1.00
1.53
st∗
0.97
0.60
1.06
1.63
st
s .
22 / 29
1
2
3
Prédiction
23 / 29
Série corrigée des variations saisonnières
Définition
Considérons une série chronologique y .
I
Dans le cas du modèle additif, c’est-à-dire yt = gt + st∗ + at , on
appelle série corrigée des variations saisonnières (CVS) la série
yt0 = yt − st∗ .
I
Dans le cas du modèle multiplicatif, c’est-à-dire yt = gt × st∗ × at ,
on appelle série corrigée des variations saisonnières (CVS) la série
yt0 = sy∗t .
t
Remarques :
I
L’intérêt de la série CVS est qu’elle permet de comparer deux
valeurs issues de deux saisons différentes.
I
La définition de la série CVS dépend du modèle choisi.
24 / 29
Exemple 1
Exemple 1 : reprenons la consommation d’électricité. Les valeurs de la
série CVS sont données dans le tableau suivant :
Janv
Fév
Mars
Avr
Mai
Juin
Juil
Août
Sept
Oct
Nov
Déc
2012
317
304
302
302
305
308
317
309
308
306
313
325
2013
320
308
310
309
306
309
322
322
314
307
320
323
2014
325
313
313
313
309
313
327
324
319
312
322
330
Figure: Consommation réelle (bleu) et corrigée (vert)
25 / 29
Exemple 2
Exemple 2 : reprenons les chiffres d’affaire. Les valeurs de la série CVS
sont données dans le tableau suivant :
Trimestres
1
2
3
4
2011
57
106
159
198
2012
239
295
355
384
2013
420
483
552
571
2014
605
672
747
754
Figure: Consommation réelle (bleu) et corrigée (vert)
26 / 29
Prédiction
Principe
But : prédire la valeur de yt , où t est un temps futur.
Méthode 1 :
(k)
1
estimer la tendance par moyennes mobiles Mt ;
∗
2
calculer les coefficients saisonniers st ;
(k)
3
effectuer une régression linéaire Tt des moyennes mobiles Mt ;
4
en déduire une valeur approchée de yt en remarquant que :
yt ' Tt + st∗ pour le modèle additif ;
yt ' Tt × st∗ pour le modèle multiplicatif.
Méthode 2 :
1
estimer la tendance par régression linéaire Tt0 de la série initiale Tt0 ;
∗
2
calculer les coefficients saisonniers s 0 t ;
3
en déduire une valeur approchée de yt en remarquant que :
∗
yt ' Tt0 + s 0 t pour le modèle additif ;
∗
yt ' Tt0 × s 0 t pour le modèle multiplicatif.
Remarque : la méthode 1 est plus longue que la méthode 2 mais elle
donne une approximation plus précise.
27 / 29
Prédiction
Exemple
Exemple : on reprend la consommation d’électricité. On s’intéresse à une
valeur approchée de la consommation en avril 2015 c’est-à-dire à yt avec
t = 40. Pour cela, on applique la méthode 1 :
1
on a déjà déterminé les moyennes mobiles d’ordre 3 (page 17) ;
2
on a également calculé les coefficients saisonniers et en particulier
∗
celui d’avril donné par : s40
= s4∗ = 5.3 (page 21) ;
3
on obtient, par la méthode des moindres carrés, qu’une régression
linéaire des moyennes mobiles est Tt = 0.414t + 307.2 ;
4
on en déduit qu’une prévision de la consommation en avril 2015 est :
y40 ' (0.414 × 40 + 307.2) + 5.3 = 329.06.
28 / 29
Prédiction
L’essentiel
I
Comparaison de données issues de saisons différentes :
1
2
3
4
I
déterminer le modèle ;
calculer la tendance par régression ou moyennes mobiles ;
calculer les coefficients saisonniers ;
déterminer la série corrigée des variations saisonnières.
Prédiction :
1
2
3
4
déterminer le modèle ;
calculer la tendance par régression ;
calculer les coefficients saisonniers ;
prédire des données futures.
29 / 29

Chapitre 4. Séries chronologiques

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Chapitre 8 ANALYSE DES SÉRIES CHRONOLOGIQUES