Traitement du Signal Bruits d`Echantillonage et de

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
première Bimestre 2001/2002
Séance 4 :
12 octobre 2001
Bruits d'Echantillonage et de Quantification
Formule du Jour :............................................... 1
La Transformée de Fourier d'une suite de deltas.........................2
Schéma de l'échantillonage .......................................................4
Théorème de Shannon..............................................................5
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur..............................7
Bruit d'échantillonage..............................................................8
Filtre Anti-repliement..............................................................9
Conversion Analogique Numérique ........................10
Les paramètres d'un quantification............................................11
Méthodes de conversion A/N ....................................................12
1) Méthodes Indirect : VCO.............................................12
2) Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”). .12
3) Approximation sucessive.............................................13
Conversion Numérique-analogique............................................13
Formule du Jour :
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
1
de poids f e = T .
e
{δΤe(t) }
∞
=
{ ∑
n=-∞
n
δ(t – f )} = fe δfe(f) = fe
e
∞
∑
k=–∞
δ(f – k fe)
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
La Transformée de Fourier d'une suite de deltas
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
1
de poids f e = T .
e
∞
∞
n
{δΤe(t) } = { ∑ δ(t – fe)} = fe δfe(f) = fe ∑ δ(f – k fe)
n=-∞
k=–∞
La forme de la transformée de Fourier Xe(f) = Xe(ω/2π) devient :
Xe(f) = X(f) * f e δfe(f) = fe
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
1
1
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre –2 ≤ f ≤ 2.
∞
Demonstration : Par suite de Fourier :
∞
∞
∑
∑
δ(t – nT e) =
αn
n=-∞
n=-∞
ejnωοt
f(x) =
∑
αn e jn2πfox
n=-∞
2π
ω o= T
e
-T e T e
les coeficients sont determiné par l'integrale dans la periode [ 2 , 2 ].
T e/2
∫
1
1
αn = T
δ(t) e–jnωοt dt = T
e -T /2
e
e
∞
1
Donc : ∑ δ(t – nT e) = T
e n=-∞
n=-∞
∞
∑
ejnωοt
∞
1
j n(2π/Te) t
=T
e
∑
e
n=-∞
1
2π
ou bien δ(t – nTe) = T δ(t) ejn(2π/Te)t (Rétard en phase par n T )
e
e
4-2
Bruit d'Echantillonage et Quantification
∞
∞
1
δ(t – nT e)} = T
∑
e
n=-∞
n=-∞
{ ∑
∞
{
∑
Séance 4
{ej2π n/Te }
δ(t – nT e)}
n=-∞
1
= T
e
∞
1
2πn
= T
δ(ω – T )
∑
e
e
n=-∞
∞
∑
n=-∞
2πn
δ(ω – T )
e
1
ou en f avec fe = T
e
∞
∞
1
{ ∑ δ(t – n f )} = fe ∑ δ(f – n f e) = fe δfe(f)
e
n=-∞
n=–∞
4-3
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Schéma de l'échantillonage
Spectre d'un échantillonneur idéal :
X(f)
f
–2fe
–fe
0
fe
2fe
Spectre du signal analogique :
X(f)
f
Spectre du signal après échantillonnage (idéalisé) :
fe
1
Replié autour du fréquence de “Nyquist”. fN = 2 = 2T
e
X(f)
f
–2 fN
–fe
– fN
0
fN
fe
2 fN
2fe
4-4
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Théorème de Shannon
Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limité à 2F hz ne peut
être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(n∆t) que si ceux-ci ont été
1
1
prélevés avec une période Te = f ≤ 2F.
e
Spectre du signal analogique :
X(f)
x(t)
f
–FN –F
F F
N
Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déforme pas le motif répété, Il
1
faut et il suffit que la fréquence de répétition fe = T (la fréquence
e
d'échantillonnage) soit égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximum F du
signal.
f
F ≤ f N = 2e
4-5
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Exemple :
Pour une sinusoïde, Cos(2πfot), la fréquence d'échantillonnage minimale est deux
λ
1
1
échantillons par cycle. Te = 2 = 2f ou f = 2T (Cycle/échantillon)
o
e
Soit une fréquence d'échantillonage fe.
fe
Si la fréquence du signal, fo, est supérieure à 2 par ∆f :
fe
c-à-d :
si f o = 2 + ∆f tel que ∆f > 0
alors, la séquence d'échantillons est assimilée à une suite de fréquence falias tel que :
fe
falias = 2 – ∆f.
fe
fe
c-à-d : E2{ Cos( 2πt ( 2 + ∆f))} = Cos( 2πt ( 2 – ∆f))
4-6
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Rappel du modèle idéal d'un échantillonneur
Le modèle général d'un échantillonneur idéal E2{} est :
xei(t)
x(t)
δTe(t)
∞
xei(t) = x(t) . T e δΤe(t) = Te
∑ x(t)
δ(t – nT e)
n=∞
par convention on dit que Te = 1, et que xei(n) = xei(nT e)
1
Dans ce cas fe = T = 1.
e
La transformée de Fourier d'une fonction peigne est une fonction peigne,
1
de poids f e = T .
e
{δΤe(t)}
∞
=
{ ∑
n=-∞
n
δ(t – f )} = fe δfe(f) = fe
e
∞
∑
δ(f – k fe)
k=–∞
La forme de la transformée de Fourier Xe(f) = Xe(ω/2π) devient :
Xe(f) = X(f) * f e δfe(f) = fe
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Si Te = 1,
Xe(f) = X(f) * δfe(f) =
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Note : Une échantillonnage en temps implique une périodicité en fréquence.
En général, le spectre X(ω) du signal échantilloné est noté entre –π ≤ ω ≤ π.
1
1
et le spectre X(f) du signal échantilloné est noté entre –2 ≤ f ≤ 2.
4-7
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Bruit d'échantillonage
1
Soit f e = T = 1.
e
Xe(f) = X(f) * δfe(f) =
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Le "bruit" d'echantillonage est
f e/2
Wb 2 ∫ X e(f)2 df
-f e/2
f e/2
=2
∞
⌠

∑ X ( f – k f e)2 df

⌡ k=1
-f e/2
fe
Mais ceci est équivalent a tout l'energie au dela de 2
∞
∞
Wb= 2 ∫ X e(f)2 df = 2 ∫ X(f) 2 df
fe/2
fe/2
4-8
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Filtre Anti-repliement
Afin d'éviter ce repliement de spectre, Il est indispensable d'introduire un
préfiltrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage.
x(t)
xe(nTe)
g (t)
δTe(t)
Le filtre Anti-repliement (ou filtre de garde) parfait serait un filtre passe-bas idéal
fe
de bande passante B = 2 . Tout filtre anti-repliement réel comporte une bande de
transition qui reporte la bande passante limite BM au delà de la bande passante
effective.
Spectre Réel
Spectre Idéel
–Fmax
Fmax
Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spécifie les caractéristique d’un
filtre avec un gabarit en donnant des paramètres:
δp :
ωp
ωa :
δa :
L’ondulation en bande passant
Dernière fréquence passante
première fréquence atténuée
L’ondulation en bande atténuée.
| H(ω) |
1 + δp
1 – δp
1 – δa
ω
ωp ωc ω a
1 + δa
π
4-9
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Conversion Analogique Numérique
Tout système de traitement de signaux faisant appel à un ordinateur ou à un
processeur numérique spécialisé implique necessairement une opération
préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N).
L'information traitée est restituée sour forme analogique par une conversion
Numérique-analogique (N/A) (dit digital to analog ou A/D en Anglais).
x(t)
x(n∆T)
t
n∆T
x(n)
V
4q
3q
2q
q
0
–1q
–2q
t
La conversion analogique numérique implique également après échantillonnage une
opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de léchantillon par la
plus proche valeur approximative extraite dun ensemble fini de valeurs discrètes.
Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais).
Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire,
par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui
fixent la plage de conversion. Chaque nombre xq(n), représente un ensemble de
valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur q appelé "pas de
quantification".
Lorsque la plage de conversion est subdivisé en pas de quantification égaux, on
parle de quantification uniforme.
4-10
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Les paramètres d'un quantification
Les paramètres d'un quantification uniformes sont :
q : Le pas de quantification (en volts)
V : Le plage de quantification (en volts)
B : le nombre de bits de la representation numérique
V
Nombre de valeurs representé 2B = q
4-11
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
Méthodes de conversion A/N
1) Méthodes Indirect : VCO
La valeur de la tension du signal d’entrée est convertie en une fréquence par une
oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO).
La fréquence est proportionnelle à la tension.
Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant ∆T.
2) Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).
U0
La tension x(n∆T) d’entré est comparé à 2B – 1 valeurs du type : k 2B
déduite d’une tension de référence U0.
Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique.
U0 (tension de référence)
2n–1 comparateurs
R
x(t)
+
–
R
+
–
•
•
•
décodeur
Logique
Sortie
numérique
(codée
en
binaire)
R
+
–
R
+
–
R
Utiliser pour la vidéo, radar, etc.
Avantage : Rapide est simple.
Inconvenance : Manque de précision.
4-12
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 4
3) Approximation sucessive
La tension d’entrée est comparé successivement à une succesion de 2B – 1 valeurs
U0
de référence pondérées k2N.
C’est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique :
x(t)
+
Σ
–
+
–
Horloge et logique
de commande
interne
•••
Convertisseur
N/A
}
Sortie
numérique
Tension de
Référence U0
Conversion Numérique-analogique
Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif produisant une grandeur
de sortie y qui possède 2N valeurs distinctes. Il est à loi uniforme si ces valeurs
sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2N · q selon la
loi :
y = q (d1 2 B-1 + d2 2 B-2 + ... + dB 2 0)
où q est le pas de quantification.
Des interrupteurs commandés par les variables binaires dk (dk = 0 interrupteur
ouvert, dk= 1 interrupteur fermé) contrôlent le passage de courants pondérés I0/ 2N
provenant de source de cournat dépendant d’une référence I0 vers un point de
sommation.
4-13
Bruit d'Echantillonage et Quantification
•
•
•
I0/2
d1
I0/4
d2
I0/2B
dB
Séance 4
I = d1I0/2 + d2I0/4 + ... + dBI0/2B
•
•
•
Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même
instant. Il ne résulte des parasites de commutations (“Glitches” en anglais) qui
doivent être éliminés par filtrage.
4-14