Corrigé du devoir maison no 3 Exercice 1 On désire imprimer une

Corrigé du devoir maison no 3
La partie imprimable est un rectangle de dimensions
(x − 2) et (x − 4).
Exercice 1
On désire imprimer une carte de vœux carrée. On souhaite cependant laisser une marge de 2 cm en haut et en bas, et une marge
de 1 cm à gauche et à droite.
f (x) = (x − 2)(x − 4)
= x2 − 4x − 2x + 8
= x2 − 6x + 8
Donc f (x) = x2 − 6x + 8.
1
(b) Montrer que f (x) = (x − 3)2 − 1.
(x − 3)2 − 1 = x2 − 6x + 9 − 1
= x2 − 6x + 8
= f (x)
2
Donc f (x) = (x − 3)2 − 1.
(c) Résoudre l’équation f (x) = 8, et en déduire la longueur
du côté de la carte dont la surface imprimable est de 8
cm2 .
f (x)
(x − 3) − 1
(x − 3)2 − 9
(x − 3)2 − 32
(x − 3 + 3)(x − 3 − 3)
x(x − 6)
x=0
x=0
2
x
1. On suppose que le côté du carré mesure 7 cm.
Déterminer l’aire de la surface imprimable (partie hachurée
sur la figure).
La partie imprimable est un rectangle de dimensions L =
7 − 2 × 1 = 5 et ℓ = 7 − 2 × 2 = 3.
Aire(rectangle) = L × ℓ = 5 × 3 = 15.
Dans ce cas, la surface imprimable est de 15 cm2 .
=
=
=
=
=
=
ou
ou
8
8
0
0
0
0
x−6=0
x=6
Les solutions de l’équation f (x) = 8 sont 0 et 6.
Comme x désigne la longueur du côté de la carte de
vœu, il est clair que x > 0. On doit exclure la solution
0.
La surface imprimable est de 8 cm2 lorsque le côté de la
carte mesure 6 cm.
2. Désormais, on suppose que le côté du carré mesure x cm,
x appartenant à l’intervalle [5; 10], et on note f (x) l’aire en
cm2 de la surface imprimable.
(a) Exprimer f (x) en fonction de x et vérifier que
f (x) = x2 − 6x + 8.
1
2+4
−1 + 5
= 3, et yI =
= 2.
2
2
Puis xD = 2 × 3 − (−3) = 9, et yD = 2 × 2 − 1 = 3.
On obtient I(3; 2), puis D(9; 3).
Exercice 2
On donne l’algorithme suivant :
Variables : xA , yA , xB , yB , xC , yC , xD , yD , xI , yI sont des nombres.
Début
Lire xA , yA , xB , yB , xC , yC
xI prend la valeur (xA + xC )/2
yI prend la valeur (yA + yC )/2
xD prend la valeur 2xI − xB
yD prend la valeur 2yI − yB
Afficher xD
Afficher yD
On a xI =
C
b
5
4
D
b
3
b
2
I
B
b
1
Fin
1. On donne A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1).
Faire fonctionner l’algorithme, puis placer les points A, B,
C, I et D dans un repère.
0+1
0+1
= 0, 5, et yI =
= 0, 5.
On a xI =
2
2
Puis xD = 2 × 0, 5 − 1 = 0, et yD = 2 × 0, 5 − 0 = 1.
On obtient I(0, 5; 0, 5), puis D(0; 1).
D
1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b
A
4. Montrer ce résultat.
yA + yC
xA + xC
et yI =
.
D’après l’algorithme, xI =
2
2
Donc I est le milieu de [AC].
Montrons que I est aussi le milieu de [BD].
On a xD = 2xI − xB , donc xB + xD = 2xI , soit
xB + xD
xI =
.
2
yB + yD
De même, on montre que yI =
.
2
Donc I est le milieu de [BD], (D est le symétrique de B
par rapport à I).
Donc les diagonales de ABCD ont le même milieu I, ce qui
montre que ABCD est un parallélogramme.
Donc D est le point tel que ABCD soit un parallélogramme.
I
b
1.0 B
−1
−1
3. Que semble faire cet algorithme ?
Il semble que D soit le point tel que ABCD soit un parallélogramme.
b
0.5
−2
−3
b
b
−3
−2
C
b
0.5
A
−4
1.5
2. On donne A(2; −1), B(−3; 1), C(4; 5).
Faire fonctionner l’algorithme, puis placer les points A, B,
C, I et D dans un repère.
2