LINÉARISATION On utilise la linéarisation pour calculer des
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LINÉARISATION On utilise la linéarisation pour calculer des
LINÉARISATION 1. A QUOI ÇA SERT ? On utilise la linéarisation pour calculer des primitives de fonctions circulaires ou des intégrales faisant intervenir des fonctions circulaires. Par exemple, comment détermine-t-on une primitive1 de la fonction t 7→ cos3 (t) ? La méthode consiste à se ramener à une somme de fonctions dont on connaît la primitive, ici des fonctions du type t 7→ cos(at) et t 7→ sin(at). Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d’Euler. Pour tout réel θ , on a cos(θ ) = eiθ + e−iθ 2 et sin(θ ) = eiθ − e−iθ . 2i 2. E XEMPLE Traitons par exemple l’exercice 1.19. du poly d’exercices. cos3 (x) = eix + e−ix 2 3 1 3ix e + 3eix + 3e−ix + e−3ix 8 1 = (2 cos(3x) + 6 cos(x)) 8 cos(3x) + 3 cos(x) = 4 = On en déduit qu’une primitive de t 7→ cos3 (t) est t 7→ − 1 3 sin(3x) − sin(x). 12 4 Je donne la linérisation pour les 4 fonctions suivantes. ix 3 e − e−ix sin3 (x) = 2i −1 3ix = e − 3eix + 3e−ix − e−3ix 8i −1 = (2i sin(3x) + 6i sin(x)) 8i sin(3x) + 3 sin(x) =− 4 1 Une primitive est une fonction F qui vérifie pour tout réel t, F 0 (t) = cos3 (t) 1 2 LINÉARISATION 4 eix + e−ix 2 1 4ix = e + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix 16 1 = (2 cos(4x) + 8 cos(2x) + 6) 16 cos(4x) + 4 cos(2x) + 3 = 8 cos4 (x) = 4 eix − e−ix 2i 1 4ix e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix 16 1 (2 cos(4x) − 8 cos(2x) + 6) 16 cos(4x) − 4 cos(2x) + 3 4 4 sin (x) = = = = 2 2 ix 2 eix + e−ix e − e−ix 2 2i −1 2ix e + 2 + e−2ix e2ix − 2 + e−2ix 16 −1 4ix e − 2e2ix + 1 + 2e2ix − 4 + 2e−2ix + 1 − 2e−2ix + e−4ix 16 −1 (2 cos(4x) − 2) 16 1 − cos(4x) 8 2 cos (x) sin (x) = = = = = Autre manière cos2 (x) sin2 (x) = cos2 (x) 1 − cos2 (x) = cos2 (x) − cos4 (x) 1 + cos(2x) cos(4x) + 4 cos(2x) + 3 − 2 8 4 + 4 cos(2x) − cos(4x) − 4 cos(2x) − 3 = 8 1 − cos(4x) = 8 = LINÉARISATION Pour la suite je ne donne que les résultats 2 sin(2x) − sin(4x) cos(x) sin3 (x) = 8 2 sin(2x) + sin(4x) 3 cos (x) sin(x) = 8 2 cos(x) − cos(5x) − cos(3x) 3 2 cos (x) sin (x) = 16 sin(3x) + 2 sin(x) − sin(5x) cos2 (x) sin3 (x) = 16 cos(5x) − 3 cos(3x) + 2 cos(x) cos(x) sin4 (x) = 16 3