pdf 256.1 ko - Revue e-STA

Approche hybride de la stabilité locale de la boucle
à verrouillage de phase par impulsions de charge
Pascal Acco1 , Jamal Daafouz2 , Danièle Fournier–Prunaret1 , Abdel–Kaddous Taha1
1
Laboratoire d’Étude des Systèmes Informatiques et Automatique,
INSA de Toulouse, 31077 Toulouse Cedex 4, France
2
Centre de Recherche en Automatique de Nancy,
CRAN-ESSTIN, 54500 Vandoeuvre Les Nancy, France
[email protected], [email protected]
Résumé— La Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsions
de Charge (BVP–IC)1 , bien qu’elle soit de nature hybride,
a toujours été analysée sur la base de modèles linéaires.
Nous proposons d’une part une modélisation hybride
exacte du circuit et d’autre part un théorème traitant de
la stabilité locale d’une récurrence discrète non–linéaire définie par morceaux.
Cette méthode d’analyse utilisant les fonctions de Lyapunov multiples est appliquée au modèle hybride discrétisé.
Le conservatisme de la méthode est réduit en utilisant la
S–procédure pour relâcher judicieusement les contraintes.
On obtient ainsi une région de stabilité beaucoup plus
étendue que celle utilisée jusqu’à présent. Ces résultats sont
confrontés à des mesures expérimentales.
signal de référence. Si le signal de sortie est en retard (resp.
en avance) sur le signal d’entrée, la fréquence instantanée
est augmentée (resp. réduite).
Une BVP est constituée en général des trois blocs suivant :
L’Oscillateur Contrôlé en Tension (OCT2 ) : délivre un signal de sortie vs de fréquence foct directement proportionnelle à la tension d’entrée : foct = Koct voct + Fol . Le paramètre Koct est le gain de l’OCT et Fol sa fréquence d’oscillation libre. La sortie est bouclée vers le DPF directement
ou via un diviseur de fréquence.
Mots-clés— Boucle à verrouillage de phase, CP–PLL, modèles
hybrides, fonctions de Lyapunov multiples, stabilité poly–
quadratique, S–procédure.
Ic
vref
vb
vhaut
DPF
III
ic
voct
vbas
I. Introduction
OCT
vs
R
Ic
Les boucles à verrouillage de phase ont été très étudiées
dans le passé du fait de l’ampleur et de la variété de leurs
utilisations. Les modèle linéaires développés par Gardner
pour la BVP–IC [1] font référence et les limites de stabilité
données par ces modèles sont encore utilisées de nos jours.
Ces modèles linéaires sont basés sur de fortes approximations, des modélisations exactes ont été proposées dans [1]
et [2] sans expliciter les modèles sous leur véritable forme
hybride. Aucune analyse de stabilité n’as pu être proposée
à partir de l’un de ces modèles exacts.
Après la présentation de l’architecture de la BVP–IC du
§ II, nous présentons le modèle hybride exact dans le § III.
Le modèle est ensuite discrétisé dans le § IV pour aboutir
à une récurrence non–linéaire définie par morceaux. Nous
proposons dans le § V un théorème sur la stabilité locale
d’un tel système afin de l’appliquer à la récurrence de la
BVP–IC d’ordre deux dans le § VI.
Les limites de stabilité obtenues avec cette technique sont
confrontées à des mesures expérimentales présentées dans
le § VII.
II. Le circuit
Le principe des boucles à verrouillage de phase (BVP) est
d’asservir la phase d’un oscillateur contrôlé sur celle d’un
C
1
N
Fig. 1
Boucle à verrouillage de phase considérée
Le filtre passe–bas : rejette les perturbations à la sortie du
DPF et délivre un signal lissé à l’entrée de l’OCT. Nous
considérons dans la suite le cas simple d’un filtre passif
du premier ordre caractérisé par une résistance R et une
capacité C.
Le Détecteur de Phase et de Fréquence (DPF3 ) : machine
à états finis qui commande le courant de charge du filtre
passe–bas ip en fonction de l’erreur de phase et de fréquence
entre le signal bouclé vb et le signal d’entrée vref .
La BVP–IC est une architecture, illustrée dans la fig. 1,
qui a la particularité d’utiliser un DPF à logique séquentielle asynchrone. Les sorties binaires de la machine à états
commandent un circuit, la « pompe de charge », qui charge
le filtre avec différentes valeurs du courant ip (t).
2 Voltage
1 Charge
Pump Phase Locked Loop en anglais, noté BVP–IC
3 Phase
Controlled Oscillator en anglais, noté OCT
Frequency Detector en anglais, noté DPF
Nous limitons cette étude au cas d’une machine à trois
états (DPF de type III), dont le diagramme d’état est présenté dans la fig. 2. Les deux sorties permettent de générer
un courant de charge ic (t) pouvant prendre les trois valeurs de l’ensemble I = {−Ic , 0, +Ic }, où Ic est la valeur
des sources de courant stabilisées de la pompe de charge.
↓ vref
↓ vref
E(t) = 1
↓ vref
E(t) = 0
↓ vb
↓ vb
On représente donc les grandeurs binaires vref , vs et
vb par leurs phases instantanées respectives ϕref , ϕoct et
ϕb définies de la sorte.
Pour simplifier l’analyse, on considère un signal de référence de fréquence constante et égale à F = 1/T dont on
peut déduire la phase ϕref en intégrant. La fréquence instantanée de l’OCT, déduite de voct par la relation (??),
permet d’exprimer la phase du signal de sortie :
E(t) = −1
ϕoct
↓ vb
Zt
Zt
= 2 π foct dt = 2 π (Koct voct (t) + Fol ) dt
0
Fig. 2
Diagramme d’état du PFD (↓ pour front descendant)
Les signaux binaires d’entrée et de sortie (signaux de
forme carrée) et le courant de charge à valeur ternaire (les
trois valeurs de I) coexistent avec les grandeurs du filtre
de nature analogique : l’OCT et l’ensemble de la BVP–IC
sont donc des systèmes hybrides.
Jusqu’à présent, cette difficulté d’analyse a été écartée
en proposant un modèle linéaire à temps continu ou discret pour une période d’entrée T constante. Ces travaux
initiés par Gardner modélisent le DPF par un simple
gain Kdpf multipliant l’erreur de phase entre vref et vb .
On estime ainsi un courant de charge moyen ic (t) =
Kdpf ϕref − ϕb .
Ce modèle continu est un modèle linéaire du second
ordre théoriquement stable quels que soient les paramètres.
En ne représentant plus le courant ic par un courant
moyen ic mais par une impulsion de courant de durée
(ϕ −ϕ )
tp = ref2 π b Ic apparaissant à chaque début de période,
Gardner propose un modèle linéaire à temps discret de
la BVP–IC.
La condition de stabilité obtenue avec ce modèle s’exprime avec les paramètres normalisés a et b par :
b < 4 − 2a
Koct Ic R T
avec a =
N
Koct Ic T 2
et b =
NC
(1)
Cette condition de stabilité est encore très utilisée à défaut de résultat plus précis, cependant, les simulations effectuées à partir de modèles exacts laissent entrevoir une
région de stabilité beaucoup plus étendue : une preuve de
stabilité effectuée à partir d’un modèle exact permettrait
de fournir un résultat moins restrictif.
III. Le modèle hybride
Nous proposons dans cette partie un modèle hybride de
la BVP–IC d’ordre deux. Une modélisation similaire du
circuit d’ordre trois, avec un filtre passif linéaire d’ordre
deux, peut être trouvée dans [3].
Nous choisissons de définir la phase des signaux de forme
carrée en adoptant une représentation analytique des signaux. Une tension V (t) d’un signal quasi–périodique de
forme carrée est donc caractérisée par la phase ϕ(t) du
signal analytique zv (t) = a(ϕ(t)) ei ϕ(t) tel que V (t) =
<[zv (t)]. La forme carrée du signal est donnée en choisissant
une fonction module du signal analytique a(ϕ) adéquate.
(2)
0
La tension voct issue de la sortie du filtre est déduite du
courant de charge ic et exprimée à l’aide de la variable de
Laplace p :
voct (p)
RC p + 1
=
(3)
ic (p)
Cp
L’état du DPF est représenté par la variable d’état e dont
les valeurs sont prises dans l’ensemble E = {−1, O, 1}. Le
courant de charge commandé par le DPF s’exprime ainsi
directement par la relation ic (t) = Ic e(t). La dynamique de
cette machine à état de la fig. 2 est représentée par une fonc
tion de transition du type e+ (t) = φ e(t), ϕref (t), ϕb (t) ,
où e+ (t) représente la valeur de e immédiatement après
l’instant t.
Les événements ↓ vb et ↓ vref correspondent aux instants
où les phases respectives ϕb et ϕref traversent une valeur
multiple de 2π. À partir de ces deux définitions des événements et du diagramme d’état, on en déduit la fonction de
transition φ de l’état discret suivante :
e+ (t)= φ e(t), ϕref (t), ϕb (t)
si ϕref = k 2π, k ∈ N
 min(1, e(t) + 1)
(4)
max(−1, e(t) − 1) si ϕb = k 2π, k ∈ N
=

e(t)
sinon
On définit ainsi le modèle hybride exact dont une représentation est donnée dans la fig. 3.
F
1
p
ϕref
ϕb
e
φ
e+
Ic
ic
RC p+1
RC p
voct
Koct
+ Fol
+
<[a(ϕ)eiϕ ]
vref
ϕb
1
N
ϕoct
<[a(ϕ)eiϕ ]
<[a(ϕ)eiϕ ]
vb
vs
1
p
foct
Fig. 3
Modèle hybride de la BVP–IC. En trait fin les grandeurs
analogiques et en trait gras les grandeurs à valeurs discrètes
La simulation de ce modèle hybride peut être faite en calculant la valeur des variables d’états d’événement en événement de manière entièrement analytique. On retrouve ainsi
le modèle événementiel initialement proposé dans [2].
La simulation du modèle hybride du circuit d’ordre trois
nécessite l’utilisation d’un algorithme numérique pour calculer les dates des événements. Ce type de simulation semi–
analytique a été proposé dans [4].
Les simulations rapides et exactes de ces modèles ont été
exploitées dans [4] afin d’établir des propriétés statistiques
du circuit, et dans [5] pour effectuer une optimisation des
performances par force brute.
Aucune analyse n’a été proposée sur la base de ce modèle
hybride continu : la présence de l’événement extérieur périodique ↓ vref empêche l’utilisation de beaucoup de techniques d’analyse.
L’ensemble des indices i repérant chacune des transformations composites est appelé Ξ. Cet ensemble Ξ correspond aux quatre combinaisons {++, +−, −+, −−}.
Une transformation composite Ti est appliquée au point
Xk lorsque ce point appartient à son domaine de définition
Ri . Les équations des transformations composites peuvent
être trouvées dans [6] ou [3], nous donnons en exemple les
équations de la transformation T−− :
IV. Discrétisation du modèle hybride
(
En considérant un signal d’entré vref de période T
constante, on élimine l’événement ↓ vref apparaissant à
chacun des instants k T (k ∈ N) en discrétisant le modèle
hybride à ces instants.
On obtient ainsi une récurrence autonome d’ordre deux
non–linéaire dont l’écriture est simplifiée en utilisant les
deux variables d’état suivantes illustrées dans la fig. 4 :
– ν k – l’erreur de fréquence normalisée lorsque le courant
ic (t > tk ) = 0, soit ν k = y (max(tk , tk + τ k )) avec
Fol T
T
y(t) = Koct
N vc (t) + N − 1 ;
– τ k – le temps s’écoulant entre le prochain événement
↓ vb et l’instant tk = k T normalisé par la période T
(lorsque le signal de référence est en avance, τ k est
positif et inversement).
T−− (Xk ) :
ν k+1 = ν k + b τ k+1
τ k+1 = τ k − 1 +
b
1−a τ k − 2 τ k 2
1+ν k
Les domaines de définition Ri , représentés avec leurs
frontières dans la fig. 5, sont définis par des inégalités qui
ont été déterminées dans [3]. On donne comme exemple la
définition de la région R+− :
τ
R+− : (ν, τ ) | (τ ≥ 0) & (ν ≥
)
(7)
1+τ
νk
F?−
R+−
vref
F+?
y
τ k+1
T =1
toct
τk
τk
t
T
R++
F−?
b
R−+
F?+
ν k+1
a
ν −? (τ k )
νk
−1
ν +? (τ k )
R−−
t
T
vb
(6)
tk = k
tk+1 = k + 1
t
T
Fig. 5
Le plan de phase (ν k , τ k ) et les quatre domaines de définition
des transformations composites
Fig. 4
Variables d’état du modèle non–linéaire discret
Dans le plan de phase (ν k , τ k ), le point origine O est
l’unique point fixe de la récurrence.
Dans un voisinage relativement large du point fixe, les
occurrences de l’événement ↓ vb produisent quatre cas de
figure correspondant aux signes des impulsions du courant
de charge aux instants k T et (k + 1) T . La fig. 4 représente le cas « + + » où deux impulsions de charge positives
se succèdent. Les équations de la récurrence dépendent de
ces différents cas de figure, elles se présentent donc sous la
forme d’une récurrence définie par morceaux.
Cette discrétisation du modèle hybride fournit la même
récurrence que celle proposée, avec des variables similaires,
dans [6] où l’on trouvera le détail des calculs du modèle.
Ce modèle discret non–linéaire peut être vu comme une
transformation T qui associe le point Xk+1 , de coordonnées
(ν k+1 , τ k+1 ), au point Xk de coordonnées (ν k , τ k ).
Cette transformation T est définie à partir de quatre
transformations composites, T++ , T+− , T−+ et T−− , par :
T : Xk+1 = Ti (Xk )
avec i ∈ Ξ
lorsque Xk ∈ Ri
(5)
Cette récurrence est une écriture très condensée du modèle dont l’analyse n’est pas aisée car le point fixe appartient aux quatre domaines de définition.
Il est possible de mener une étude de stabilité locale au
point origine qui prenne en compte toutes les trajectoires
possibles dans ce voisinage.
V. Théorème sur la stabilité locale d’un
système non–linéaire définit par morceaux
Nous proposons ici une manière de prouver la stabilité locale d’un système non–linéaire discret défini par morceaux
de la forme (5) à l’aide de fonctions de Lyapunov multiples
(FLM). Les FLM sont introduites dans le cas des systèmes
discrets à paramètres variants dans le temps dans [7].
Nous attachons une fonction quadratique Vi (X) =
X T Pi X à une région Ωi du plan de phase. Les régions
Ωi sont en nombre fini (i ∈ ΞΩ = 1 . . . n) et doivent former
une partition du plan de phase pour définir correctement
la FLM candidate par
V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi avec i ∈ ΞΩ
i
Définition 1: domaine d’une transition (Zj→k
) – pour
tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ , nous définissons les eni
sembles Zj→k
des points X tels que les trois conditions
suivantes soient vérifiées simultanément : X ∈ Ri , X ∈ Ωj
i
est l’enet T (X) = Ti (X) ∈ Ωk . En d’autres termes, Zj→k
semble des points menant de la région Ωj à la région Ωk
par la transformation Ti .
La preuve de stabilité se fait alors en imposant une
contrainte de décroissance de la fonction de Lyapunov du
type Vk (Ti (X)) − Vj (X) < 0 uniquement pour les points
i
X ∈ Zj→k
.
Ces contraintes s’expriment sous forme d’inégalités matricielles linéaires (IML) dans un voisinage proche du point
origine par Ai T Pi Ai − Pj < 0, où Ai est la jacobienne de
Ti calculée à l’origine O du plan de phase : Ai = J(Ti )|O
Nous utilisons la S–procédure pour imposer une telle
contrainte uniquement pour les points appartenant à une
i
région Zj→k
. La S–procédure consiste à rajouter une quantité α Q(X) (α > 0) qui est définie négative en dehors de la
i
région Zj→k
et définie positive à l’intérieur de cette région.
De cette manière, la quantité ajoutée à l’IML relâche la
contrainte à l’extérieur de la région d’intérêt et peut être
vérifiée à l’intérieur de la région pour un coefficient α suffisamment petit.
Pour aboutir à une formulation entièrement sous forme
d’IML, nous ajoutons une quantité de forme quadratique
Q(X) = X T Q X. La matrice symétrique Q définit la région
dans laquelle la contrainte sera imposée. Une telle formulation permet de définir uniquement des régions du plan de
phase délimitées par des formes coniques.
Définition 2: incluant conique d’une région – nous appelons incluant conique d’une région R toute région du
plan de phase incluant R qui soit définie uniquement par
b cette région
des frontières de forme conique. On note R
qui peut être entièrement déterminé par une matrice symétrique QR telle que X T QR X > 0 si et seulement si
b
X ∈ R.
Pour une partition Ωi de l’espace de phase donnée, le
théorème 1 établit des conditions suffisantes de stabilité
locale du système non–linéaire. Ce théorème utilise les ini
\
i
cluants coniques Z
j→k des régions Zj→k pour appliquer les
contraintes de décroissance de la fonction de Lyapunov
uniquement dans les régions où elles sont nécessaire.
Théorème 1: Soit un système non–linéaire discret défini par morceaux de la forme (5) différentiable sur chaque
morceau dans un voisinage proche de l’origine. On suppose
sans perte de généralité que l’origine est le point fixe d’intérêt.
Soit Ai les jacobiennes des transformations Ti du système
non–linéaire calculées à l’origine O du plan de phase.
Soit une partition du plan de phase Ωi (i ∈ ΞΩ = 1 . . . n)
i
les domaines des transitions associés à cette paret Zj→k
tition et à la transformation T .
i
\
i
Soit Z
j→k les incluants coniques des domaines Zj→k , et
Qijk les matrices symétriques définissant ces régions.
Soit Qi les matrices symétriques associées aux incluants
coniques des régions Ωi telles que X T Ei X > 0 si X ∈ Ωi .
Le système (5) est uniformément et asymptotiquement
stable dans un voisinage de l’origine s’il existe des matrices
Pi (i ∈ ΞΩ ) symétriques, des scalaires αi (i ∈ ΞΩ ) et αijk
(ijk ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ ) strictement positifs tels que l’on ait :
ATi Pk Ai − Pj + αijk Qijk < 0
∀{i, j, k} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ
(8a)
et Pi − αi Qi > 0,
(8b)
∀i ∈ ΞΩ
Démonstration (éléments) :
La preuve se fait en
démontrant qu’il existe un voisinage du point origine tel que
la fonction V (X) = Vi (X) lorsque X ∈ Ωi est une fonction
de Lyapunov multiple du système.
La condition (8b) garantit que la matrice Pi est semi–définie
positive lorsque X ∈ Ωi . La fonction V (X) est donc elle même
semi–définie positive.
Toute trajectoire du système non–linéaire passant par un
point Xk du voisinage de l’origine appartient à un domaine
i
\
i
et donc à son incluant conique Z
de transition Zj→k
j→k . Il
existe donc une contrainte (8a) vérifiée pour tout point de
toute trajectoire de ce voisinage.
Un développement de Taylor du premier ordre du terme L =
V (T (Xk ))−V (Xk ) permet de prouver que si la condition (8a)
est vérifiée alors L est semi–défini négatif dans un voisinage
i
non nul de l’origine propre au domaine de transition Zj→k
.
i
L’intersection des voisinages liés à chaque domaine Zj→k
est le voisinage dans lequel la fonction de Lyapunov V est
décroissante le long de toutes les trajectoires.
L’application de ce théorème comprend deux difficultés
majeures :
– les propriétés topologiques du système non–linéaire
doivent se prêter au calcul des zones de transition
i
;
Zj→k
i
– les incluants coniques de Zj→k
et Ωi doivent être les
plus petits possible de manière à réduire le conservatisme du résultat fourni avec cette technique.
Le partitionnement Ωi du plan de phase sur lequel on
découpe la FLM intervient directement dans le compromis
entre le conservatisme du résultat et les difficultés de calcul
des incluants coniques.
Ce compromis peut être géré de manière progressive et
permet de recourir successivement à des techniques existantes de plus en plus complexes :
– la stabilité quadratique – s’obtient avec une partition
du plan de phase par une région Ωi unique recoui
vrant le voisinage du point origine, les domaines Zj→k
couvrent alors le plan de phase entier (Qijk = 0 et
Qi = 0) ;
– la stabilité poly–quadratique – s’obtient avec une partition du plan de phase par des régions Ωi , les doi
maines Zj→k
couvrent toujours le plan de phase entier
(Qijk = 0 et Qi = 0) ;
– la stabilité poly–quadratique relâchée – s’obtient de la
même manière en relâchant les contraintes liées à des
transitions impossibles (Qijk = −∞ lorsque la transition de Ωj vers Ωk par Ti est impossible) ;
– la stabilité S–poly–quadratique simplifiée – s’obtient
en choisissant une partition Ωi = Ri et en calculant
les incluants coniques, de matrice QRi , des domaines
Ri (Qijk = QRi et Qi = QRi ) ;
– la stabilité S–poly–quadratique – s’obtient de la même
manière en ajoutant le calcul des domaines de tran-
i
sition Zj→k
et leurs incluants coniques de matrice
i
i
QZj→k
(Qijk = QZj→k
et Qi = QRi ) ;
– la stabilité S–poly–quadratique fine – s’obtient de la
même manière en prenant une partition Ωi plus fine
que la précédente en scindant les domaines Ri en une
ou plusieurs partitions.
On enlève ainsi progressivement du conservatisme aux
résultats en rajoutant progressivement de l’information sur
la topologie et les transitions du système.
Nous avons appliqué cette technique à la BVP–IC
d’ordre deux jusqu’au stade de la stabilité S–poly–
quadratique.
VI. Application à la BVP–IC d’ordre deux
Dans cette section nous proposons une partition du plan
de phase de type Ωi = Ri . Nous déterminons d’abord les
i
régions Zj→k
dans lesquelles des conditions doivent être relâchées, puis nous indiquons une technique pour obtenir les
incluants coniques à partir de la linéarisation des frontières
i
des Zj→k
.
La partition de l’espace de phase avec Ωi = Ri pour tout
i ∈ Ξ est un cas particulier du théorème 1. La partition Ωi
est ainsi entièrement définie par les inégalités (7) définissant
les domaines Ri .
A. Domaines de transition
i
Les domaines de transition Zj→k
correspondant au passage de Ωj à Ωk par la transformation Ti avec i 6= j sont
vides puisque l’on applique Ti uniquement si X ∈ Ri = Ωi .
Remarquons que pour une transition de Ri vers Rj ,
le second symbole (+ ou −) de l’identificateur i ∈ Ξ =
{++, +−, −+, −−} du domaine Ri (occupé à l’instant tk )
indique l’état du DPF à l’instant tk+1 . Le premier symbole
de l’identificateur j du domaine de Rj , (occupé à l’instant
tk+1 ), indique l’état du DPF au début de la période, soit à
l’instant tk+1 .
Le second symbole de i doit donc être égal au premier
symbole j pour que la transition ait un sens physique : il
ne peut succéder à la transformation T+− que les matrices
dont le premier symbole est « − », c’est–à–dire les transformations T−+ et T−− .
On peut ainsi éliminer la moitié des transitions possibles
et donc réduire de moitié le nombre de contraintes. Pour
cela, on définit un ensemble des séquences réalisables S par
S : {(ij, kl) tels que ij et kl ∈ Ξ, et j = k}
Les seuls domaines de transition non vides à déterminer
i
sont les domaines Zi→j
pour tout i et j pris dans S. On
note ces domaines Rij de manière plus allégée.
Pour définir les régions Rij , il est nécessaire de déterminer l’ensemble des points Xk tels que le point Xk+1 =
Ti (Xk ) appartienne à Rj . Cet ensemble est celui des antécédents par Ti de Rj . Il peut être défini grâce à la transformation inverse de T par Ti−1 (Rj ).
On montre dans [5] que l’existence d’une transformation
inverse continue permet d’établir une relation d’équivalence
entre la topologie du plan de phase de T et celle de son
conséquent par la transformation.
Les transformations Ti étant des difféomorphismes, on
peut utiliser cette équivalence topologique [8] pour déterminer la région Ti−1 (Rj ) à partir de l’image des frontières
de Rj par la transformation inverse Ti−1 .
La définition de l’ensemble Rij est alors l’ensemble des
points de Ri tels que leur image par Ti appartient à Rj . Les
régions Rij sont donc définies par l’intersection suivante :
Rij = Ri ∩ Ti−1 (Rj )
(9)
On définit ainsi analytiquement les régions Rij à partir
de l’une des deux frontières de Ri et de l’image par Ti−1
de l’une des deux frontières de Rj .
B. Calcul des incluants coniques
Pour chacune des régions du type Ri et Rij , nous cherchons à représenter l’appartenance du point X à une de ces
régions par une inégalité de type X T Qi X > 0.
Nous appelons indifféremment Di une région de type Ri
ou Rij . Chacune des régions Di est définie à l’aide de deux
frontières FDi (X) = 0 et FDi (X) = 0 par :
Di = {X ∈ R2 tels que FDi (X) > 0 et FDi (X) > 0} (10)
Les régions Di issues du découpage du plan de phase de
la BVP–IC ont l’avantage d’occuper chacune un voisinage
de l’origine du plan de phase. On peut alors approcher la
région Di en linéarisant ses frontières autour du point orici de Di par les inégalités
gine. Ainsi, on définit l’incluant D
suivantes :
ci = {(x, y) ∈ R2
D
∂FDi (X)
∂FDi (X)
x+
y>ι
∂x
∂y
∂FDi (X)
∂FDi (X)
y>ι
x+
et
∂y
∂x
(11)
}
où ι est un scalaire positif très petit4 .
Si l’on prend ι = 0, on définit une région ayant pour
frontière les tangentes des frontières de Di : des points de
Di peuvent alors ne pas être inclus. En prenant un ι légèrement positif on élargit le domaine défini ce qui permet
ci capable d’inclure Di dans un
de construire une région D
voisinage proche de l’origine.
ci est donc définie par l’intersection de deux
La région D
demi–plans correspondant aux inégalités linéaires (11). Ce
type de région est facilement mis sous la forme quadratique
en associant une matrice Ei de la manière suivante :
" ∂F (X) ∂F (X) #
Di
Ei =
∂x
∂FDi (X)
∂x
Di
∂y
∂FDi (X)
∂y
(12)
ι
c
Ei X ≥ ι2 ⇔ X ∈ Di ⇒ X ∈ Di , avec ι2 =
ι
Dans cette expression, l’inégalité signifie que chaque
composante du vecteur Ei X doit être supérieure à ι. Cette
ci .
condition est strictement équivalente à la condition X ∈ D
Nous notons par la suite Ei les matrices liées aux régions
Ri par la relation (12) et Eij celles liées aux régions Rij .
Dans le cas simple de frontières sous forme de droites,
le terme quadratique Qi recherché pour appliquer la S–
procédure s’exprime simplement par Qi = Ei T Ei . Pour
4 Le
symbole ι se prononce iota
simplifier l’implantation des IML dans le logiciel de résolution numérique, nous remplaçons la recherche de scalaires
positifs par la recherche d’une matrice Ui à entrées positives. Le terme ajouté pour relâcher les contraintes devient
ainsi Ei T Ui Ei > 0 au lieu de αi Qi .
De même, on applique la S–procédure dans une région
Rij en cherchant une matrice Uij à éléments positifs et en
ajoutant le terme Eij T Uij Eij > 0.
Le théorème 1 appliqué avec ces définitions permet d’affirmer que la fonction V (Xk ) = Vi (Xk ) lorsque Xk ∈ Ri
est une fonction de Lyapunov de (5), s’il existe des matrices Pi (i ∈ Ξ), des matrices Ui (i ∈ Ξ) et Uij (i ∈ S) à
entrées positives telles que :
cette région correspond vaguement à celle obtenue théoriquement.
Les écarts importants observés entre mesure et théorie
pour les faibles valeurs de a, ce qui correspond à une faible
résistance du filtre, s’expliquent par le fait que le système
est très peu amorti et converge très lentement vers le point
fixe : le bruit maintient la tension voct dans un voisinage
du point fixe qui devient de plus en plus étendu lorsque la
valeur de a diminue bien que le système soit stable.
Au vu des difficultés de mesure générées par le bruit, les
résultats expérimentaux semblent corroborer relativement
bien les résultats théoriques.
VIII. Conclusion
Ai T Pj Ai − Pi + Eij T Uij Eij ≥ 0, ∀(i, j) ∈ S
Pi − Ei T Ui Ei ≥ 0,
∀i ∈ Ξ
(13)
VII. Vérification expérimentale
La résolution des IML précédentes a été réalisée à l’aide
des deux logiciels suivants : Matlab couplé avec SeDuMi et
Scilab couplé avec LmiTool. Ces résolutions ont été effectuées pour plusieurs couples de paramètres (a, b) répartis
sur une grille de calcul suffisamment fine.
On a pu ainsi mettre en évidence une région du plan des
paramètres pour laquelle le test de stabilité a été vérifié sur
tous les points de la grille de cette région. Cette région de
stabilité présumée est un triangle, présenté dans la fig. 6
que l’on peut définir par les trois côtés a > 0, b > 0 et
b < 5 − a.
Pour valider ces résultats, un circuit expérimental à été
conçu de manière à obtenir un comportement le plus proche
possible de son modèle théorique. Grâce à ce circuit, on
vérifie d’une part l’exactitude des calculs, et on mesure
d’autre part l’impact de forts bruits et de dynamiques négligées sur ce résultat.
Les mesures de la frontière de stabilité de la fig. 6 ont
été faites en observant la valeur moyenne de la sortie d’un
discriminateur à fenêtre placé à l’entrée de l’OCT. Lorsque
le système est instable, la tension voct s’écarte de la valeur
centrale de la fenêtre et génère une impulsion positive à
la sortie du discriminateur. On déclare le système instable
lorsque la tension moyenne du discriminateur dépasse une
valeur limite.
b
5.5
mesure
theorie
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
a
Fig. 6
Confrontation du résultat théorique avec la mesure
expérimentale de la région de stabilité
La fig. 6 montre la région de stabilité ainsi mesurée,
À la lumière de la théorie des systèmes hybrides, l’étude
de la BVP–IC s’est révélée fructueuse. Ces nouveaux modèles et leurs méthodes d’analyses émergentes ont permis
de rendre compte avec exactitude de l’interaction entre le
détecteur de phase séquentiel et les parties analogiques de
ce type de BVP.
La stabilité du circuit a été prouvée sans approximation
pour tout type de trajectoire se produisant dans un voisinage de l’origine. La condition de stabilité communément
admise b < 4 − 2 a, qui a été déterminée à partir du modèle linéaire discret, peut être remplacée par la condition
beaucoup moins restrictive b . 5 − a développée dans cet
article.
Les mesures effectuées sur une platine expérimentale
tendent à confirmer ces résultats théoriques. Le domaine
de stabilité locale de la BVP–IC d’ordre deux serait donc
beaucoup plus étendu que celui proposé par les études linéaires (b < 4 − 2 a).
Les algorithmes de résolution d’IML offrent la possibilité
d’optimiser un critère quadratique. L’écriture d’un critère
quadratique pertinent permettrait de proposer une certaine
valeur du filtre au concepteur. On obtiendrait ainsi un système stable et optimal au sens d’un critère tel que ceux
utilisés dans les synthèses robustes de type H∞ ou H2 .
Références
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