Comment prouver ∀x∈A P(x) Preuve INCORRECTE : On sait que

Comment prouver
∀x∈A P (x)
Preuve CORRECTE :
Preuve INCORRECTE :
On sait que pour tout x ∈ A on a bla-bla- Soit x ∈ A.
bla ;
Alors x satisfait bla-bla-bla,
donc pour tout x ∈ A bla-bla-bla,
donc x satisfait bla-bla-bla,
donc pour tout x ∈ A bla-bla-bla,
donc pour tout x ∈ A on a P (x).
donc x satisfait bla-bla-bla,
QED donc x satisfait P (x).
QED
La façon correcte de raisonner est de choisir un x au début de la preuve, et de prouver
que ce x satisfait la condition P . La phrase “Soit x ∈ A” au début de la preuve est
une façon rapide de dire “Soit x un élément quelconque de A.”
Dans la pseudo-preuve qui est à gauche, on essaie de raisonner avec tous les x en même
temps, ce qui donne une preuve insatisfaisante et souvent fausse. Ce type de preuve
n’est pas acceptable.
La méthode incorrecte est malheureusement la méthode préférée d’une majorité d’étudiants.
Voici un exemple concret: Soient A, B, C des ensembles, et supposons que f : A → B
et g : B → C sont des fonctions surjectives. Montrons que g ◦ f : A → C est surjective.
Preuve incorrecte. On doit montrer que ∀c∈C ∃a∈A (g ◦ f )(a) = c.
Puisque g est surjective, ∀c∈C ∃b∈B g(b) = c.
Puisque f est surjective, ∀b∈B ∃a∈A f (a) = b.
Donc ∀c∈C ∃a∈A (g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = c.
QED
Preuve correcte. On doit montrer que ∀c∈C ∃a∈A (g ◦ f )(a) = c.
Soit c ∈ C.
Puisque g est surjective, il existe un b ∈ B tel que g(b) = c.
Puisque f est surjective, il existe un a ∈ A tel que f (a) = b.
Alors (g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = c.
Donc il existe a ∈ A tel que (g ◦ f )(a) = c.
1
QED
2
Exercices
Notations : N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } et N+ = N \ {0} = {1, 2, 3, 4, . . . }.
(1) Montrez que ∀n∈N
2n+3
5n+1
> 25 .
Remarque : vous devez commencer la preuve par “Soit n ∈ N” et la terminer
2n+3
> 52 ”.
par “ 5n+1
(2) Montrez que ∀n∈N+ ∃x∈N+
x
x+1
>1−
1
n2
.
Remarque : vous devez commencer la preuve par “Soit n ∈ N+ ” et la terminer
x
par “il existe x ∈ N+ tel que x+1
> 1 − n12 ”.
(3) Soient A, B des ensembles satisfaisant :
(i) chaque élément de A est un ensemble
(ii) ∀a∈A (a ⊆ B).
Montrez que ∪A ⊆ B.
Remarque : vous devez montrer que ∀x∈∪A x ∈ B.
Donc vous devez commencer la preuve par “Soit x ∈ ∪A” et la terminer par
“x ∈ B”.
Rappel: x ∈ ∪A ⇔ ∃a∈A (x ∈ a).
(4) Supposons que A 6= ∅ et B 6= ∅ sont des ensembles d’ensembles qui satisfont:
(∗)
∀a∈A ∀b∈B (a ⊆ b).
Montrez que ∪A ⊆ ∩B.
Remarque : vous devez montrer que ∀x∈∪A x ∈ ∩B.
Donc vous devez commencer la preuve par “Soit x ∈ ∪A” et la terminer par
“x ∈ ∩B”.
Rappel: x ∈ ∪A ⇔ ∃a∈A (x ∈ a)
et
f
x ∈ ∩B ⇔ ∀b∈B (x ∈ b).
g
(5) Soient A, B, C des ensembles et A →
− B →
− C des fonctions. Supposons que
g ◦ f est surjective. Montrez que g est surjective.
Remarque : vous devez montrer que ∀c∈C ∃b∈B g(b) = c.
Donc vous devez commencer la preuve par “Soit c ∈ C” et la terminer par “il
existe b ∈ B satisfaisant g(b) = c.”
3
f
g
(6) Soient A, B, C des ensembles et A →
− B→
− C des fonctions. Supposons que g
est injective et que g ◦ f : A → C est surjective. Montrez que f est surjective.
Remarque : vous devez montrer que ∀b∈B ∃a∈A f (a) = b.
Donc vous devez commencer la preuve par “Soit b ∈ B” et la terminer par “il
existe a ∈ A satisfaisant f (a) = b.”
(7) Soient A, B, C des ensembles et A
f
g1
/
B
/
/
g2
C des fonctions. Supposons
que f est surjective et que g1 ◦ f = g2 ◦ f . Montrez que g1 = g2 .
Remarque : on sait déjà que g1 et g2 ont même domaine et même codomaine,
donc il vous reste à montrer que ∀b∈B g1 (b) = g2 (b).
f1
(8) Soient A, B, C des ensembles et A
/
/
B
g
/
C des fonctions. Supposons
f2
que g est injective et que g ◦ f1 = g ◦ f2 . Montrez que f1 = f2 .
Remarque : on sait déjà que f1 et f2 ont même domaine et même codomaine,
donc il vous reste à montrer que ∀a∈A f1 (a) = f2 (a).
(9) Soient A, B1 , B2 , . . . , Bn des
T ensembles.
A ⊆ Bi .
(a) Supposons que A ⊆ ni=1 Bi . Montrez que ∀i∈{1,...,n} T
n
(b) Supposons que ∀i∈{1,...,n} A ⊆ Bi . Montrez
Tnque A ⊆ i=1 Bi .
Remarquez que (a) et (b) démontrent : A ⊆ i=1 Bi ⇐⇒ ∀i∈{1,...,n} A ⊆ Bi .
(10) Soient A, B1 , B2 , . . . , Bn des ensembles.
S
(a) Supposons que ∃i∈{1,...,n} A ⊆ Bi . Montrez
que A ⊆ ni=1 Bi .
Sn
(b) Montrez par un exemple que A ⊆ i=1 Bi =⇒
6
∃i∈{1,...,n} A ⊆ Bi .
Sn
6
Remarquez que (a) et (b) démontrent : A ⊆ i=1 Bi =⇒
⇐= ∃i∈{1,...,n} A ⊆ Bi