PÉRIMÈTRE ET AIRE D`UNE FIGURE PLANE I. QUELQUES

PÉRIMÈTRE ET AIRE D’UNE FIGURE PLANE
I.
QUELQUES QUESTIONS À PROPOS DU PÉRIMÈTRE ET DE L’AIRE : VRAI OU FAUX ?
1. Si le périmètre d’un triangle est 18 cm, alors chaque côté de ce triangle mesure 6 cm.
2. Si l’aire d’un rectangle est 35 cm², alors sa longueur mesure 7 cm et que sa largeur mesure 5 cm.
3. Si la longueur de chaque côté d’un triangle est multipliée par 4, alors le périmètre du triangle est
multiplié par 12.
4. Si la longueur et la largeur d’un rectangle sont multipliées par 3, alors l’aire du rectangle est multipliée
par 6.
5. Si la longueur d’un rectangle augmente d’un centimètre et que la largeur diminue d’un centimètre, alors
le périmètre et l’aire ne sont pas modifiés.
6. Si on plie un rectangle en deux de façon à obtenir deux rectangles superposables, alors l’aire de chacun
de ces deux rectangles est égale à la moitié de l’aire du rectangle initial et le périmètre de chacun de ces
deux rectangles est égal à la moitié du périmètre du rectangle initial.
7. Si un premier polygone est situé à l’intérieur d’un second polygone, alors le périmètre du premier est
inférieur au périmètre du second.
8. Si un premier rectangle a une aire supérieure à celle d’un second rectangle, alors le périmètre du premier
rectangle est supérieur à celui du second.
II. QUELQUES EXEMPLES DE COMPÉTENCES ÉVALUÉES À L’ENTRÉE EN SIXIÈME
Compétence évaluée : Calculer un périmètre par une somme ou une différence
Le périmètre du triangle A est 12 m.
Le périmètre du triangle B est 17 m.
La figure F est formée à l’aide des deux triangles,
comme indiqué sur le dessin.
Quel est le périmètre de la figure F ?
triangle A
5m
5m
figure F
triangle B
Résultats : Réussite (20,3%) ; 24 (4,6%) ; 29 (45,5%) ; NR (7,9%).
Questions : Déterminer le périmètre de la figure F et interpréter les deux réponses erronées.
Compétence évaluée : Calculer un périmètre par une somme ou une différence
8
Voici un modèle réduit de la figure que tu dois reproduire. Les nombres
indiquent les dimensions en centimètres que tu dois donner au dessin
a. Quel sera le périmètre de la figure obtenue ?
b. Fais le dessin avec les mesures exactes
5
11
10
Résultats : R (70,4%) ; calcul avec les dimensions du dessin (3,0%) ; NR (7,4%)
Questions : Déterminer le périmètre de la figure. Avec quelle intention les questions sont-elle posées dans
cet ordre ?
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AIRE ET PÉRIMÈTRE
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Compétence évaluée : Calculer une aire par une somme ou une différence
Dans une plaque de 132 cm², on découpe la lettre « H » en enlevant deux
carrés de 16 cm² chacun (carrés blancs).
Quelle est l’aire du « H » en cm² ? (Surface grisée)
Réponse : L’aire du « H » est : ……………… cm²
Résultats : R (60,8%) ; 132 – 16 (4,1%) ; NR → 5,9%.
Questions
1. Déterminer l’aire du « H ».
2. Supposons que la plaque mesure 11 cm de large, calculer sa longueur et les dimensions du « H »
Questions complémentaires
3. Interpréter la réponse produite par 4,1% des élèves.
4. Sur une copie, un professeur lit : 7 × 16 = 112. Interpréter ce calcul.
Compétence évaluée : Calculer une aire avec un formulaire
La figure ABCD représente un parallélogramme.
Les mesures sont :
AB = DC = 6cm ; AD = BC = 4 cm ; AE = 3 cm
a. Entoure, dans le formulaire la formule qui te permettra de calculer l’aire
de ABCD. (Le nom de chaque figure apparaît dans le formulaire)
b. Calcule l’aire de ce parallélogramme.
Résultats :
a. La formule du parallélogramme est entourée (60,5%) ; NR (27,6%)
b. 18 (28,3%) ; 24 (16,2%) ; 20 (5,5%) ; autres (34,4%) ; NR (15,6%)
Questions
1. Interpréter les deux réponses erronées identifiées pour le codage des réponses des élèves.
2. Cette compétence figure-t-elle encore au programme du cycle 3 ? Expliquer.
Compétence évaluée : Comparaison de périmètres et d’aires
Un terrain a été partagé comme l’indique la figure .
Entoure la réponse qui convient et explique ton choix :
a.
y L’aire de la parcelle A est la plus grande
y Les deux parcelles ont la même aire
y L’aire de la parcelle B est la plus grande
b.
y Le périmètre de la parcelle A est le plus grand
y Les deux parcelles ont le même périmètre
y Le périmètre de la parcelle B est le plus grand
Résultats :
a. R bien justifiée (58,5%) ; R mal justifiée (31,6%) ; NR (3,5%)
b. R bien justifiée (32,7%) ; réponse « B plus grand » (46,0%) ; NR (7,7%)
Questions
1. Pour la question a, un élève a entouré la troisième proposition et il a écrit : « elle fait trois carreaux de
plus que A ». Interpréter cette réponse et indiquer comment vous auriez codé cette réponse.
2. Comment expliquer la différence importante de réussite entre les deux questions. Quelle conséquence
pédagogique doit-on en tirer pour l’enseignement des notions d’aire et de périmètre ?
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AIRE ET PÉRIMÈTRE
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Compétence évaluée : Calculer l’aire ou le périmètre d’un rectangle
Trois modalités pour évaluer cette compétence ont été testées à l’entrée en 6e. Les voici avec leurs résultats.
Modalité 1
Modalité 2
Modalité 3
Indique l’aire et le périmètre du terrain Un terrain a la forme d’un rectangle. Voici le rectangle ABCD.
dans les cases correspondantes
Les dimensions sont :
L’aire du rectangle ABCD
longueur 60 m ; largeur 40 m.
................ cm².
B
5 cm
a. Quel est le périmètre de ce terrain ?
A
b. Quelle est l’aire de ce terrain ?
est :
3 cm
3 cm
C
5 cm
D
Résultats
Résultats
Aire (avec ou sans unité) :
R (40%) ; bonne case (73%)
Aire (avec ou sans unité):
R (39%) ; 2 400 (5%) ; NR (14%)
Périmètre (avec ou sans unité) :
R (58%) ; bonne case (74%)
Périmètre (avec ou sans unité) :
R (56%) ; 100 (10%) ; NR (4%)
Résultats
Aire (avec ou sans unité) :
R (29%) ; 16 (35%) ; NR (11%)
Questions
Comparer les modalités d’évaluation : les tâches proposées et les résultats obtenus (après interprétation des
réponses erronées).
III. ANALYSE DE PRODUCTIONS D’ÉLÈVES (D’APRÈS CERPE, TOULOUSE 1999)
Voici une tâche mathématique et les réponses de cinq élèves.
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AIRE ET PÉRIMÈTRE
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1.
2.
3.
4.
5.
Questions
Quelle est la règle implicite utilisée par Imane ?
Explicitez les connaissances sur lesquelles s’appuie Dorian pour répondre aux questions a) et c), puis
pour répondre aux questions b) et d).
Interpréter la non-réponse de Léna à la question d).
Donner deux interprétations possibles pour chacune des réponses b) et d) de Charlotte.
Au vu des productions de Jennifer, quelles connaissances a-t-elle des notions de périmètre et d’aire ?
IV. EXERCICE ET QUESTIONS COMPLÉMENTAIRES (D’APRÈS CERPE, GRENOBLE 2001)
Voici une reproduction de trois exercices extrait d’un même manuel de CM1
Exercice n°1
Exercice n°2
Pour chacun de ces partages, les périmètres des Pour chacun de ces partages, les aires de toutes les
parcelles sont-ils identiques ?
parcelles sont-elles identiques ?
Exercice n°3
Compare les résultats obtenus pour les deux
exercices n° 1 et 2.
Écris tes remarques sur ton cahier d’essais.
Questions
1. Montrer que dans la figure 5 de l’exercice n°1, le périmètre de chaque parcelle est égal au périmètre du
disque complet.
2. Dans la figure (e) de l’exercice n°2, les aires des deux parcelles non-rectangulaires sont-elles égales ? Où
doit-on placer le sommet de la parcelle rectangulaire sur la diagonale du rectangle initial, pour découper
ce rectangle en trois parcelles d’aires égales ?
Questions complémentaires
1. Dans quel but les auteurs du manuel ont-ils posé l’exercice n°3 ?
2. Les exercices n°1 et 2 ont-ils été construits de façon pertinente pour traiter l’exercice n°3 et atteindre le
but visé ? Argumenter la réponse.
V. PROBLÈME
Deux droites D et D’sont strictement parallèles. On considère A et B deux points distincts de D, et A’ et B’
deux points distincts de D’. Sans utiliser la formule de l’aire d’un triangle, démontrer que les aires des
triangles ABA’ et ABB’ sont égales.
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