le systeme masse ressort

LE SYSTEME MASSE RESSORT
La force F exercée par le ressort sur le solide accroché au bout du ressort est appelée force de rappel. Elle est
proportionnelle à l’allongement x du ressort :

F

k x i avec k la constante de raideur du ressort et s’exprime N.m
1
Détermination de k :
On suspend le ressort verticalement.

A l’équilibre, d’après le principe d’inertie : P
mg
Ainsi, m g k z d’où k
z

0 , et on projette sur l’axe (Oz) : P

F
F
0 d’où P
F
Equation différentielle du mouvement :
  


La 2ème loi de Newton permet d’écrire : P R F m aG avec R la force de réaction du sol sur le solide
accroché au bout du ressort.

  

Or P R 0 (dans la position d’équilibre du ressort) donc F m aG
Projetons cette accélération sur l’axe Ox :
kx
d2 x
d t2
m
d2 x
On obtient alors l’équation caractéristique d’un oscillateur non amorti :
d t2
Solution de la forme : x(t )
xm
cos
2
t
T0
k
x
m
0
0
Dérivons deux fois x(t ) :
dx
dt
2
T0
xm
2
sin
T0
d2 x
d t2
;
0
2
T0
On réinjecte dans l’équation différentielle :
On factorise : xm
2
cos
t
T0
0
Ceci doit être vrai pour tout t, donc
On détermine ensuite
0
2
T0
2
T0
2
2
2
xm
k
m
k
m
2
2
T0
cos
xm
2
T0
cos
2
T0
k
xm
m
0
0
0 d’où T0
et xm avec les conditions initiales : A t
0,
2
x ( 0)
x (0)
m
k
x0
v0
…
0
cos
2
t
T0
0
0