Fiche Professeur - Gradus ad Mathematicam

Trinôme du second degré
avec Xcas ou scilab
1ère
Fiche Professeur
Auteur : Pierre Lapôtre
But de l’activité :
Illustration de la leçon sur le trinôme du second degré. La commande « solve » de « Xcas » ou la
commande « roots » de « scilab » renvoie les deux solutions de l’équation x2 − 12x − 28 = 0.
Il peut sembler intéressant pour les élèves de se rendre maîtres de cette commande en écrivant un
programme qui, à tout triplet de réels (a, b, c), a 6= 0, associe, selon le cas, les deux racines réelles du
trinôme ax2 + bx + c, ou sa racine double, ou indique qu’il n’a pas de racine.
Pour un premier contact avec la programmation,
les élèves aborderont les questions :
- de définition d’un programme
- de nom de programme
- des variables globales et locales dans le cas de
« Xcas », des variables dans le cas de « scilab »
- de tests simples :
- pour Xcas, if (condition) {clause si vrai}
- pour scilab, if condition then action ; action ; ...
end
Compétences engagées :
3 Forme canonique de ax2 + bx + c, a 6= 0.
3 Interpréter, compléter un algorithme.
3 Langage de programmation « Xcas » ou « scilab ».
Pré-requis :
3 Trinôme du second degré.
3 Notions sur « Xcas »ou « scilab », suivant le
cas.
Matériel utilisé : ordinateur.
Durée indicative : 1 heure (précédée d’une préparation à la maison).
Nom des logiciels utilisés : Xcas, scilab.
Déroulement de la séance :
1 - Les élèves ont dû compléter comme suit l’algorithme « Résolution de l’équation du second degré ».
Algorithme : Résolution de l’équation du second degré
Entrées : les coefficients a, b et c (a 6= 0) du trinôme ax2 + bx + c
Sorties : solutions éventuelles de l’équation ax2 + bx + c = 0
Début du traitement des données :
Lire : a, b, c
delta prend la valeur b2 − 4ac
Si delta > 0 alors
√
x1 prend la valeur (−b − √delta)/(2a)
x2 prend la valeur (−b + delta)/(2a)
Afficher : l’équation possède deux solutions : x1 et x2
Si delta = 0 alors
x1 prend la valeur −b/(2 ∗ a)
Afficher : l’équation possède une seule solution : x1
Sinon
Afficher : l’équation n’a pas de solution
Fin du traitement des données
2 & 3 - On peut ici faire un début de comparaison de « Xcas » et « scilab ». « Xcas » étant capable
de calculer formellement donnera des réponses sous forme de formule exacte. Par exemple,
1
La première ligne donne les 2 solutions de l’équation proposée sous forme exacte (avec des radicaux) ; la seconde donne la valeur de la première de ces solutions sous forme décimale. C’est une
valeur approchée. Même si « Xcas » peut donner formellement des résultats exacts, évaluer ces résultats sous forme décimale produira sauf cas particulier des erreurs d’approximation. On peut réfléchir
à l’exemple suivant :
π· π
6= π.
π
Au contraire, « scilab »donnera directement les 2 solutions complexes de l’équation, avec des capacités d’approximation moindres. Par exemple, voici l’exemple précédent à la manière de « scilab » :
qui conduit à l’erreur
Conclusion : l’étude simultanée de deux logiciels permet la comparaison des contraintes imposées
par les syntaxes différentes. Elle permet aussi d’apprécier les avantages et les inconvénients de l’un
et de l’autre et, peut-être, de susciter le désir de découvrir d’autres logiciels.
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