I. Congruence modulo m

Les congruences
I. Congruence modulo m
A. Définition
m étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b deux entiers relatifs.
a et b sont congrus modulo m et on note a ≡ b ( modulo m) ou plus simplement a ≡ b (m)
si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m
Exemple :
32 ≡ 47 (modulo 5)
En effet, le reste de la division de 32 par 5 est 2 : 32 = 5 × 6 + 2 et le reste de la division de 47
par 5 est aussi 2 : 47 = 5 × 9 + 2
B. Propriété caractéristique
m étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b deux entiers relatifs.
a ≡ b ( modulo m) équivaut à a − b est divisible par m
Démonstration :
Si a ≡ b ( modulo m) alors a et b ont le même reste r dans la division euclidienne par m donc il
existe deux entiers q et q’ tel a = mq + r et b = mq '+ r
D’où a − b = m(q − q ') donc a − b est divisible par m
Supposons que a − b est divisible par m. Appelons q et r le quotient et le reste de a par m et
q’ et r’ le quotient et le reste de b par m. On a donc
a = mq + r avec 0 - r < m
b = mq '+ r ' avec 0 - r ' < m
En soustrayant membre à membre, on obtient r − r ' = (a − b) − m(q − q ') et −m < r − r ' < m
Comme a − b est un multiple de m on en déduit que r − r’ est un multiple de m or le seul
multiple de m qui est compris strictement entre −m et m est 0 donc r = r’ cqfd
Remarque :
Cette propriété est très utile pour prouver que deux nombres sont congrus en eux :
32 ≡ 47 (modulo 5) car 47 − 32 = 15 = 3 × 5
C. Obtenir des congruences
m étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, a, q et r des entiers relatifs.
Si a = mq +r alors a ≡ r (modulo m)
En particulier, a est congru modulo m au reste de la division de a par m
Exemple si a ≡ 72 ( mod 10) alors a ≡ 2 ( mod 10) car 2 = 72+(-7) x10
Démonstration
Si a = mq +r alors a − r = mq qui est un multiple de m donc a ≡ r (modulo m)
Remarque :
En particulier, a est congru modulo m au reste de la division de a par m
On peut établir une sorte de réciproque :
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Si a ≡ r (modulo m) et 0 - r < m alors r est le reste dans la division de a par m
D. Règle de calcul
m étant un entier naturel supérieur ou égal à 2, a, b,c , a’ et b’ des entiers relatifs et n un
entier naturel
a ≡ a (modulo m)
Pro1
Pour tout m entier naturel supérieur ou égal à 2,
Pro2
Si a ≡ b (modulo m) alors b ≡ a (modulo m)
Pro3
Si a ≡ b (modulo m) et b ≡ c (modulo m) alors a ≡ c (modulo m)
Pro4
Si a ≡ b (modulo m) et a’ ≡ b’ (modulo m) alors
¾
a+a’ ≡ b+b’ (modulo m)
¾
a−a’ ≡ b−b’ (modulo m)
¾
axa’ ≡ bxb’ (modulo m)
Par conséquent
Pro5
Pro6
a ≡ b (modulo m) équivaut à a+c ≡ b+c (modulo m)
si a ≡ b (modulo m) alors axc ≡ bxc (modulo m)
attention : la réciproque n’est pas toujours vraie en particulier, on peut avoir a b ≡ 0 sans que
a ou b ne soient congrus à 0 :
2x3≡ 0 (modulo 6) et pourtant ni 2 ni 3 ne sont congrus à 0 modulo 6
Ce qui veut dire que l’on ne peut pas « simplifier » une congruence
Si 2a ≡ 6 (modulo m) on ne peut pas écrire a ≡ 3 (modulo m) il faut revenir à la
définition de la congruence et appliquer le théorème de Gauss (s’il s’applique !)
Pro7
Si a ≡ b (modulo m) alors an ≡ bn (modulo m)
pour n entier naturel non nul
Attention : si n ≡ p (modulo m) on peut avoir an et ap ne sont pas obligatoirement congru
modulo m
Contre_exemple : 1 ≡ 4 (modulo 3) car 4-1 est un multiple de 3
21=2 et 24=16 et 16-2=14 n’est pas un multiple de 3 donc 21 n’est pas congru à 24 modulo 3
Démonstration des propriétés :
Pro1
a et a on même reste dans la division par m donc
a ≡ a (modulo m)
Pro2
Si a ≡ b (modulo m) alors a et b ont le même reste dans la division par m donc b
et a ont le même reste dans la division par m donc b ≡ a (modulo m)
Pro3
Si a ≡ b (modulo m) et b ≡ c (modulo m) donc a et b ont le même reste dans la
division par m et b et c ont le même reste dans la division par m alors a et c ont le
même reste dans la division par m donc a ≡ c (modulo m)
Si a ≡ b (modulo m) et a’ ≡ b’ (modulo m) alors
¾
a − b est un multiple de m et a’ − b’ est un multiple de m donc leur
somme est aussi un multiple de m c’est à dire ( a + a’ ) − ( b + b’ ) est un multiple de m
on en déduit que a +a’ ≡ b+b’ (modulo m)
¾
(a − a ') − (b − b ') = " = (a − b) − (a '− b ') c’est la différence de deux
multiple de m, c’est donc un multiple de m par conséquent a−a’ ≡ b − b’ (modulo m)
¾
aa ' − bb ' = a '(a − b) + b(a ' − b ') c’est une combinaison linéaire de deux
multiples de m, c’est donc un multiple de m et par conséquent axa’ ≡ bxb’ (modulo m)
Pro4
Pro5
On sait que c ≡ c (modulo m) si a ≡ b (modulo m) alors a+c ≡ b+c (modulo m)
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Réciproquement : on sait que −c ≡ −c (modulo m) si a+c ≡ b+c (modulo m) alors
a+c −c ≡ b+c−c (modulo m) c’est à dire a ≡ b (modulo m)
Pro6
On sait que c ≡ c (modulo m) si a ≡ b (modulo m) alors axc ≡ bxc (modulo m)
attention : la réciproque n’est pas toujours vraie en particulier, on peut avoir a b ≡ 0 sans que
a ou b ne soient congrus à 0 :
2x3≡ 0 (modulo 6) et pourtant ni 2 ni 3 ne sont congrus à 0 modulo 6
Ce qui veut dire que l’on ne peut pas « simplifier » une congruence
Si 2a ≡ 6 (modulo m) on ne peut pas écrire a ≡ 3 (modulo m) il faut revenir à la
définition de la congruence et appliquer le théorème de Gauss (s’il s’applique !)
Remarque :
On a déduit les propriétés Pro5 et Pro6 des propriétés Pro4, mais on peut prouver les
propriétés Pro5 et Pro6 à l’aide de la propriété caractéristique et en déduire les
propriétés Pro4. Le faire, c’est un bon entraînement pour les questions de cours au bac
Pro7
si a ≡ b (modulo m) prouvons par récurrence que an ≡ bn (modulo m)
pour n
entier naturel non nul :
¾
a1 = a et b1 = b donc a1 ≡ b1 (modulo m)
La propriété est donc vraie au rang le plus bas.
¾
Supposons qu’il existe un entier n tel que an ≡ bn (modulo m)
or a ≡ b (modulo m) on peut donc multiplier membre à membre et on obtient
an+1 ≡ bn+1 (modulo m)
La propriété se transmet donc au rang suivant
Par conséquent, la propriété est vraie pour tout n ∈ N *
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