VI CIRCUITS PASSIFS : ( ) ( )

En identifiant les membres des 2 matrices ABCD, on obtient une impédance Z1 inductive et une
impédance Z2 capacitive, qui correspond bien au schéma électrique équivalent de la ligne.
VI CIRCUITS PASSIFS :
Les circuits MMIC ont besoin d’un certain nombre de circuits passifs pour fonctionner.
Notamment pour adapter les impédances, pour filtrer, pour diviser ou coupler la puissance, ou
encore pour déphaser le signal.
Ce chapitre montre les principaux dispositifs passifs utilisés dans le domaine des microondes,
ceux-ci peuvent être réalisés en technologies distribuée ou localisée.
⎛θ⎞
Z1 = j.Z0 .tg ⎜ ⎟ = j.L1.ω et
⎝2⎠
La matrice chaîne (ou ABCD) d’une ligne de transmission est la suivante :
⎛ V1 ⎞ ⎛ cosθ
⎜ ⎟=⎜
⎝ I1 ⎠ ⎝ j.Y0 .sinθ
j.Z0 .sinθ ⎞ ⎛ V2 ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ V2 ⎞
.⎜ ⎟
⎟ .⎜ ⎟ =
cosθ ⎠ ⎝ I 2 ⎠ ⎜⎝ C D ⎟⎠ ⎝ I 2 ⎠
L’indice 1 des tension et courant correspond à l’entrée de la ligne et l’indice 2 à sa sortie. Les
matrices chaîne et S sont liées par un jeu d’équations qui permettent de passer d’un paramètre à
l’autre (Annexe). Ainsi le paramètre de transmission devient égal à :
S21 =
Une ligne de transmission introduit donc un déphasage négatif, à savoir une avance de phase.
Une ligne de transmission peut être modélisée par un schéma électrique équivalent à un
quadripôle en T (figure 1) :
2.Z1.Z2 +Z12 ⎞
⎟
Z2
⎟
Z1 +Z2 ⎟
⎟⎟
Z2
⎠
L1=L/2
C2
Z0
ω
et C2 =
1
Z0 .ω
L’intérêt d’utiliser des composants localisés est que l’on peut introduire une avance de phase
(déphasage négatif), dans ce cas, on introduit un signe négatif sur Z1 et Z2. Ces impédances sont
alors réalisées respectivement par une capacité et une inductance et non plus une inductance et une
capacité. De plus, on peut balayer une grande plage de déphasage, sous réserve que les composants
localisés soient réalisables.
C1 =
1
Z0 .ω
et L2 =
Z0
dans le cas d'un déphasage négatif de -90°
ω
Les coupleurs permettent de répartir la puissance du signal sur 2 ou plusieurs voies afin de
partager le signal ou de l’additionner, ce sont alors des combineurs. Il existe deux sortes principales
de coupleurs : à lignes couplées et branches. Leur principe de fonctionnement diffère.
2.1 Coupleurs à lignes couplées :
Lorsqu’un signal est injecté à l’entrée d’une ligne qui se trouve à proximité d’une seconde ligne,
une partie de ce signal passe sur cette seconde ligne par couplage du champ électromagnétique.
La matrice ABCD d’un quadripôle en T est donnée par :
L1=L/2
L1 =
2. COUPLEURS et DIVISEURS
2
= exp ( -jθ )
A+B.Y0 +C.Z0 +D
⎛ Z1 +Z2
⎜
Z
( ABCD ) = ⎜⎜ 2
1
⎜⎜
⎝ Z2
1
1
=
j.Y0 .sinθ j.C2 .ω
Ainsi, au lieu d’utiliser une ligne de transmission pour introduire un déphasage, on peut utiliser
des éléments localisés associés en un quadripôle en T. Le déphasage sera fonction de la valeur des
composants. Ainsi pour obtenir un retard de phase de +90°, les composants doivent avoir les valeurs
suivantes à la fréquence f :
1. DEPHASEUR
Le circuit déphaseur le plus simple est une ligne de transmission de longueur ℓ. Cette ligne
introduit un déphasage égal à θ = β.ℓ, où β est la constante de propagation du signal sur la ligne de
transmission.
Z2 =
Z1
En appliquant la théorie des lignes à cette structure, on s'aperçoit que deux modes de propagation
TEM coexistent sur chacune des lignes. Chaque mode a une constante de propagation différente,
une vitesse de propagation différente et une impédance caractéristique différente. Ces deux modes
sont appelés mode pair (even mode) et mode impair (odd mode). Il a été montré que le maximum de
couplage apparaît lorsque la longueur de couplage est de λm/4 ou de kλm/4, k étant un nombre entier
impair et λm la longueur d'onde se propageant sur la ligne à mi-bande. Cette longueur de ligne
introduit alors un déphasage de 90° du signal. Un coupleur à lignes coupleurs (figure 3) a une
valeur de couplage qui dépend de l’espacement entre les lignes et de la largeur des 2 lignes
couplées.
Z1
Le coupleur le plus utilisé est le coupleur de Lange (figure 3) qui présente un déphasage de 90°
entre l’entrée et la sortie. C’est un coupleur quatre ports à 3dB. La voie 1 est l’entrée, les voies 2 et
3 sont les sorties en quadrature et la voie 4 est la voie isolée. La bande passante est élargie en
adoptant une structure interdigitée.
Z2
Figure 1 : Schéma électrique équivalent à une ligne de transmission : quadripôle en T.
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
71
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
72
En effet, la matrice de l’octopôle correspondant au coupleur branche est la suivante :
H
w s w
εr
⎡0 j 1 0⎤
⎢
⎥
Z
Z
-b ⎢ j 0 0 1 ⎥
S=
avec a= 0 et b= 0 ; dans ce cas, le module du paramètre S21 ou
a ⎢1 0 0 j ⎥
Z01
Z01
⎢
⎥
⎣0 1 j 0⎦
S31 est égal à 3dB, si b=1 et a=√2.
E
Mode pair
H
h
εr
2.3 Coupleur en anneau :
εr
Un signal entrant sur la voie 1 est divisé en phase sur les voies 2 et 3 et un signal entrant sur la
voie 4, sort en opposition de phase entre les voies 2 et 3. L’impédance caractéristique de ces lignes
de transmission est Z0/√2 pour obtenir un couplage de 3 dB, comme l’indique sa matrice S.
E
Mode impair
Figure 2 : Lignes de champ de lignes couplées en technologies microstrip.
1
2
(a)
1
(b)
2
⎡0 1
⎢
-j ⎢1 0
S=
2 ⎢1 0
⎢
⎣0 -1
1 0⎤
0 -1⎥⎥
0 1⎥
⎥
1 0⎦
λm/4
1
3
λm/4
λm/4
4
3
λm/4
4
3
λm/4
4
2
Figure 3 : Coupleur à lignes couplées (a) et coupleur de Lange (b).
3λm/4
2.2 Coupleur branche :
Dans le coupleur branche (figure 4), si le signal d’entrée est injecté sur l’accès 1, l’accès 2 est la
voie directe, l’accès 3, la voie couplée et l’accès 4, la voie isolée. Les signaux sur les accès 2 et 3
sont en quadrature.
Accès 1
Z01, λm1/4
Z0
Z02, λm2/4
Accès 4
Z0
Figure 5 : Coupleur en anneau.
2.4 Diviseur de wilkinson :
Z0
Un diviseur de Wilkinson présente 3 accès, il ne fonctionne plus comme un coupleur, mais il
répartit, également sur les accès 2 et 3, la puissance d’entrée injectée sur l’accès 1 (figure 6). La
résistance R a pour rôle d’assurer l’isolation entre les voies 2 et 3 et leur adaptation à l’entrée, elle
doit être égale à 2.Z0.
Accès 2
Z02, λm2/4
Z01, λm1/4
Z0
Accès 2
R
Accès 3
Accès 1
Z0
Figure 4 : Coupleur branche.
Z1, λg1/4
La valeur de l’impédance caractéristique Z01 fixe le couplage, ainsi pour obtenir un coupleur à
3dB, Z01 doit être égale à Z0 / 2 et Z02 à Z0.
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
Z0
Z1, λg1/4
73
Accès 3
Z0
Figure 6 : Diviseur de Wilkinson.
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
74
L’impédance caractéristique Z1 doit être égale à Z0/√2 afin d’obtenir un couplage de 3dB . La
matrice S du coupleur de Wilkinson est alors la suivante :
S=
Les filtres de type LC sont les filtres réalisables dans le domaine des microondes, en remplaçant
les éléments idéaux calculés pour obtenir une réponse de type butterworth, tchebycheff ou cauer,
par des éléments distribués ou localisés. On voit bien que l’ordre du filtre n’est plus respecté et que
l’introduction des éléments parasites, pour chacun des composants utilisés, va entraîner une
modification de la réponse du filtre devant la réponse idéale.
⎡0 1 1 ⎤
-j ⎢
1 0 0 ⎥⎥
2⎢
⎢⎣1 0 0 ⎥⎦
Utilisé en inverse, la propriété de ce diviseur permet d’en faire un combineur de puissance.
2.5 Coupleur et diviseur en éléments localisés :
Les structures que nous venons de voir, réalisées en lignes de transmission, sont gourmandes en
espace et ont une bande passante limitée et inférieure à 10%. Comme leurs dimensions sont
proportionnelles à la longueur d’onde du signal, les dimensions diminuent lorsque la fréquence du
signal augmente, ainsi sont-elles moins encombrantes à partir de 20 GHz et en bande millimétrique.
A des fréquences plus basses, on peut également réaliser ces structures en éléments localisés.
L
1
2
C
C
2C
L2
1
R
3
2
L1
4
C
L2
C
Nous avons vu au début de ce chapitre, comment synthétiser des inductances, des capacités et
des résonateurs par des lignes de transmission, ainsi un filtre passe-bas consistera en des lignes de
transmission de faible et haute impédances caractéristiques, cascadées avec un nombre de lignes
correspondant à l’ordre du filtre (figure 9).
L2
L4
Z0
C1
C3
3
C
Figure 7 : Diviseur de Wilkinson et coupleur branche localisés.
C5
2
Z03
Z04
ℓ2
ℓ3
ℓ4
w1,s1
L
2C
2C
L
L
w3,s3
w4,s4
w5,s5
2C
ℓ1
4
2C
ℓ5
w2,s2
L
1
Z0
Les filtres passe-bande sont réalisés à partir de structures résonnantes. Ces résonateurs sont
difficilement réalisables à partir de capacités interdigitées, MIM ou inductances spirales. Or une
ligne de transmission de longueur λm/2 ou nλm/2, n étant un nombre entier, n'est autre qu'un
résonateur. En utilisant ce type de résonateurs, en les cascadant, en les couplant chacun sur une
longueur λm/4 et en associant le nombre de cellules requises, on peut réaliser des filtres passe-bande
ou coupe-bande plus facilement (figure 10).
3
L
Z05
Figure 9 : Filtre passe-bas en éléments distribués.
2C
L
Z02
ℓ1
Z0
2C
Z01
C
L1
L
mais les pertes inhérentes à la technologie peuvent devenir importantes, notamment si le filtrage
requiert un grand nombre de pôles.
ℓ2
ℓ3
ℓ4
Z0
ℓ5
Figure 10 : Filtre passe-bande à lignes couplées.
Les filtres sont également utilisés pour réaliser les étages d’adaptation des circuits actifs. Le
nombre de pôles du filtre déterminent la raideur de la coupure et ainsi la bande passante du circuit.
Figure 8 : Coupleur en anneau localisé.
3. FILTRES
4. ADAPTATEURS D’IMPEDANCE
Les filtres peuvent être réalisés en éléments distribués ou localisés. Dans le premier cas la
largeur de bande est faible pour un filtre passe-bande, et dans le second cas, elle est plus grande
Outre les structures en filtre, il existe différentes méthodes d’adaptation d’impédance que nous
allons résumer ici.
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
75
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
76
4.1 Adaptation à un stub :
4.3 Transformateurs quart d’onde :
Un stub est un segment de ligne de longueur ℓ, d’impédance caractéristique Z0, terminée par un
circuit ouvert ou un court-circuit. En considérant une ligne sans perte, le stub ramène à son entrée
une impédance (ou admittance) purement réactive.
Ce transformateur est utilisé pour adapter une impédance réelle.
ℓ=λm1/4
Le stub doit être placé à une distance d de l’impédance à adapter comme le montre la figure 11.
d
ℓ=λm1/4
Z0
Z0
Z1
RL
Z1
d
ℓ
Z0
Z0
Figure 13 : Transformateur quart d’onde.
j.B
ZL=RL+j.XL
YL=GL+j.BL
Z0
La valeur de l’impédance caractéristique de la ligne quart d’onde est donnée par la relation :
Z1 =
d
ℓ
RL
YL=GL+j.BL
Z 0 .R L
Cet adaptateur d’impédance a une structure de filtre passe-bande adapté à une fréquence centrale
correspondant à la longueur de la ligne quart d’onde. La largeur de bande d’adaptation est
relativement faible en utilisant une seule section, pour l’augmenter, on utilise plusieurs sections de
lignes quart d’onde.
ℓ=λm1/4
ℓ=λm2/4
ℓ=λm3/4
ℓ=λmN/4
Figure 11 : Adaptation à un stub.
Pour adapter à l’impédance Z0, il faut que l’impédance totale vue dans le plan d’entrée du stub
soit égale au complexe conjugué de l’impédance Z0. Ceci se traduit par additionner l’admittance
ramenée par le stub et celle ramenée par la ligne de longueur d. il suffit ensuite d’égaliser les parties
réelles et imaginaires.
Ce type d’adaptation est relativement faible bande. Il est à noter que le stub peut être remplacé
par un élément localisé inductif ou capacitif qui synthétise l’impédance j.B.
Z0
ℓ1
Z0
ℓ2
d
ℓ1
ZL=RL+j.XL
Z1
Z2
Z3
ZN
RL
Figure 14 : Transformateur quart d’onde multi-sections.
L’impédance caractéristique de chacun des tronçons de ligne peut être calculé à partir de
l’équation de récurrence :
−N
N
Z
⎛R ⎞
ln ⎛⎜ n +1 ⎞⎟ = 2 .C n . ln ⎜ L ⎟
⎝ Zn ⎠
⎝ Z0 ⎠
4.2 Adaptation à deux stubs :
d
Z0
avec
N
Cn =
N!
( N − n ) !.n !
Ces lignes de différentes impédances caractéristiques, sont de largeurs différentes et
correspondent à des sauts d’impédance. Pour minimiser les perturbations introduites par ces sauts,
des lignes taperisées sont utilisées.
ℓ2
YL=GL+j.BL
4.4 Adaptateurs à éléments localisés :
Deux types simples d’adaptateurs peuvent être utilisés (figure 15).
Figure 12 : Adaptation à deux stubs.
En utilisant la théorie des circuits, on égalise l’impédance Z0 à l’impédance totale vue à l’entrée
de l’adaptateur.
Ce système d’adaptation est utilisé en tant que tuner externe, dont on fait varier les distante et
longueurs de stub, pour adapter toute sorte d’impédance et ainsi pouvoir effectuer des mesures de
composants, en puissance notamment, afin de déterminer les impédances d’entrée ou de sortie.
Ceci nous permet de déduire les valeurs de X et B, qui sont fonctions de Z0, RL et XL, après avoir
résolu une équation du second degré. Ces valeurs peuvent être indifféremment positives ou
négatives, on prend alors une capacité ou une inductance correspondante, il faut veiller à ce que la
valeur numérique calculée corresponde à un composant réalisable.
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
77
78
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
79
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
D
Y22
ZL
Y21
v2
⎛ i1 ⎞ ⎛ Y11 Y12 ⎞ ⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟ = ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ i 2 ⎠ ⎝ Y21 Y22 ⎠ ⎝ v 2 ⎠
Q
C
Y12
ΔA
B
1
= −
B
= A
B
Y22
Y21
Y12 = −
Un quadripôle est un circuit à 2 accès, défini par ses courants et tensions à l’entrée et à la sortie.
Y11 = D
B
Ainsi, en fonction de la valeur de l’impédance à adapter, on utilisera la configuration (a) ou (b).
S
Y11
Y0
Y12
Y0
Y21
Y0
Y22
Y0
−2.S 21
( 1 + S11 ) ( 1 + S22 ) − S12S21
−2.S12
( 1 − S11 ) ( 1 + S22 ) + S12S21
( 1 + S11 ) ( 1 + S22 ) − S12S21
80
( 1 + S11 ) ( 1 + S22 ) − S12S21
( 1 + S11 ) ( 1 − S22 ) + S12S21
=
( 1 + S11 ) ( 1 + S22 ) − S12S21
=
=
=
( 1 + S11 ) ( 1 − S22 ) + S12S21
Z11
=
Z0
( 1 − S11 ) ( 1 − S22 ) − S12S21
Z12
2S12
=
Z0
( 1 − S11 ) ( 1 − S22 ) − S12S21
Z 21
2S 21
=
Z0
( 1 − S11 ) ( 1 − S22 ) − S12S21
( 1 − S11 ) ( 1 + S22 ) + S12S21
Z 22
=
Z0
( 1 − S11 ) ( 1 − S22 ) − S12S21
Figure 15 : Adaptateurs à éléments localisés.
Z 22
ΔZ
− Z12
=
ΔZ
− Z 21
=
ΔZ
Z11
=
ΔZ
B
i2
ZL=RL+j.XL
Y11 =
v1
(b)
Z 22
i1
j.X
Z 21
A
j.B
Y
Z
ZS
ES
ZL=RL+j.XL
Z11 = A
C
Δ
Z12 = A
C
Z 21 = 1
C
Z 22 = D
C
(a)
Z0
ABCD
j.B
Z12
Y22
ΔY
− Y12
=
ΔY
− Y21
=
ΔY
Y11
=
ΔY
Z11 =
Y
j.X
⎛ v1 ⎞ ⎛ Z11 Z12 ⎞ ⎛ i1 ⎞
⎜v ⎟ = ⎜Z Z ⎟⎜i ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 21 22 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Z
Z0
5. ANNEXES
5.1 Relations entre les différentes matrices d’un quadripôle :
Selon que les impédances sont en série ou en parallèle, il faudra travailler en matrice Z ou Y.
Attention : 2 quadripôles en cascade voient leurs matrices ABCD multipliées mais les matrices S
ne le sont pas. Dans le tableau suivant, chaque quadripôle est considéré comme étant connecté à une
ligne d’impédance Z0, en entrée et en sortie.
A + B.Y0 + C.Z 0 + D
2 ( A.D − B.C )
=
A + B.Y0 + C.Z 0 + D
2
=
A + B.Y0 + C.Z 0 + D
− A + B.Y0 − C.Z 0 + D
=
A + B.Y0 + C.Z 0 + D
Quadripôle
Matrice ABCD
Matrice S
Z
⎛1 Z⎞
⎜0 1⎟
⎝
⎠
⎛ Z 2.Z 0 ⎞
1
Z + 2.Z 0 ⎜⎝ 2.Z 0 Z ⎟⎠
Y
⎛ 1 0⎞
⎜Y 1⎟
⎝
⎠
⎛ − Y 2.Y0 ⎞
1
Y + 2.Y0 ⎝⎜ 2.Y0 − Y ⎟⎠
Z3
⎛ 1 + Z1
D ⎞
⎜ Z3 Z3 ⎟
⎜
Z ⎟
⎜ 1 1+ 2 ⎟
Z3 ⎠
⎝ Z3
D = Z1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z1
2
⎞
2Z 0 Z 3
1 ⎛ − Z 0 + PZ 0 + D
⎜
⎟
2
DS ⎝
− Z 0 − PZ 0 + D ⎠
2Z 0 Z 3
2
D S = Z 0 + QZ 0 + D
Q = Z1 + Z 2 + 2Z 3
P = Z1 − Z 2
⎛ 1 + Y2
1 ⎞
⎜ Y3 Y3 ⎟
⎜
Y ⎟
⎜ D 1+ 1 ⎟
Y
Y
⎝
3
3 ⎠
D = Y1Y2 + Y2 Y3 + Y3 Y1
2
⎞
2Y0 Y3
1 ⎛ Y0 − PY0 − D
⎜
⎟
2
DS ⎝
2Y0 Y3
Y0 + PY0 − D ⎠
2
D S = Y0 + QY0 + D
Q = Y1 + Y2 + 2Y3
P = Y1 − Y2
Z1
− y12 y 21 S 21
+ y12 y 21
− y12 y 21 S 22
ΔA
ΔZ
ΔY
Z ij
Yij
y ij =
Z0
Y0
= A.D − B.C
= Z11 .Z 22 − Z12 .Z 21
= Y11 .Y22 − Y12 .Y21
z ij =
Z2
Y3
Y2
α
−α
−α
⎛
⎛ 20α
20
20
20 ⎞ ⎞
⎜ 10 + 10
Z 0 ⎜10 − 10 ⎟⎟
⎜
⎟⎟
2
2
⎜
⎝
⎠
⎟
⎜
α
−α
α
−α
⎜ ⎛10 20 − 10 20 ⎞ 10 20 + 10 20 ⎟
Z
⎟
⎟⎟
⎜⎜ 0 ⎜⎜
⎟
2
2
⎠
⎝ ⎝
⎠
α
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
S 22
S 21
Y1
Avec
S 22
− z12 z 21
− z12 z 21
− z12 z 21
S 21 =
S
S12
2.z12
=
( 1 + z11 ) ( 1 + z 22 )
2.z 21
=
( 1 + z11 ) ( 1 + z 22 )
( z + 1 ) ( z 22 − 1 )
= 11
( 1 + z11 ) ( 1 + z 22 )
− z12 z 21
S12 =
(1 +
(1 +
(1 +
=
(1 +
−2.y12
y11 ) ( 1 + y 22 )
−2.y 21
y11 ) ( 1 + y 22 )
y11 ) ( 1 − y 22 )
y11 ) ( 1 + y 22 )
− y12 y 21 S12
( 1 − y11 ) ( 1 + y 22 ) + y12 y 21
A + B.Y0 − C.Z 0 − D
( 1 + y11 ) ( 1 + y 22 ) − y12 y 21 S11 =
S11 =
( z11 − 1 ) ( z 22 + 1 ) − z12 z 21
( 1 + z11 ) ( 1 + z 22 ) − z12 z 21
S11 =
⎛ v1 ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ v 2 ⎞
⎜ i ⎟ = ⎜ C D ⎟ ⎜ −i ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝
⎠⎝ 2 ⎠
81
⎛ b1 ⎞ = ⎛ S11 S12 ⎞ ⎛ a 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ b 2 ⎠ ⎝ S 21 S 22 ⎠ ⎝ a 2 ⎠
2.S 21
B = ( 1 + S11 ) ( 1 + S 22 ) − S12S 21
Z0
2.S 21
C = ( 1 − S11 ) ( 1 − S 22 ) − S12S 21
Y0
2.S 21
( 1 − S11 ) ( 1 + S22 ) + S12S21
D =
2.S 21
( 1 + S11 ) ( 1 − S22 ) + S12S21
A =
− Y22
Y21
−
B = 1
Y21
−Δ Y
C =
Y21
− Y11
D =
Y21
A =
Z11
Z 21
Δ
B = Z
Z 21
ABCD
C = 1
Z 21
Z
D = 22
Z 21
A =
5.2 Paramètres de certains quadripôles :
Z,γ
ℓ
Z01
⎛cosh(γl) Z 0 sinh(γl)⎞
⎜
⎟
⎜ sinh(γl) cosh(γl) ⎟
⎟
⎜ Z
⎝
⎠
0
Z02
CIRCUITS PASSIFS _ C.Algani
⎛1 0⎞
⎜0 1⎟
⎝
⎠
−α
⎛
20
0
10
⎜ −α
⎜ 10 20
0
⎝
(
⎞
⎟
⎟
⎠
)
⎞
⎛ Z 2 − Z 2 .sinh(γl)
2Z.Z 0
0
1⎜
⎟
DS ⎜
2
2
2Z.Z 0
Z − Z 0 .sinh(γl)⎟⎠
⎝
DS
(
= 2Z.Z cosh(γl) + (Z
0
2
)
+ Z ).sinh(γl)
2
0
1 ⎛ Z 02 − Z 01 2 Z 01 Z 02 ⎞
D S ⎜⎝ 2 Z 01 Z 02 Z 02 − Z 01 ⎟⎠
D S = Z 01 + Z 02
82