Ultrabac terminale S - Liban juin 2009 exercice de spécialité

Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Liban juin 2009
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l'écriture décimale
du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que n3 ≡ 2009 modulo 10000
Partie A
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20092 par 16.
La division euclidienne de 2009 modulo (ou par) 16 repose sur l'égalité :
2009
= 125
× 16
+ 9
Dividende
Quotient
Diviseur
Reste
Donc l'entier naturel 2009 est congru à 9 modulo 16.
2
Comme 2009 ≡ 9 modulo 16 alors 2009
≡ 92 ≡ 81 ≡ 5 × 16 + 1 ≡ 1 modulo 16 .
La congruence est compatible avec la puissance naturelle
Conclusion : le reste de la division euclidienne 20092 par 16 est 1.
(
)
≡ ( 2009 )
× 2009 modulo 16
≡ 20092×4000 × 2009 modulo 16
≡ (1)
4000
4000
× 2009 ≡ 1× 2009 ≡ 2009 modulo 16
 u = 20092 − 1
 0

5
 u n +1 = ( u n + 1) − 1 pour tout entier naturel n
1.a) Démontrer que u 0 est divisible par 5.
La division euclidienne de 2009 par 5 repose sur l'égalité :
2009
= 401
× 5 + 4
Quotient
Diviseur
Reste
Donc 2009 est congru à 4 modulo 5.
Toujours modulo 5, le carré de 2009 est alors congru à :
2
2
2009
≡ 4 ≡ 16 ≡ 5 × 3 + 1 ≡ 1 modulo 5
La congruence est compatible avec la puissance naturelle
2
Donc 5 divise la différence 2009 − 1 = u 0 .
5
u n + 1)
(
−1
Les fameuses combinaisons
p parmi n
A développer...
 5
5
5
5
= u n5 +   × u n 4 ×1 +   × u n3 × 12 +   × u n 2 × 13 +   × u n × 14 + 15 − 1
1
2
3
 
 
  4
...avec la formule du binome de Newton appliquée à une puissance 5
= u n5 + 5 × u n 4 +
5× 4
5× 4×3
5 × 4 × 3× 2
× u n3 +
× u n2 +
× un + 1−1
1× 2
1× 2 × 3
1× 2 × 3 × 4
(
)
= u n ×  u n 4 + 5 × u n3 + 2 × u n 2 + 2 × u n + 1 


1.c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n est divisible par 5n +1 .
Démontrons par récurrence sur l'entier n sur la propriété Pn : 5n +1 divise le terme u n .
Dans une démonstration par récurrence, deux choses sont à établir :
D'abord que la propriété est vraie au premier rang n = 0 .
Partie B
On considère la suite ( u n ) définie sur par :
Dividende
u n +1 =
)
= u n ×  u n 4 + 5 × u n3 + 10 × u n 2 + 10 × u n + 5


20098001 ≡ 20098000 × 2009 modulo 16
2
(
= u n5 + 5 × u n 4 + 10 × u n3 + 10 × u n 2 + 5 × u n
2. En déduire que 20098001 ≡ 2009 modulo 16 .
Raisonnons modulo 16 :
D'après le résultat
de la question
précédente
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1.b) Démontrer en utilisant la formule du binôme de Newton que pour tout entier naturel n,
u n +1 = u n ×  u n 4 + 5 × u n3 + 2.u n 2 + 2.u n + 1 


Soit n un entier naturel quelconque.
En application de la formule du binôme de Newton, nous pouvons écrire :
Lors de la question B.1.a, nous avons montré que u 0 était divisible par 5 = 50 +1 .
Donc la propriété P0 est vraie.
Ensuite le principe de récurrence ou de propagation : la propriété se propage-t-elle de
rang en rang ? Si la propriété Pn est vraie, alors la suivante Pn +1 doit être aussi vraie.
Supposons que la propriété Pn soit vraie, c'est-à-dire que 5n +1 divise le terme u n .
Il est clair, qu'alors, 5 divise u n mais aussi sa puissance quatrième u n 4 .
Donc 5 divise aussi la somme
u n4
(
)
+ 5 × u n3 + 2 × u n 2 + 2 × u n + 1 .
Divisible par 5 Aussi divisible par 5
Le terme suivant u n +1 est alors le produit :
u n +1 =
un
(
)
×  u n 4 + 5 × u n3 + 2.u n 2 + 2.u n + 1 



n +1 Divisible par 5
Divisible par 5
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Donc le produit u n +1 est divisible par le produit 5n +1 × 5 = 5n + 2 .
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Comme, d'après la question B.2.b :
20098001 = 2009 modulo 625
C'est une question de nombre de facteurs 5...
Par conséquent, la propriété Pn +1 est vraie. Le principe de récurrence est établi.
alors 625 divise la différence 20098001 − 2009 .
Comme les diviseurs 16 = 24 et 625 = 54 sont premiers entre eux, alors, en application
Conclusion : pour tout entier naturel n, le terme u n est divisible par 5n +1 .
du théorème de Gauss, 20098001 − 2009 est divisible par leur produit 16 × 625 = 10000 .
D'un point de vue congruence, cela se traduit par :
2.a) Vérifier que u 3 = 2009250 − 1 , puis en déduire que 2009250 ≡ 1 modulo 625 .
La suite ( u n ) étant définie par récurrence, pour accéder au terme u 3 , il faut au
20098001 ≡ 2009 modulo 10000
Petites précisions à propos du théorème de Gauss
Selon ma petite culture, la version officielle du théorème de Gauss est la suivante :
préalable calculer tous ceux qui le précèdent à partir de u 0 .
(
= ( u + 1) − 1 = ( 2009
= ( u + 1) − 1 = ( 2009
) ( ) − 1 = 2009 − 1
− 1 + 1) − 1 = ( 2009 ) − 1 = 2009 − 1
− 1 + 1) − 1 = ( 2009 ) − 1 = 2009
−1
5
u1 = u 0+1 = ( u 0 + 1) − 1 = 20092 − 1 + 1 − 1 = 20092
5
u 2 = u1+1
u 3 = u 2 +1
5
10
1
5
5
2
10
5
50
3+1
5
10
5
50
5
4
 a divise le produit b × c
Si 
 a est premier avec le facteur b
50
Et un corollaire (une conséquence) de ce théorème est :
250
La question précédente nous a appris que 5 = 5 = 625 divisait u 3 = 2009
C'est la définition même de la congruence. Nous en déduisons :
250
−1 .
2009250 ≡ 1 modulo 625
8001
2.b) Démontrer alors que 2009
Raisonnons modulo 625 :
= 2009 modulo 625 .
20098001 ≡ 20098000 × 2009 modulo 625
Voilà qui n'est pas
sans rappeler la
question A.2...
question
(
)
≡ ( 2009 ) × 2009 modulo 625
≡ 2009250×32 × 2009 modulo 625
250
≡ (1)
32
32
× 2009 ≡ 1× 2009 ≡ 2009 modulo 625
Partie C
1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes,
montrer que 20098001 − 2009 est divisible par 10000.
Comme, d'après la question A.2, on a :
20098001 ≡ 2009 modulo 16
alors 16 divise la différence 20098001 − 2009 .
alors a divise l'autre facteur c.
 a et b divisent c
Si 
 a et b sont premiers entre eux
alors le produit a × b divise c.
Dans cette question, c'est le corollaire qui a été appliqué et non le théorème de Gauss.
2. Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se
termine par 2009.
8001 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres 8 + 0 + 0 + 1 = 9 l'est. D'ailleurs :
8001 = 2667 × 3
Reprenant le résultat final de la question C.1, il vient :
( 2009 )
2667
3
= 20092667×3 = 20098001 ≡ 2009 modulo 10000
Conclusion : les quatre derniers chiffres du cube de l'entier 20092667 sont 2 ; 0 ; 0 et 9.
Quelques rappels sur la congruence, un outil très puissant au service de la division
Dans ce qui suit, a, b, c et d sont des entiers relatifs, et n est un entier strictement positif.
La congruence modulo n entre deux entiers a et b se définit de la manière suivante :
a ≡ b modulo n ⇔ n divise la différence a − b ⇔ a = b + λ × n où λ ∈
Tout entier a est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n.
La congruence a le grand avantage d'être compatible avec l'addition, la soustraction, la
multiplication, la puissance naturelle p mais pas avec le passage à l'inverse ou la division.
On a juste ces quatre propriétés et c'est tout !
 a ≡ b modulo n
Si 
alors a + c ≡ b + d a − c ≡ b − d a × c ≡ b × d a p ≡ b p
c ≡ d modulo n
Modulo n bien sûr ! La puissance p est un entier naturel...