MODELISATION DE SITUATIONS Définitions et remarques

INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE DE SAINT-DENIS
GEA 1
1
Année 2010­2011
Mohamed MRAD
MODELISATION DE SITUATIONS
Définitions et remarques importantes:
Le taux d’augmentation x (exprimé sous forme décimale) et le pourcentage d’augmentation t sont liés par la relation :
t
x=
100
Si P est la valeur d’une grandeur (prix, volume, population, etc) et si x désigne un taux d'augmentation (exprimé sous forme d'un nombre décimal), la nouvelle valeur de la grandeur est:
P' = P ( 1 + x ). Si P est la valeur d’une grandeur (prix, volume, population, etc) et si x désigne un taux de diminution (exprimé sous forme d'un nombre décimal), la nouvelle valeur de la grandeur est P' = P ( 1 ­ x )
En généralisant, si x désigne un taux de croissance, la nouvelle valeur après n augmentations, est:
P' = P ( 1 + x)n
et si y désigne un taux de décroissance, la nouvelle valeur de la grandeur après n diminutions, est:
P' = P ( 1 ­ y)n
Excercice 1
Un commerçant veut vendre un objet dont le prix de vente brut hors taxes est 4 570 €. Le commerçant propose un premier rabais de taux inconnu, puis un second rabais de taux égal au tiers du précédent. Le prix de vente net toutes taxes comprises est alors de 4 824,59 €, le taux de TVA utilisé étant 19,6 %.
Quel était le taux du premier rabais ?
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Fonctions d’une variable & Fonctions usuelles
Excercice 2
1) La courbe C ci­dessous obtenue à l’aide du logiciel mathématique MAPLE représente une fonction numérique définie sur [1 , 5].
i) Dressez le tableau de variations correspondant. On précisera les bornes de l'ensemble d'arrivée, le(les) signe(s) de la dérivée, le(les) sens de variation, l'(les) extrémum(s), la (les) tangente(s) horizontale(s) si elle(s) existe(nt).
ii) La fonction ci­dessus peut­elle représenter une fonction de coût total ? Si oui, précisez à quelles conditions. Si non, expliquez pourquoi.
Rappel:
Une fonction de coût total est une fonction positive et croissante. La variable représente une quantité, donc est aussi positive.
2)Voici les graphes – toujours réalisés avec MAPLE­ d'une droite (D) et d'une parabole (P) d’axe vertical.
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i) Donnez les équations cartésiennes de (D) et de (P).
L'équation d'une droite est de la forme y = a x + b. L'équation d'une parabole est de la forme y = a x2 + b x + c.
ii) Déterminez les équations des tangentes à la parabole aux points d'intersection de (D) avec (P).
L’équation de la tangente en un point M0 (x0, f(x0)) est donnée par :
y = f ’(x0) (x – x0) + f(x0)
Excercice 3
1) Soit la fonction f définie sur [0, +∞ [ par :
f(x)= x
1+x
i)
ii)
iii)
Sans utiliser la dérivée, étudier le sens de variation de la fonction f.
Montrer que f est bornée, c’est­à­dire majorée et minorée.
Pour quelle(s) valeur(s) de x et de y, l’équation f(x) = y a­t­elle une solution unique ? 2) Quelles sont les dérivées première et seconde des fonctions ?
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a) f(x) = 3 x2 + 7 x + 12 c) R(Q) = 0,05 Q3 ­ 0,3 Q2 + 2 Q + 4 4
b) C(Q) = 24000 Q2/3 ­ 300 Q1/3 + 100/ Q2/3
d) P(p) = 900 p /(p – 1) 3) Peut­on déterminer les coefficients a, b et c pour que la fonction f définie par f(x) = a x2 + b x + c
* passe par le point A(1,0)
* admette en A une tangente de coefficient directeur 0,5
* admette au point d'abscisse 0 une tangente horizontale?
4) La courbe ci­dessous est une hyperbole (H) d’équation: y = 4/x. On ne traite que la partie de (H) où x > 0.
Déterminer les équations et tracer les tangentes suivantes à (H) :
a) la tangente au point d’abscisse x = 2
b) la tangente de pente égale à ­4.
c) la tangente passant par le point A(0,2).
5) Soit la fonction f définie sur [0, +∝[ par:
3
2
f(x) = ­ x + x + x + 1
i)
Cette fonction admet­elle des extrémums ? i)
Existe­t­il des tangentes à la courbe représentative de f qui admettent comme coefficient directeur 1 ? Si oui, préciser le (les) point(s) de tangence et l' (les) équation(s) de la (des) tangente(s).
6) Etudiez les fonctions définies par f(u) = u2/(u­1)
C(Q) = 2 Q6/5 +4