Cercles empilés

CERCLES EMPILES
CERCLES EMPILES
Fiche descriptive
Niveau d’enseignement :
1ère S
Fiche professeur
Conjectures attendues :
Le rayon de chaque cercle s’obtient en ajoutant 1 au rayon du cercle précédent et le
centre a pour ordonnée le carré du rayon +
Type d’activité :
Problème ouvert
Durée :
1 heure
Outils :
Cabri ; Geoplan, Geogebra, Graphe Easy
Compétences TICE :
Créer une courbe. Créer un cercle et
modifier son centre et son rayon.
Devoir en temps libre :
(On peut proposer une rédaction plus ouverte)
Soient C0 , C1 ...C n ( n ∈ ) les cercles de rayons respectifs R n et de centres
respectifs I n ( 0;a n ) avec :
R 0 réel donné supérieur ou égal à
et a n = R n2 +
Compétences mathématiques :
Fonction carré, équation du second degré,
équation de cercle, suite et éventuellement
tangente à la parabole.
1
.
4
1
et pour tout entier naturel n, R n +1 = R n + 1
2
1
.
4
1. a. Démontrer que l’équation du cercle Cn peut s’écrire sous la forme
x2 + ( y − an ) = an −
2
1
.
4
b. Démontrer que la parabole et Cn ont exactement deux points communs M n
et N n symétriques par rapport à l’axe des ordonnées sauf dans un cas
Place dans la progression,
moment de l’étude :
Après l’étude de l’équation du second degré
et des suites récurrentes
particulier que l’on précisera et justifier qu’il faut imposer R 0 ≥
1
.
2
(On peut utiliser un logiciel de calcul formel)
2. Démontrer que pour tout entier naturel n, le cercle Cn +1 est tangent au cercle
Cn (on pourra calculer la distance I n In +1 )
3. a. Déterminer l’expression de R n en fonction de R 0 et n.
b. Déterminer l’expression de a n en fonction de R 0 et n.
c. Etudier le cas particulier R 0 = 1 .
On peut aussi demander de vérifier que le cercle Cn et la parabole ont la même
tangente en M n .
GROUPE MATH-TICE ORLEANS-TOURS
Indications pour le logiciel GeoGebra
LAISSE TOMBER
(
)
r r
Le plan est muni d’un repère orthonormal O; i , j .
Fiche élève
On « laisse tomber » dans la parabole
d’équation y=x² un cercle centré sur
r
l’axe (O; j) et de rayon R. On
suppose que le rayon est assez grand
pour que le cercle reste « coincé »
dans la parabole sans toucher
l’origine O du repère.
(Le cercle est alors tangent en deux
points à cette parabole, ces deux
points sont les seuls points communs
au cercle et la parabole).
On « laisse tomber » ensuite des cercles successifs de telle sorte que chacun d’eux
soit tangent au cercle précédent et au cercle suivant et tangent en deux points à la
parabole.
L’objectif de cette activité est de déterminer le rayon et l’ordonnée du centre de
chaque cercle en fonction de R.
1. Représenter la situation avec un logiciel adapté.
Appeler le professeur.
2. Emettre des conjectures.
Appeler le professeur.
3. Rechercher des pistes pour démontrer ces
conjectures.
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Icône 2/Nouveau point : Cliquer dans la fenêtre.
Icône 2/Intersection entre deux objets : Cliquer sur les deux droites et taper I.
Le principe est le même pour toutes les constructions faisant intervenir deux objets ou plus.
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Pour construire un cercle, un arc… :
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Pour construire une perpendiculaire, une parallèle… :
Exemple pour la perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point A :
Icône 4 : Cliquer sur le point A et sur (BC).
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