Electronique Analogique (36ESEL36)
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Electronique Analogique (36ESEL36)
Université Paris 7 Licence L3 SPI Electronique Analogique (36ESEL36) Alain L’Hoir (Janvier 2010) ii Table des matières 1 Introduction 1.1 L’Electronique Analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Contenu du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemple de système électronique : instrumentation en physique nucléaire. . . . 2 Circuits électriques 2.1 Circuits à constantes localisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Eléments passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Résistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1 Résistor (l’objet résistance) . . . . . . . . . . . 2.2.1.2 Loi d’Ohm. Mobilité, conductivité, résistivité. 2.2.2 Condensateurs, capacités. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.1 Capacité d’un condensateur plan. . . . . . . . 2.2.2.2 Condensateurs en Électronique. . . . . . . . . 2.2.3 Self . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.1 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3.2 Selfs en électronique. . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Amplitude complexe, impédance complexe. . . . . . . . 2.4 Signaux, théorèmes pour les circuits linéaires. . . . . . . . . . . 2.4.1 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1.1 Impulsions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1.2 Signaux périodiques. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Dipôles, quadripôles, fonction de transfert. . . . . . . . . 2.4.2.1 Dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2.2 Quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2.3 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2.4 Fréquence de coupure. . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 sources idéales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Théorèmes pour les circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.1 Lois générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.2 Théorèmes pour les circuits linéaires . . . . . . 1 1 2 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 3 5 5 6 7 7 7 8 8 8 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 16 17 18 18 3 Les composants pour l’Électronique 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv TABLE DES MATIÈRES 3.2.2 3.2.3 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Bandes d’énergie, gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Métal, isolant et semiconducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.1 Métaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.2 Isolants et semiconducteurs à température nulle. . . . . . . . . 3.2.3.3 Semiconducteurs ultra-pur à température non nulle. . . . . . . 3.2.3.4 Gap des semiconducteurs. Isolants et semiconducteurs. . . . . 3.2.3.5 Dopage de types N et P. Electrons et Trous. Conductivité par électrons, par trous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3.7 Interaction avec la lumière, durée de vie des porteurs. . . . . . Jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Généralités. Niveau de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 La jonction PN à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Jonction PN polarisée dans le sens direct . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Jonction PN polarisée en sens inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Capacité d’une jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Claquage. Effet Zener, effet d’avalanche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.8 Autres jonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diodes PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Définition, caractéristique I(V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Modélisations de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.1 Modélisation en grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.2 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.3 Diode en petits signaux. Modélisation, point de repos, résistance dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diode Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.0.4 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.0.5 Polarisation. Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Exemples de diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diodes en optoélectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Photodiode, cellule solaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2.2 Principe de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2.3 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2.4 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Diode électroluminescente, diode laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3.1 Diode électroluminescente (DEL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3.2 Diode Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Exemples de diodes optoélectroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5 Applications des diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transistors à effet de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Histoire de transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Transistor NMOS à enrichissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2.1 Description qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2.2 Principe de fonctionnement du NMOS . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Transistor PMOS, technologie CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 25 26 27 28 29 31 32 34 34 35 36 38 39 41 41 41 42 42 44 44 45 46 47 47 48 49 49 49 49 49 50 51 52 52 52 53 53 53 54 54 54 54 56 60 61 TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 66 67 68 68 70 72 72 74 74 75 76 76 76 77 4 Blocs fonctionnels linéaires : quadripôles 4.1 Introduction. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Quadripôles linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Paramètres hybrides h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Schéma équivalent des transistors à basse fréquence. . . . . . . . . . . . 4.2.4 Autres représentations pour les quadipôles actifs. . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Quadripôles passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Quadripôle actif ou passif en charge. Impédances d’entrée, de sortie, amplification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6.1 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6.2 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6.3 Amplification en tension et en courant. . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Une autre représentation des quadripôles actifs. . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Association de quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Structure en cascade. Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.1 Représentation simplifiée des amplificateurs de tension. . . . . 4.3.1.2 Amplification. Adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.3 Méthode matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Association série ou parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.1 Mise en parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2.2 Mise en série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 80 80 81 82 82 83 3.8 3.7.4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Transistor à effet de champ à jonction (JFET) . . . Transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Description du transistor bipolaire NPN. . . . . . . 3.8.2 Le transistor bipolaire en régime actif. . . . . . . . . 3.8.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2.2 Les différents courants. . . . . . . . . . . . 3.8.3 Autres régimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Caractéristiques réelles des transistors bipolaires. . . 3.8.5 Modélisation, schéma équivalent. . . . . . . . . . . . 3.8.5.1 Résistance d’entrée, transconductance. . . . 3.8.5.2 Courant de sortie. . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5.3 Schéma équivalent. . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5.4 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5.5 Exemples de transistors bipolaires discrets 3.8.6 Applications, conclusions . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 84 85 86 86 86 86 87 88 89 89 89 5 Amplificateurs linéaires. 91 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 Montages de base en classe A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.1 Définition. Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.2 Montage émetteur commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2.2.1 Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2.2.2 Superposition des signaux continus et variables. Schéma équivalent 93 5.2.2.3 Amplification. Impédances d’entrée et de sortie. . . . . . . . . 94 5.2.2.4 Dynamique de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 vi TABLE DES MATIÈRES 5.2.3 5.3 5.2.4 5.2.5 Etage 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6 5.4 Etage 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.2.2.5 Amplification en puissance. . . . . . . . . . . . . . . . Montage collecteur commun (émetteur suiveur). . . . . . . . . 5.2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.2 Amplification. Impédances d’entrée et de sortie. . . . Montage base commune. Montage cascode. . . . . . . . . . . . Montages source commune et drain commun. . . . . . . . . . . de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispositifs composés : Darlington, transistors complémentaires. 5.3.2.1 Montage Darlington. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2.2 Configuration PNP-NPN. . . . . . . . . . . . . . . . . Sources de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.1 Miroir de courant à transistors bipolaires. . . . . . . . 5.3.3.2 Miroir de courant à transistors MOS. . . . . . . . . . 5.3.3.3 Améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classification des étages de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . Montage en classe A : collecteur commun : . . . . . . . . . . . Montages en classe B : push-pull. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.2 Rendement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.3 Distorsion de croisement. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.4 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.5 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.6 Développements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6.7 Transistors MOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paire différentielle à transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 97 97 98 100 101 104 104 104 105 105 105 105 107 108 108 108 110 110 112 112 113 114 114 114 115 115 115 116 5.4.3.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.2 Fonctionnement en mode commun. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.3 Fonctionnement en mode différentiel. . . . . . . . . . . . . . . Paire différentielle idéale : caractéristiques de transfert, amplifications. . 5.4.4.1 Caractéristiques de transfert (mode différentiel). . . . . . . . . 5.4.4.2 Amplifications de mode différentiel et de mode commun (cas idéal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4.3 Résistance d’entrée en mode différentiel Red . . . . . . . . . . . 5.4.4.4 Résistance d’entrée de mode commun Remc . . . . . . . . . . . 5.4.4.5 Résistance de sortie Rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paire différentielle réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.1 Taux de réjection de mode commun. . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.2 Influence de la résistance finie de la source de courant. . . . . . 5.4.5.3 Résistances de charge non appariées. . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.4 Résistances d’entrée et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.5 Rôle des imperfections sur le régime continu. . . . . . . . . . . Paire différentielle avec une charge active. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6.1 Paire chargée par un miroir de courant. . . . . . . . . . . . . . 5.4.6.2 Etage différentiel cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 117 118 118 118 119 120 121 121 121 122 122 123 124 124 126 126 128 TABLE DES MATIÈRES vii 5.4.7 5.5 5.6 Etage différentiel à transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.7.1 Paire différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.8 Technologie BiCMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réponse en fréquence des amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Théorème de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Montages source commune et émetteur commun. . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Montages collecteur commun et drain commun. . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Montage cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Paires différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6.1 Fréquence de coupure pour AV . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6.2 Fréquence de coupure du CMRR. . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6.3 Amélioration des performances en fréquence. . . . . . . . . . L’amplificateur opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Description de l’AO 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.1 Circuit de polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.2 Etage d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.3 Etage de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.4 Etage intermédiaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.5 Représentation par blocs fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Propriétés électriques des amplificateurs opérationnels. . . . . . . . . . 5.6.3.1 Amplification dans la bande passante. Dynamique de sortie . 5.6.3.2 Impédance d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3.3 Impédance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3.4 Courants de polarisation, courant de décalage. . . . . . . . . 5.6.3.5 Tension de décalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3.6 Taux de réjection de mode commun. Formulation générale de 5.6.3.7 Montage en boucle ouverte, montage bouclé. . . . . . . . . . 5.6.3.8 Comportement en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Amplificateur opérationnel idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Systèmes bouclés 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Structure d’un système bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Propriétés et intérêt de la contre réaction . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Désensibilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Elargissement de la bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Amélioration de la linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Réduction du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Description formelle des différents types de réaction . . . . . . . . . . 6.5 Exemples simples de circuits à contre-réaction . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Montage suiveur à AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Amplificateur à contre-réaction tension-tension (série-parallèle) 6.5.2.1 Situation idéale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2.2 Situation réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Contre réaction courant-tension. Conversion courant-tension . . 6.5.3.1 Système idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 . 129 . 131 . 132 . 132 . 133 . 135 . 136 . 137 . 139 . 139 . 139 . 139 . 141 . 141 . 142 . 142 . 142 . 143 . 143 . 144 . 144 . 144 . 145 . 146 . 146 . 146 Vs .147 . 147 . 149 . 153 . . . . . . . . . . . . . . . . 155 155 155 157 157 157 158 159 159 160 160 161 163 163 164 168 169 viii TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . 170 172 172 172 174 176 176 176 178 7 Fonctions linéaires à amplificateur opérationnel 7.1 Généralités, Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Paramètres définissant les AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Les différents régimes de fonctionnement des AO. . . . . . . . . . . . . . 7.2 Règles d’or d’utilisation de l’amplificateur opérationnel idéal. . . . . . . . . . . 7.2.1 Règles liées directement aux propriétés physiques de l’AO. . . . . . . . . 7.2.2 Règles d’utilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Entrées inverseuses et non inverseuses. Calcul des circuits à AO. . . . . 7.2.3.1 Non équivalence des entrées inverseuses et non inverseuses. . . 7.2.3.2 Analyse des circuits à amplificateurs opérationnels. . . . . . . 7.2.4 Alimentations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4.1 Source double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4.2 Source unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Circuits de base à AO en régime linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Montage suiveur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Montage non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2.1 Cas idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2.2 Cas non idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Montage inverseur à AO idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Montage inverseur à AO réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4.1 Résolution directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4.2 L’inverseur vu comme une boucle de contre réaction couranttension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Convertisseur courant-tension (ou à transimpédance). . . . . . . . . . . 7.4 Additionneurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Additionneur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Convertisseurs (DAC, ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Additionneur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Amplificateur de différence, amplificateur d’instrumentation. . . . . . . . . . . 7.6 Dérivateurs, intégrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.1 Intégrateur de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.2 Régime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.3 Problème lié au bouclage par une capacité. . . . . . . . . . . . 7.6.3 Dérivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3.1 Régime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Générateurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 181 181 181 182 183 183 184 185 185 186 186 187 187 187 187 188 189 189 190 190 190 6.6 6.5.3.2 Cas réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1.1 Représentations ”ω” et ”s” pour les systèmes linéaires. 6.6.1.2 Critère de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Etude de la stabilité à partir de la représentation de Bode. . . . 6.6.2.1 Amplificateurs à 1 ou 2 pôles. . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2.2 Marges de gain et de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Compensation en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 194 195 195 196 197 197 199 199 199 199 200 201 201 202 202 TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 204 207 207 208 209 210 210 211 211 212 212 212 213 8 Filtrage 8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Les 4 types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Filtres idéaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Filtres réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Zéros, pôles et ordre des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8 Synthèse des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Filtre passe bas du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Filtre passe haut du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Filtre passe tout (déphaseur) du premier ordre. . . . . . . . . . 8.2.5 Synthèse des filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . 8.2.6 Intégration, dérivation et filtres du premier ordre. . . . . . . . . 8.2.7 Régime transitoire et transformée de Laplace. . . . . . . . . . . 8.2.7.1 Réponse à un échelon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7.2 Réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.8 Filtres constitués de 2 filtres du premier ordre. . . . . . . . . . 8.3 Généralités sur les filtres d’ordre n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Fonction de transfert des filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Filtres passe bas d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2.1 Filtre passe bas de Butterworth d’ordre 2 . . . . . . . 8.3.2.2 Filtres passe bas de Chebyshev et de Bessel d’ordre 2. 8.3.3 Filtres de Butterworth et de Chebyshev d’ordre quelconque. . . 8.3.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.2 Comportement du gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3.3 Lien entre la courbe de gain et les pôles. . . . . . . . 8.3.4 Phase des filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4.1 Comportement en fréquence. . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4.2 Intérêt des phases à variation lente. . . . . . . . . . . 8.3.5 Autres filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 215 215 216 216 216 217 218 219 219 219 219 220 221 221 221 222 223 223 224 226 227 227 228 229 230 231 231 232 233 233 233 235 235 7.8 7.7.1 Générateurs de courant constant. . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Amplificateur opérationnel à transconductance (OTA). . . . Amplificateurs opérationnels réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Courant de polarisation d’entrée, courant de décalage. . . . 7.8.2 Tension de décalage en entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.3 Impédance d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.4 Amplitude d’entrée en mode commun, en mode différentiel. 7.8.5 Impédance de sortie, amplitude en sortie, courant de sortie. 7.8.6 Slew rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.7 Gain en tension, déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.8 Taux de réjection de mode commun (CMRR). . . . . . . . . 7.8.9 Sensibilité vis à vis des sources. . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.10 Bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.11 Comportement en température. . . . . . . . . . . . . . . . . ix . . . . . . . . . . . . . . x TABLE DES MATIÈRES 8.4 8.5 8.6 8.3.5.1 Filtres passe haut du second ordre. . . . . . . . . . . . 8.3.5.2 Filtre passe bande du second ordre. . . . . . . . . . . . 8.3.5.3 Filtre coupe bande d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5.4 Filtre passe tout d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Réponse des filtres du second ordre en régime transitoire . . . . . 8.3.6.1 Réponse d’un filtres passe bas à un échelon de tension. 8.3.6.2 Montage dérivateur à AO et signaux triangulaires . . . Synthèse des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Filtres passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2.1 Passe bas RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2.2 Passe haut RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2.3 Passe bande, coupe bande RLC d’ordre 2. . . . . . . . 8.4.2.4 Filtre coupe bande RC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . 8.4.2.5 Exemple de filtre passif d’ordre élevé. . . . . . . . . . . 8.4.2.6 Avantages et inconvénients des filtres passifs. . . . . . . 8.4.3 Généralités sur les filtres actifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Synthèse des filtres du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.1 Structure des filtres à une seul AO inverseur. . . . . . . 8.4.4.2 Structure de Sallen-Key (dite à ”source contrôlée”). . . 8.4.4.3 Structure à contre réaction multiple (filtre de Rauch). . 8.4.4.4 Réjecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.5 Convertisseur d’impédance négative, gyrateur. . . . . . 8.4.4.6 Structure à intégrateurs bouclés, filtre universel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 236 237 238 238 238 239 241 241 241 242 242 242 243 243 244 244 245 245 246 247 248 249 251 8.4.5 Synthèse des filtres actifs d’ordre élevé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Filtres à capacités commutées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Amplificateurs accordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9 Génération et mise en forme des signaux 9.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Généralités sur les oscillateurs sinusoı̈daux. . . . . . . 9.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Principe des oscillateurs sinusoı̈daux. . . . . . . 9.2.3 Contrôle de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Exemple illustrant le principe des oscillateurs déphaseurs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Oscillateurs sinusoı̈daux BF. . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Oscillateur à pont de Wien. . . . . . . . . . . . 9.3.2 Exemple d’oscillateur à déphasage. . . . . . . . 9.4 Oscillateurs HF (haute fréquence). . . . . . . . . . . . 9.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Circuits résonnants et élément non linéaire. . . 9.4.3 Oscillateurs de Colpitts et de Hartley. . . . . . 9.4.4 Oscillateurs à cristal piézoélectrique (quartz). . 9.4.4.1 Cristal piézoélectrique. . . . . . . . . 9.4.4.2 Exemples d’oscillateurs à quartz. . . . 9.5 Multivibrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 257 257 257 258 259 260 261 261 262 263 263 263 264 266 266 269 269 269 TABLE DES MATIÈRES 9.5.2 9.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 271 271 271 273 274 274 274 276 278 278 279 282 282 283 284 285 286 286 287 288 10 Modulation, démodulation 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Transmission sous forme analogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Codage des signaux analogique sous forme numérique. . . . . . . . . . 10.1.3 Transmission des signaux numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Modulation d’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Spectre en fréquence du signal modulé. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Méthodes pour moduler en amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3.1 Multiplication directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3.2 Modulation à l’aide d’un BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Démodulation AM par détection d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5 Boucle à verrouillage de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5.1 Oscillateur commandé par une tension (VCO). . . . . . . . . 10.2.5.2 Fréquence (pulsation) instantanée. . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5.3 Comparateur de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6 Démodulation synchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.6.1 Rôle et fonctionnement de la boucle à verrouillage de phase. 10.2.6.2 Démodulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Modulation de fréquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Signal modulant sinusoı̈dal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Spectre en fréquence du signal modulé en fréquence. . . . . . . . . . . 10.3.4 Production d’un signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Démodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5.1 Démodulateur à déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5.2 Démodulation par PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 291 291 292 294 294 294 295 296 296 296 297 298 299 299 300 301 301 302 303 303 303 304 305 306 306 308 9.6 Comparateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparateur à hystérésis (trigger de Schmitt) . . . 9.5.3.1 Système à 2 états stables . . . . . . . . . . 9.5.3.2 Montage non inverseur . . . . . . . . . . . 9.5.3.3 Montage inverseur. . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Multivibrateur astable : génération de signaux carrés 9.5.4.1 Principe de l’astable à trigger de Schmitt. . 9.5.4.2 Astable à inverseurs CMOS. . . . . . . . . 9.5.5 Multivibrateur monostable. . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5.1 Monostable à AO. . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5.2 Monostable à portes logiques. . . . . . . . . 9.5.6 Timer intégré 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.6.1 Description du 555 . . . . . . . . . . . . . 9.5.6.2 Montage monostable avec un 555. . . . . . 9.5.6.3 Montage astable avec un 555. . . . . . . . . 9.5.7 Générateur de dents de scie. . . . . . . . . . . . . . . Circuits technologiquement non linéaires. . . . . . . . . . . 9.6.1 Amplificateur logarithmique . . . . . . . . . . . . . . 9.6.2 Multiplicateur analogique . . . . . . . . . . . . . . . 9.6.3 Mise en forme non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . xi xii TABLE DES MATIÈRES 11 Bruit électronique. 11.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Les différents types de bruit électronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Bruit blanc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Bruit thermique dans une résistance. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2.1 Fluctuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2.2 Théorème de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2.3 Bruit thermique dans les circuits résistifs. . . . . . . . . 11.2.2.4 Association de résistances. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2.5 Association résistance-capacité. . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Bruit de grenaille (shot noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3.1 Bruit de grenaille pour des porteurs indépendants. . . 11.2.3.2 Bruit de grenaille dans une diode. . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Bruit en 1/f (flicker noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Bruit dans les amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Généralités, définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1.1 Bruit ramené à l’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1.2 Densité spectrale de bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1.3 Rapport signal sur bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1.4 Couplage d’une source de Thévenin à un amplificateur. 11.3.1.5 Figure de mérite (noise figure) d’un amplificateur . . . 11.3.2 Amplificateurs à transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2.1 Transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2.2 Transistors à effet de champ. . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Bruit dans les montages à amplificateurs opérationnels. . . . . . 11.3.3.1 Bruit propre des AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3.2 Amplificateur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3.3 Amplificateur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Choix des amplificateurs opérationnels. . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Bruit dans les systèmes de communication. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Démodulation AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Démodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Bruit en détection de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Détecteur et réponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Bruit et impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3 Bruit dans la chaı̂ne détecteur-préamplificateur de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 311 311 311 312 312 313 313 314 315 315 316 316 318 318 318 319 319 319 320 321 321 321 322 323 323 323 324 324 324 324 325 326 328 328 329 330 Chapitre 1 Introduction 1.1 L’Electronique Analogique L’Électronique est une science appliquée qui est née avec l’invention de dispositifs non linéaires (diodes, triodes...) permettant de modifier les signaux électriques (courant, tension). De nos jours, ces dispositifs sont soit des composants discrets, soit des circuits intégrés comportant un nombre plus ou moins grand de composants discrets. Ils sont en très grande partie fabriqués à l’aide de matériaux semiconducteurs (silicium, composés III-V). Les briques de base de ces dispositifs sont les jonctions (PN, Schottky), les capacités (par exemple capacité MOS) et les transistors (bipolaire ou à effet de champ). A l’aide de ces briques, on peut fabriquer sous forme de circuits intégrés des mémoires, des portes logiques, des microprocesseurs, des amplificateurs, des filtres, des convertisseurs (ADC, DAC), des barrettes CCD, des lasers, etc... Grâce à des logiciels de CAO (conception de circuits intégrés assistée par ordinateur) on peut concevoir des circuits réalisant des tâches de plus en plus complexes et diversifiées . En particulier, les ASIC (Application Specified Integrated Circuits) sont des circuits conçus et fabriqués (par un fondeur) pour réaliser des tâches spécifiques ”à la demande”. Aujourd’hui, n’y a pas de frontière bien définie ni d’antagonisme entre Électronique analogique et Électronique numérique. On peut s’en convaincre en feuilletant par exemple les ouvrages Anglo-Saxons sur l’Électronique (Sedra et Smith, Millman et Grabel, Horowitz & Hill etc.., voir références bibliographiques). En particulier ces deux branches de l’Électronique utilisent les mêmes composants, les transistors (les caractéristiques de ces transistors peuvent cependant être différentes). La différence essentielle porte sur la forme des signaux véhiculés. Alors que l’Électronique numérique traite des signaux électriques dont la mise en forme est définie une fois pour toute (échelons, impulsion calibrées), cette forme est fondamentale en Électronique analogique, qui a justement pour objectif majeur de mettre en forme les signaux électriques : le terme ”signal analogique” est utilisé pour indiquer que l’information que nous donne ce signal est contenue non seulement dans le fait qu’il existe mais surtout dans sa forme. Afin de réaliser une fonction complexe en Électronique, il est souvent nécessaire d’utiliser dans un même système des fonctions relevant de l’Analogique et du Numérique. De plus, il est possible de réaliser certaines fonctions relevant de l’Électronique analogique à l’aide de circuits numériques. Une fonction Électronique ”exemplaire” faisant le lien entre ces deux aspects de l’Électronique est la conversion analogique-numérique et numérique-analogique : on peut tout aussi bien traiter les convertisseurs dans un cours sur le l’Électronique numérique ou analogique ! Pour terminer, faisons la remarque suivante : en travaux pratiques, pour des raisons pédagogiques et pratiques (robustesse !) on utilise encore beaucoup de composants discrets, en particulier des transistors bipolaires, ou des circuits intégrés anciens comme l’amplificateur opérationnel 1 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION 741, qui est entièrement construit à l’aide de transistors bipolaires (c’est encore un circuit intégré très ”populaire” en Électronique analogique bien qu’inventé dans les années 60 par Fairchild ). Ceci ne correspond plus tout à fait à l’Électronique d’aujourd’hui . Les transistors bipolaires, sur certains aspects plus performants que les transistors MOS (transconductance nettement plus élevée), sont plus chers, consomment plus d’énergie et prennent plus de place. Ils sont quand cela est possible remplacés par des transistors MOS, y compris pour les transistors de puissance. Ils restent irremplaçables dans certains applications spécifiques ; c’est le cas par exemple des transistors bipolaires III-V à hétérojonction pour applications hyperfréquences. D’autre part depuis peu se développe une nouvelle technologie de fabrication des circuits intégrés, la technologie BiCMOS, qui permet d’intégrer sur la même ”puce” des transistors MOS et des transistors bipolaires. 1.2 Contenu du cours Après un bref rappel sur la théorie des circuits (chapitre 2), nous abordons les composants qui jouent un rôle fondamental en Électronique. Le chapitre 3 est consacré à leur description et à leur modélisation. Il existe aujourd’hui des logiciels contenant des bibliothèques de composants. Il s’agit en fait de la modélisation électrique de ces composants à l’aide des éléments de base des circuits électriques : sources (courant, tension) et impédances (résistance, capacité et à très haute fréquence, self). Le logiciel le plus utilisé dans le domaine est SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis), en particulier les versions PSpice et HSpice (ORCAD est un logiciel performant faisant appel à ce simulateur). Ce logiciel permet de simuler le comportement électrique des composants de base (diodes, transistors), mais aussi de circuits intégrés réalisant des fonctions analogiques ou logiques. Sur un plan pragmatique, il n’est donc pas nécessaire de connaı̂tre de manière très détaillée le fonctionnement des composants pour ”faire” de l’Électronique : SPICE est là pour nous seconder. Sur le plan intellectuel il est toutefois satisfaisant de connaı̂tre au moins le principe de fonctionnement des composants qui sont à la base même de l’Électronique. De plus, ceci permet une lecture plus efficace des fiches techniques des composants, une perception plus claire des raisons des qualités et des limites des composants etc... Un fait très important à souligner est que les composants sont fondamentalement non linéaires. Par ailleurs, la modélisation des composants cherche le plus souvent à représenter le fonctionnement des composants à l’aide d’éléments linéaires ! Cette démarche qui consiste à linéariser leur comportement, peut apparaı̂tre contradictoire. Elle est en fait fondamentale en Électronique analogique puisqu’un des objectifs est de réaliser des fonctions linéaires. Les composants dont il est question ici sont les diodes et les transistors. Il existe un très grand nombre de types de diodes et de transistors, d’où la nécessité de faire un choix. D’autre part, ces composants peuvent être soit des composants discrets, soit des composants impliqués dans des circuits intégrés. Pour les diodes nous considérons uniquement le cas des composants discrets : diode de redressement et diode Zener d’une part, et diodes en optoélectronique : photodiode, diode électroluminescente, diode laser. Pour les transistors, nous considérons le cas des transistors bipolaires (élément discret ou intégré) et des transistors MOS (essentiellement sous forme intégré). Ces derniers sont de loin les composants les plus répandus. Ils sont utilisés en Électronique numérique (technologie CMOS) mais aussi en Électronique analogique (des circuits intégrés analogiques performants sont aujourd’hui fabriqués en technologie BiCMOS, qui permet de réaliser dans le même cristal de silicium des transistors MOS et bipolaires). Nous mentionnons également le transistor à effet de champ à jonction et quelques composants rapides à base de composés III-V. On peut en général décomposer un circuit analogique complexe sous forme d’un nombre 1.2. CONTENU DU COURS 3 limité de fonctions analogiques : amplification, filtrage, génération de signaux (oscillateurs), modulation etc... L’objet principal de ce cours d’Électronique analogique est de les définir et de montrer comment les réaliser et les utiliser. Sur le plan formel, ces fonctions sont représentées sur les schémas électriques comme des ”boites noires”. Un cas particulier de fonction analogique est celui des fonctions linéaires : le signal de sortie suit linéairement les variations du signal d’entrée (la forme des signaux n’étant pas nécessairement la même). Les blocs fonctionnels associés possèdent 2 bornes d’entrée et 2 bornes de sortie (quadripôles). Une telle situation n’est pas usuelle en Électronique numérique : les signaux d’entrée et de sortie peuvent être multiples (multiplexeurs, décodeurs...), on peut utiliser un signal d’horloge, une modification des signaux d’entrée peut se traduire par aucune modification des signaux de sortie ou cette modification peut être décalée dans le temps, l’amplitude des signaux n’est pas un paramètre pertinent etc... Bien entendu, l’Électronique analogique ne se limite pas à réaliser des fonctions linéaires et nous en donnerons des exemples (cas des oscillateurs par exemple). Le chapitre 4 (Blocs fonctionnels) décrit de manière générale les quadripôles et comment les assembler. La notion essentielle est ici celle d’impédance d’entrée et de sortie. Le chapitre 5 (amplificateurs linéaires à transistors) est très ”traditionnel”. La question est ancienne. Il s’agit de réaliser une fonction linéaire (ici amplifier une tension ou un courant) avec des composants non linéaires, les transistors. La première partie de ce chapitre montre comment y parvenir avec un seul transistor, en régime de petits signaux, nécessaire pour obtenir une réponse linéaire. Nous passons ensuite au cas des amplificateurs linéaires intégrés, les amplificateurs opérationnels (AO), en insistant sur leur étage d’entrée, qui est un étage différentiel et leur étage de sortie (push-pull dans le cas du 741). Les AO sont des amplificateurs différentiels à très grand gain (typiquement 105 ) ; de plus, ils sont linéaires même si l’amplitude des signaux de sortie est grande. Enfin, pour réaliser une fonction linéaire, ils sont à peu près inutilisables en boucle ouverte. Cette question introduit le chapitre 6, qui présente de manière générale les systèmes bouclés, et plus particulièrement la contre-réaction qui consiste à ramener de la sortie vers l’entrée un signal qui s’oppose aux variations du signal d’entrée. Les résultats de ce chapitre sont utilisés dans le chapitre 7 consacré aux différentes fonctions (”opérations” au sens mathématique) que l’on peut réaliser à l’aide d’un amplificateur opérationnel. On considère tout d’abord des fonctions linéaires : muni d’une contre-réaction, un AO permet de réaliser : inversion, amplification, addition, soustraction, intégration, dérivation. D’autres applications, cette fois non linéaires, seront présentées dans le chapitre 9 : multiplicateur, comparateur, en particulier le comparateur à hystérésis (bascule (trigger) de Schmitt). La dernière partie du cours est centrée sur la production et la mise en forme de signaux. Nous considérons tout d’abord le filtrage (chapitre 8). Le filtrage est une opération indispensable dans de nombreux circuits électroniques (par exemple pour la démodulation d’un signal FM). Un signal périodique quelconque est décomposable en série de Fourier. Le filtrage a pour action de modifier le poids de ses harmoniques : la forme du signal est donc modifiée (sauf si il est purement sinusoı̈dal). On insiste dans ce chapitre sur les filtres du second ordre que l’on peut réaliser avec des circuits passifs (contenant des selfs) ou à l’aide d’amplificateurs opérationnels (filtres actifs). Il existe des filtres dits à capacités commutées, constitués uniquement de transistors MOS et de capacités (il n’y a plus de résistances !). Le chapitre 9 est consacré à la génération de signaux périodiques et à leur mise en forme (shaping). A l’aide d’un amplificateur opérationnel bouclé par un circuits passif (résistances, capacités), avec une réaction positive, on réalise des oscillateurs sinusoı̈daux. Il n’y a plus ici de signal d’entrée. La fréquence d’oscillation est imposée par la boucle de réaction (l’amplification de l’AO bouclé est infinie pour cette fréquence) et un élément non linéaire permet de limiter l’amplitude des oscillations. On peut aussi réaliser des oscillateurs sinusoı̈daux en utilisant un cristal piézoélectrique (oscillateur à quartz associé à un circuit passif contenant une self). Les multivibrateurs constituent 4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION une autre famille de générateurs de signaux périodiques. Nous détaillons le fonctionnement du multivibrateur astable et nous présentons le circuit temporisateur NE555 (timer) qui permet de réaliser divers multivibrateurs (ce circuit intégré contient en particulier une bascule RS, une preuve de l’imbrication du Numérique dans l’Analogique !). Le chapitre 10 présente une application particulière de l’Électronique analogique qui consiste à produire un signal modulé (en amplitude, en phase, en fréquence) et pour la réception, à démoduler ce signal pour en extraire le signal utile. Ce chapitre permet de mettre en oeuvre les différentes fonctions analogiques introduites dans le cours : oscillateurs, amplificateurs, filtres, déphaseurs, multiplicateurs. Dans tout ce qui précède, les signaux sont supposés parfaitement définis, c’est à dire non bruités. En fait, les éléments d’un circuit (résistances, jonctions) génèrent du bruit. Dans le chapitre 11 on définit et étudie le bruit électronique généré par les électrons, dans les circuits électroniques (ceci ne doit pas être confondu avec le fait qu’un circuit électrique constitue une antenne pouvant capter toute sorte d’ondes électromagnétiques, ce qui constitue une source supplémentaire de bruit, mais de nature différente : on parle de parasite). Quand on choisit un composant ou un circuit intégré, les performances du composant vis à vis du bruit (”noise figure”) sont parfois déterminantes, d’où l’importance de ce chapitre. 1.3 Exemple de système électronique : instrumentation en physique nucléaire. Pour illustrer ce qui précède, nous présentons un exemple particulier relevant de l’Électronique analogique, qui ne prétend pas être totalement représentatif de cette discipline. L’exemple que nous avons choisi est celui de la chaı̂ne d’analyse associée à la détection et l’analyse en énergie des particules en physique nucléaire (particules chargées, photons de grande énergie). Nous faisons ici une présentation relativement détaillée. Certains passages peuvent ne pas être parfaitement compréhensibles par un lecteur peu averti en électronique. Ceci n’est pas très grave car le but est ici de montrer qu’avec un petit nombre de notions (amplification, filtrage, rudiments d’Électronique numérique) on peut réaliser des ensembles réalisant des tâches complexes et spécifiques. Aujourd’hui on peut acheter les différents modules impliqués dans ces ensembles (ORTEC, Canberra, Schlumberger, LeCroy etc...). Les entreprises qui les fabriquent ont souvent été fondées par des ingénieurs ayant travaillé dans le domaine de la physique nucléaire, à une époque où tout était fabriqué dans les laboratoires de recherche ! a) DETECTION. Pour convertir l’énergie d’une particule en signal électrique, il faut un capteur, ici un détecteur de particule. On peut dans certains cas utiliser à cet effet un détecteur à semiconducteur. C’est une diode P+ N polarisée en sens inverse, analogue à une photodiode. Le passage de la particule crée des paires électron-trou et se traduit par l’apparition d’un courant transitoire i(t) dans le circuit de la diode. On montre que dans le cas idéal, la charge électrique R Q = i(t)dt est proportionnelle à l’énergie E de la particule ayant pénétré dans le détecteur. Exprimée en Joule, cette énergie est extrêmement petite (pour une particule d’énergie E = 100 M eV la valeur en Joule est E = 100 × 106 × 1.6 × 10−19 = 1.6 × 10−11 J). Il importe donc de construire un chaı̂ne analogique permettant d’amplifier cette énergie et de produire une impulsion de tension V (t) dont l’amplitude soit proportionnelle à E. Dans des expériences plus compliquées, en plus de l’énergie on est amené à déterminer également la position du point d’impact de la particule sur le détecteur (détecteur énergie-position) etc.. b) PREAMPLIFICATION. 1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.5 Pour amplifier en énergie et intégrer dans le temps le signal fourni par le détecteur, on utilise un préamplificateur de charge. En simplifiant, il s’agit d’un amplificateur opérationnel monté en intégrateur de courant. Son impédance d’entrée doit être extrêmement grande, ce que l’on peut réaliser avec des transistors à effet de champ. Le bruit électronique du préamplificateur (”noise figure”) est un paramètre très important dans le choix du préamplificateur. Il dépend de son impédance d’entrée mais aussi de la capacité du détecteur. A la sortie du préamplificateur, l’arrivée d’une particule dans le détecteur se traduit par la production d’une impulsion ayant un temps de montée tr inférieur ou de l’ordre de 10 ns et un temps de descente beaucoup plus long, nettement supérieur à la micro-seconde. A peu de chose près il s’agit d’un échelon de tension, dont l’amplitude VP A est proportionnelle à Q, donc à E. Clairement le préamplificateur est linéaire en ce sens que VP A (E) est proportionnel à E (typiquement, VP A est inférieur ou de l’ordre de 0.1 V ). Ce préamplificateur comporte des circuits de mise en forme (shaping) puisque à l’entrée l’impulsion de courant i(t) est très brève (de l’ordre de quelques ns), ce qui n’est pas le cas du signal de sortie. Notons que le préamplificateur fournit également un autre signal de sortie, avec une mise en forme de très courte durée et dont la résolution en amplitude (en énergie) est moins bonne que pour l’autre sortie. Ce signal de sortie permet de repérer avec précision l’instant d’arrivée de la particule dans le détecteur. Remarques : à l’échelle du temps de montée de l’impulsion de sortie on ne peut plus négliger le temps de propagation des signaux dans les câbles (BNC...). La vitesse de propagation des signaux est voisine de 2 × 108 ms−1 (environ 32 c) soit 20 cm par ns : le temps de montée tr correspond au temps de propagation sur environ 1 m de câble. Un autre problème lié à ces échelles de temps courtes est la réflexion des signaux sur les extrémités des câbles (comme la réflexion des ondes sonores ou lumineuses sur un obstacle). Pour éviter ces réflexions il faut que l’impédance de charge à l’extrémité du câble soit égale à l’impédance caractéristique du câble (ici 50 Ω). Quand ceci est réalisé ont dit que l’on a ”adapté” la charge. De manière générale, quand la vitesse de propagation des signaux ne peut plus être considérée comme infinie, il est nécessaire d’utiliser une représentation (modélisation) particulière des circuits électriques. On parle dans ce cas de circuits à ”constantes réparties”. Nous n’aborderons pas cette question dans ce cours : les circuits sont dits à ”constantes localisées” quand on peut supposer infinie la vitesse de la lumière, hypothèse que nous faisons. Cette question relative au temps de propagation des ondes électromagnétiques ne doit pas être confondue avec le temps de réponse d’un composant. Dans ce dernier cas, les retards sont dûs à des phénomènes physiques liés au transport des charges dans le semiconducteur, tels que par exemple la diffusion ou la recombinaison des porteurs. c) AMPLIFICATION Le signal en échelon fourni à la sortie du préamplificateur est envoyé à l’entrée d’un amplificateur linéaire. Ici encore, il faut entendre par linéaire le fait que l’amplitude VAmax (E) du signal de sortie est proportionnelle à l’amplitude VP A (E) du signal d’entrée. La forme du signal de sortie VA (t) est très différente du quasi échelon appliqué à l’entrée. Elle est de type gaussien (courbe en cloche) avec une largeur à mi-hauteur de l’ordre de 0.1 à quelques µs suivant les amplificateurs. Elle est obtenue par amplification et filtrage. Le filtre est constitué d’un dérivateur puis d’un intégrateur, les deux circuits étant séparés par un amplificateur suiveur (adaptateur d’impédance). La dérivation introduit une longue queue négative que l’on supprime en modifiant la structure du filtre dérivateur ( cette opération s’appelle ”suppression de pôle zéro”, ou ”pole zero cancellation”). Remarque : la mise en forme des signaux analogiques sous forme d’impulsions d’une durée de l’ordre de la microseconde est pertinente quand la fréquence des événements ne dépasse pas 6 CHAPITRE 1. INTRODUCTION environ 10 kHz. En effet, les événements arrivent au hasard au cours du temps (processus de Poisson) et la probabilité pour que 2 événements se produisent dans un intervalle de temps de l’ordre de la µs devient non négligeable pour des taux de comptage plus élevés. Quand ceci se produit il y a phénomène d’empilement (pile up) : l’amplitude de l’impulsion, somme de 2 impulsions, ne correspond plus à un phénomène physique (une énergie E). Il existe des amplificateurs muni d’un système permettant d’éviter en partie l’empilement (système de réjection d’empilement). d) CONVERSION. Pour mesurer VAmax (E) donc E (via une calibration), on utilise un convertisseur analogique numérique (ADC, analog to digital converter). Les convertisseurs utilisés offrent de nombreuses possibilités de fonctionnement ; en particulier, ils sont munis d’une entrée porte (gate) sur laquelle un niveau logique (par exemple haut) autorise la conversion et le niveau inverse inhibe cette conversion. Ils sont couplés à un ordinateur qui stocke les événements et permet leur visualisation sous forme de spectres d’amplitudes (donc d’énergie). Le fonctionnement est le suivant : une impulsion VA (t) est convertie avec comme résultat l’entier N . Dans le programme d’acquisition, N correspond en fait à une adresse dans un tableau S(i) (typiquement, i = 1...1024). Le programme d’acquisition effectue simplement l’incrémentation S(N ) = S(N ) + 1. A la fin de l’acquisition, le tableau constitue un spectre en amplitude, donc en énergie, puisque VAmax est proportionnel à l’énergie E des particules détectées. Considérons le cas particulier de particules possédant toutes la même énergie Eo . Ceci se traduit par des amplitudes VAmax (Eo ) toutes identiques, auxquelles correspond un seul résultat pour la conversion, No . S(No ) est donc le nombre de particules détectées ayant l’énergie Eo . En fait, en raison du bruit électronique et surtout du caractère non idéal de la réponse du détecteur, les amplitudes VAmax se présentant à l’entrée du convertisseur fluctuent. Il en résulte que le résultat de la conversion est un entier voisin de No mais non nécessairement égal à No . La représentation graphique du spectre S(i) présente donc non pas une raie fine mais un pic centré sur l’adresse No , de forme approximativement gaussienne. Sa largeur donne ce que l’on appelle la résolution de la chaı̂ne d’analyse, qui grâce à l’étalonnage de la chaı̂ne, peut s’exprimer en énergie (en keV en général). Remarques : i) Dans les cas simples, le signal à convertir arrivant à l’entrée d’un ADC ne varie pas au cours du temps pendant la conversion (par exemple il s’agit du résultat de l’échantillonnage d’un signal relativement lent à l’échelle de la µs). Ce n’est pas toujours le cas en physique nucléaire puisque les convertisseurs peuvent recevoir des impulsion assez brèves VA (t) et doivent donc être conçu pour convertir numériquement leur amplitude VAmax (E) (il n’y a pas d’échantillonnage dans ce mode de fonctionnement). Dans les convertisseurs acceptant des impulsions de forme gaussienne, il faut donc repérer le passage du maximum de l’impulsion. Que ce soit des convertisseurs à rampe ou à approximations successives, dans une première étape on charge un condensateur jusqu’à ce que l’impulsion atteigne sa valeur maximum VAmax (E). Puis le signal d’entrée est déconnecté et c’est la capacité chargée qui mémorise VAmax (E) pour la conversion proprement dite. ii) Il faut un certain temps τc pour convertir une impulsion. Pour les meilleurs convertisseurs à approximations successives, τc est de l’ordre de quelques µs (certains convertisseurs ont des temps de conversion de l’ordre de 100 µs). En raison du caractère aléatoire de l’arrivée des impulsions sur l’entrée, il se peut qu’une impulsion se présente avant la fin de la conversion de l’impulsion précédente. Dans ce cas, il n’y a pas conversion et l’événement correspondant est perdu. Cette perte d’information s’appelle le temps mort (dead time) ; il est bien sûr d’autant plus important que le taux de comptage est élevé. 1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.7 Figure 1.1 – Schéma simplifié d’une chaı̂ne d’analyse en physique nucléaire. La structure Détecteur - Préamplificateur - Amplificateur - ADC - Ordinateur (voir figure 1.1) est ce qu’on peut envisager de plus simple. Dans une expérience de physique nucléaire, il est rare de n’utiliser qu’un seul détecteur : l’arrivée d’une particule (par exemple fournie par un accélérateur) sur le système étudié (par exemple des noyaux) peut donner lieu à l’émission de plusieurs types de particules (neutrons, photons, particules chargées..). Il existe donc plusieurs chaı̂nes de type Détecteur - Préamplificateur - Amplificateur - ADC travaillant simultanément. La physique des interactions et le fait que les détecteurs aient une surface limitée, implique que l’arrivée d’une particule incidente dans le système peut se traduire par aucune détection, la détection d’une particule, ou la détection de plusieurs particules, simultanément sur des chaı̂nes différentes. Sur le plan de l’Électronique, la question est non seulement de mesurer l’énergie des particules, mais aussi de savoir si ces particules sont arrivées de manière simultanée dans les détecteurs. De plus on peut être amené à éliminer certains événements (issus du bruit électronique ou de phénomènes physiques parasites etc..). Pour répondre à toutes ces question, il existe un grand nombre de fonctions électroniques disponibles sous forme de ”modules”. Voici quelques modules utilisés pour la mise en forme et le traitement des signaux en physique nucléaire. e) MODULES DE MISE EN FORME ET DE TRAITEMENT DES SIGNAUX : α) Amplificateur à seuil (biased amplifier) : la fonction est la même que pour un amplificateur linéaire simple, mais on amplifie non pas le signal d’entrée Ve (t) mais Ve (t) − Vth où Vth est une tension seuil fixée à l’aide d’un potentiomètre : si Ve < Vth , il n’y a aucun signal en sortie. Ceci permet le plus souvent d’éliminer le bruit électronique ou des événements de basse énergie E correspondant à des événements physiques parasites que l’on ne souhaite pas analyser. β) Certains amplificateurs possèdent une entrée porte (gate). Quand une impulsion arrive sur l’entrée linéaire à l’instant to , un signal amplifié est produit à la sortie si un niveau TTL haut est présent sur la porte en to ; si non, aucune impulsion n’apparaı̂t en sortie γ) Une autre solution permet d’éliminer des événements de faible amplitude VA < Vth (dans le bruit). On prend un tout autre point de vue, en introduisant une composante de Numérique. On utilise pour cela un discriminateur. Ce module reçoit le signal analogique VA (t) et en sortie produit une impulsion logique (TTL ou standard NIM, qui correspond à une impulsion négative très brève) quand VA > Vth (Vth est réglé à l’aide d’un potentiomètre) et aucune impulsion dans 8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION le cas contraire. Ceci permet par exemple de compter les événements correspondant à VA > Vth en envoyant les signaux de sortie dans une échelle de comptage. En envoyant les signaux de sortie des discriminateurs de différentes voies d’acquisitions dans des unités de coı̈ncidence, on peut repérer les événement simultanés. Le signal de sortie des discriminateurs peut également être utilisé pour autoriser ou non la conversion analogique-numérique du signal analogique VA (t) (il suffit de l’envoyer sur l’entrée ”gate” des convertisseurs). δ) Pour repérer avec précision l’instant d’arrivée d’une particule dans un détecteur, on utilise des discriminateurs spéciaux. Le signal d’entrée est un signal analogique par exemple celui qui est émis à la sortie d’un préamplificateur (montée rapide, descente lente). On règle sur le discriminateur un seuil de déclenchement Vth (trigger level). Quand le front de montée atteint ce seuil, une impulsion logique est émise en sortie. Il s’agit d’une impulsion standard NIM (impulsion négative d’amplitude voisine de 0.8 V et d’une durée réglable, typiquement 10 ns). L’opération correspondante porte le nom de ”time pick-off”. Une difficulté provient du fait que le déclenchement de l’impulsion de sortie se fait avec un retard qui dépend de l’amplitude de l’impulsion à l’entrée. Il existe des solutions pour minimiser cet effet (appelé ”jitter”) en faisant en sorte que le déclenchement corresponde non à un seuil donné Vth mais à une fraction constante (environ 15%) de l’amplitude de l’impulsion (le module correspondant porte le nom de ”constant fraction discriminator ”). ε) Les divers modules utilisés pour la mise en forme des signaux introduisent des retards. Pour synchroniser dans le temps les signaux on peut être amené à utiliser des circuits retardateurs (delay) : V (t) est transformé en V (t − τ ) où τ est un retard réglable. Il existe des convertisseurs (TAC ou convertisseurs temps-amplitude) permettant de convertir des retards (donc des ns) sous forme d’une tension (donc des volts). Ces modules possèdent 2 entrées, une entrée ”start” qui reçoit une première impulsion logique rapide signalant l’arrivée d’une particule dans un détecteur, et une entrée ”stop” recevant l’impulsion logique rapide associée à l’arrivée d’une particule dans un autre détecteur. Si cette dernière arrive avec un retard ∆t par rapport à la première, en sortie, une impulsion analogique d’amplitude Vmax (∆t) proportionnelle à ∆t est produite. Un TAC permet de mesurer des spectres en temps (on envoie Vmax (∆t) vers un ADC). On utilise également les TAC pour régler des problèmes de coı̈ncidence. η) Il existe bien d’autres solutions pour mettre en évidence la coı̈ncidence de plusieurs événements, soit de façon purement électronique, soit de manière logicielle. Dans ce dernier cas, on enregistre tous les événements sous forme d’une matrice (tableau) contenant tous les paramètres mesurables, systématiquement à l’arrivée de chaque particule sur le systèmes étudié : les événements coı̈ncidents sont mis en évidence par logiciel, après l’expérience. 1.3. EXEMPLE DE SYSTÈME ÉLECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLÉAIRE.9 Bibliographie. A. S. Sedra and K.C Smith, Microelecronic Circuits, Oxford University Press, (1998). Complet. Un des meilleurs livres sur l’Électronique analogique. Une très large ouverture sur l’utilisation des transistors MOS. Donne de nombreux exemples d’utilisation du logiciel de simulation SPICE. A. P. Malvino, Principes d’Électronique, Edisciences International, Paris (1995). Ouvrage très pédagogique pour aborder l’Électronique. Niveau Licence. Thomas L. Floyd, Électronique, Composants et systèmes d’application, Dunod (2000). Assez élementaire. Intéressant car proche de l’expérimentation. Donald A. Neaman, Electronic circuit analysis and design, IRWIN (1996). Complet. De nombreux exemples de fichiers d’entrée et de sortie de SPICE. Jacob Millman and Arwin Grabel, Microelectronics, McGraw Hill (1987). Date d’avant SPICE. Bien fait. Un chapitre bien documenté sur la technologie de fabrication des composants. Paul Horowitz and Winfield Hill, The Art of Electronics, Cambridge University Press (1989). Très complet, ”pas scolaire”. S’adresse à un public déjà bien au fait de l’Électronique. Il existe aussi un livre consacré aux Travaux Pratiques d’Électronique. F. Manneville et J. Esquieu, Systèmes linéaires bouclés de communication et de filtrage, Dunod (1990). Très clair, en particulier sur la modulation. Lang Tran Tien, Circuits fondamentaux de l’Électronique analogique, Technique & Documentation, Paris, 1996. Traditionnel. Beaucoup de schémas équivalents de complexité croissante. M. et F. Biquard, Signaux, systèmes linéaires et bruit en électronique. Ellipses, Paris, 1992. Possède plusieurs chapitres sur le bruit. Très complet. S. Clément, Initiation à l’Électronique Analogique, Dunod (1999). Une précédente édition existe sous le titre ”Petit manuel d’Électronique”, Collection 128, Nathan. Petit livre concis correspondant à un bon niveau DEUG. Ne contient que l’essentiel. S. Clément, Exercices d’Électronique Analogique, Collection ”128, Nathan (1997). Illustre et prolonge le précédent ouvrage (niveau DEUG-Licence). I. Jelinski, Toute l’Électronique en exercices, Vuibert (2000). Exercices longs avec corrigé, niveau licence EEA. G. Chevalier, J.C. Chauveau, B. Chevalier, Mémotech Électronique composants, Collection Educative, Editions Casteilla (1994). Donne un échantillon représentatif des fiches techniques des composants analogiques et numériques, intégrés ou discrets. A. Vapaille et R. Castagné, Dispositifs et circuits intégrés semiconducteurs, Dunod, Paris 1987. Niveau Deug-Licence. Synthétique et complet (en particulier description des CCD etc..). Comporte des éléments de CAO. M. Girard, Boucles à verrouillage de phase. McGraw-Hill, 1988, Paris. S’adresse aux BTS, IUT (Génie Electrique), licences EEA etc.. Chapitre 2 Circuits électriques 2.1 Circuits à constantes localisées Dans le cas général, les circuits électroniques sont parcourus par des signaux pouvant varier plus ou moins rapidement dans le temps. Le domaine des basses fréquences correspond aux signaux variant ”lentement” dans le temps, domaine qu’il importe bien entendu de préciser. Si un signal électrique varie de manière significative dans l’intervalle de temps δt, il y correspond un certaine fréquence ν ≈ 1/δt. Dans le cas particulier d’un signal périodique, δt représente une fraction de période T et ν est supérieur ou de l’ordre de la fréquence f = 1/T . Soit d une dimension typique du circuit considéré et v ≈ c la vitesse de propagation des signaux électriques : cette vitesse est celle de l’onde électromagnétique associée au signal ; dans un 1/2 milieu homogène, v = c/n = c/εr où εr est la constante diélectrique relative. Le temps caractéristique pour la propagation des signaux dans le circuit est donc δtp = d/v ≈ d/c. Si ce temps est faible devant δt, on peut supposer que la propagation de l’information est instantanée. Dans cette hypothèse, puisque les dimensions des objets n’interviennent pas dans le calcul du comportement électrique du circuit, on peut représenter les divers constituants du circuit par des objets ”localisés”. Dans les circuits passifs, ces objets sont les résistances, les capacités et les selfs. Inversement, si δtp = d/c À δt, ce type de représentation n’est plus pertinent. Une autre approche, conduisant à la même conclusion consiste à comparer d à la longueur d’onde λ = v/ν ' vδt associée aux signaux : si d ¿ λ les dipôles constituants le circuit sont ”localisés”. Afin de mieux cerner le régime des ”basses fréquences”, considérons le cas des dipôles utilisés en Travaux Pratiques. Les dimensions sont de l’ordre du centimètre. On obtient δtp ≈ 10−2 /(3 × 108 ) ' 3 × 10−11 s et donc une fréquence limite νlim ≈ 3 × 1010 Hz = 30 GHz. Cette fréquence limite correspond au domaine des hyperfréquences. Si au lieu d’objets de taille centimétrique (une résistance) on considère les fils conducteurs utilisés en TP, d est cette fois de l’ordre de 30 cm voire de l’ordre du mètre. Les fréquences limites correspondantes sont inférieures ou de l’ordre du GHz. Pour les fréquences & 1GHz, il n’est plus question de relier les différents éléments d’un circuit par des fils conducteurs tels que ceux utilisés en TP. On utilise des câbles coaxiaux et qui plus, des câbles spéciaux hyperfréquence (pour les fréquences inférieures à 1 GHz on utilise des câble BNC, nettement moins coûteux). Pour des signaux de fréquence 30 GHz, donc de longueur d’onde λ ≈ 1 cm, un câble de longueur grande devant 1 cm ne peut plus être représenté par une résistance usuelle puisque le champ électrique (donc le courant électrique) n’est pas le même partout dans le câble à un instant donné (le câble est un guide d’onde). Cette situation correspond au cas des circuits dits à ”constantes réparties”, terme qui introduit l’idée d’une délocalisation du dipôle considéré. Les circuits électroniques que nous considérons dans ce cours sont supposés fonctionner à des fréquences inférieures à quelques centaines de M Hz, fréquences pour lesquelles les circuits 1 2 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES sont à constantes localisées. Remarque : la dimension d’un circuit intégré et a fortiori d’un composant est nettement plus petite que 1 cm de sorte que la modélisation des composants à l’aide de dipôles localisés est en général pertinente, même dans le domaine des hyperfréquences. Par contre, les effets de couplage (en particulier inductifs) sont importants, ce qui complique la modélisation. 2.2 2.2.1 2.2.1.1 Eléments passifs Résistance. Résistor (l’objet résistance) Une résistance est un dipôle constitué d’un matériau conducteur. La valeur (la résistance !) d’un résistance s’exprime en Ohm (Ω). On notera l’ambiguı̈té entre l’objet résistance et sa valeur en Ohm qu’on appelle aussi résistance. On rencontre dans les manuels des Lycées le mot anglais résistor (par exemple dans la phrase : ... ”la résistance du résistor R1 est de 1.5 kΩ...”) pour désigner l’objet résistance, ce qui lève l’ambiguı̈té. L’usage du mot résistor est cependant peu répandu dans les laboratoires. La valeur d’une résistance dépend de ses propriétés géométriques et d’une propriété intrinsèque du matériau appelée résistivité (notée ρ). La géométrie la plus simple est celle d’un objet de forme cylindrique ( la section droite, constante, peut être un cercle mais aussi un rectangle etc...). Si S est l’aire de la section droite et L est la longueur de la résistance, la valeur de la résistance s’écrit (les unités sont indiquées entre parenthèse) : R(Ω) = ρ(Ω m) L(m) S(m2 ) (2.1) En Électronique les résistances sont utilisées sous forme d’éléments discrets, ou sous forme intégrée. a) Résistance métallique. On peut réaliser une résistance à l’aide d’un très bon conducteur comme un métal. En électronique on utilise en fait les métaux non pour réaliser des résistances mais pour réaliser des connexions, c’est à dire des résistances négligeables. Il s’agit essentiellement de l’aluminium en couche mince, pour réaliser les différents niveaux de métallisation des circuits intégrés, et l’or pour connecter les circuits intégrés aux électrodes (pattes) du circuit (on sait faire des fils d’or très fins et les souder par thermo-compression). La résistivité d’un très bon conducteur est de l’ordre de 10−8 Ω m (pour le cuivre qui est un excellent conducteur, ρ = 1.56 × 10−8 Ω m). Pour un film mince métallique (une piste) de longueur L = 100 µm = 10−4 m, d’épaisseur e = 1 µm et de largeur l = 10 µm, la résistance est de l’ordre de R = 10−8 × 10−4 /(10−6 × 10−5 ) = 0.1 Ω. Il s’agit d’une résistance faible devant les résistances caractéristiques dans les circuits intégrés. Cet exemple nous montre aussi qu’il est difficile de réaliser des résistances de l’ordre du kΩ à l’aide d’un métal. On sait cependant réaliser des résistances en couches minces sous forme de pistes (épaisseur e . 1µm, largeur W ) en NiCr ou Ta de valeurs assez élevées. Compte tenu de la géométrie, la section droite est S = eW ; si la longueur de la résistance L est égale à sa largeur W la résistance, vue de dessus est un carré dont la résistance est R¤ = ρ/e ; elle porte le nom de ”résistance par carré”. b) Résistances au carbone. Les résistances avec code de couleurs utilisées en TP (puissance maximale Pmax = 0.25 W ou 0.5 W ) sont des résistances au carbone. Le carbone est soit un isolant (le diamant), soit un conducteur (le graphite). On sait aussi fabriquer du carbone amorphe. Ce solide conduit moins bien le courant qu’un métal (plus grande résistivité) et peut 2.2. ELÉMENTS PASSIFS 3 être déposé sous forme de couches minces ayant des résistances dans la gamme correspondant aux besoins usuels en TP (10 Ω à quelques MΩ). Cette couche de carbone est déposée sur un bâtonnet de céramique isolante. c) Résistances intégrées. Dans les circuits intégrés les résistances sont réalisées avec du semiconducteur dopé (le dopage consiste à introduire des impuretés judicieusement choisies, voir chapitre 3). En dopant plus ou moins le semiconducteur on peut faire varier sa résistivité et donc réaliser des résistances de valeurs très différentes avec des géométries voisines. On utilise aussi beaucoup le silicium polycristallin dopé (ou polysilicium) pour réaliser des résistances sur circuit intégré (le polysilicium est utilisé aussi pour réaliser le contact avec l’oxyde de grille des transistors MOS). La résistivité d’un semiconducteur fortement dopé est typiquement comprise entre 0.01 Ω cm et 1 Ω cm ce qui permet sans difficulté de réaliser des résistances de l’ordre du kΩ. Remarque : dans les filtres intégrés à capacités commutées (voir §8.5) les résistance sont remplacées par des capacités ! Plus généralement, on limite au maximum la présence des résistances dans les circuits intégrés. 2.2.1.2 Loi d’Ohm. Mobilité, conductivité, résistivité. Une résistance est un dipôle qui transforme l’énergie électrique en chaleur (effet Joule) via des phénomènes dissipatifs (collision des électrons de conduction sur les atomes qui vibrent, les défauts, les impuretés). Elle joue un rôle analogue à celui des frottements dans les systèmes mécaniques ; en particulier elle introduit de l’amortissement dans les circuits oscillants. Elle ne peut pas avoir un rôle d’amplification ; pourtant ce dipôle est très utilisé en électronique comme nous allons le voir dans tout ce qui suit. Pour des courants pas trop élevés, il existe une relation linéaire entre le courant I circulant de la borne A vers la borne B dans une résistance (voir figure 2.1) et la différence de potentiel V = VA − VB appliquée aux bornes de la résistance ; cette relation s’appelle la loi d’Ohm. La loi d’Ohm traduit une propriété de volume du matériau constituant la résistance. En un point donné du matériau, les porteurs de charge q (souvent des électrons) sont soumis un force extérieure F~ext due à l’application de la différence de potentiel V . Il s’agit de la force de Coulomb : Figure 2.1 – Résistance en géométrie cylindrique. Le champ électrique est uniforme et les lignes de courant sont parallèles : R = ρL/S. Les porteurs (concentration n) ont une vitesse moyenne non nulle proportionnelle au champ électrique. ~ F~ext = q E (2.2) 4 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES ~ est le champ électrique (unité : le Volt par mètre) créé par l’application de la tension V . où E Pour une géométrie simple (telle que le cylindre allongé invoquée à propos de l’équation 2.1), on a simplement E = V /L où L est la longueur de la résistance. Sous l’effet de cette force extérieure, en plus de leur mouvement désordonné (celui correspondant à l’équilibre thermodynamique) les porteurs sont animés d’un mouvement d’ensemble avec une vitesse moyenne < ~v > proportionnelle à la force, donc au champ électrique. Cette relation linéaire s’écrit : ~ < ~v >= µE Le coefficient de proportionnalité µ s’appelle la mobilité (unité : V m2 s−1 ) : une grande mobilité conduit, pour un champ donné, à une vitesse moyenne élevée. Le courant électrique I est une conséquence directe de ce mouvement d’ensemble des porteurs de charge. En effet, I représente le nombre de coulombs traversant une section droite du conducteur par seconde. Considérons (voir figure 2.1) pendant un intervalle de temps δt des porteurs tous animés d’une vitesse moyenne v̄ supposée positive et dirigée suivant l’axe Ox (parallèle au champ électrique). Soit n le nombre de porteurs par unité de volume dans le conducteur et soit une section droite S du conducteur en x = 0. Les porteurs qui vont traverser la section droite entre l’instant t = 0 et l’instant t = δt, sont ceux situés dans la région x < 0 à une distance ≤ v̄δt de l’origine. Le nombre moyen d’électrons correspondant est donné par le produit du volume du cylindre de longueur v̄δt et de section droite S par la concentration de porteurs n, soit v̄δtSn. La charge électrique correspondante est obtenue en multipliant cette quantité par la charge électrique q de chacun des porteurs, soit δQ = v̄δtSnq. δQ représente le nombre de coulombs traversant la section droite pendant un temps δt. Le courant I est obtenu en divisant par δt : I= δQ = v̄Snq = SnqµE δt Afin de s’affranchir de la géométrie de la résistance il suffit de diviser cette expression par S. On obtient la densité de courant j = I/S (unité : Ampère par mètre carré) : j= I = nqµE S (2.3) Cette équation constitue véritablement la loi d’Ohm : la densité de courant j (ampère par mètre carré) est proportionnelle au champ électrique dans un conducteur. Elle permet de retrouver l’expression plus populaire ”V = RI” de la loi d’Ohm et l’expression R = ρL/S de la valeur d’une résistance. Dans (2.3), le coefficient de proportionnalité nqµ s’appelle la conductivité (unité : Ω−1 m−1 ) et se note σ : conductivité : σ = nqµ =⇒ j = I = σE S Par définition la conductivité est l’inverse de la résistivité intervenant dans le calcul d’une résistance : 1 1 résistivité : ρ = = σ nqµ Retrouvons la relation 2.1 et la loi d’Ohm usuelle. En multipliant 2.3 par L on fait apparaı̂tre le produit EL = V , d’où IL/S = σEL = σV , soit encore V = I(1/σ)L/S. En utilisant ρ = 1/σ on obtient comme il se doit : L V = ρ I = RI S 2.2. ELÉMENTS PASSIFS 5 Cette relation est valable en régime continu mais aussi à basse fréquence. Pour des signaux variables à basse fréquence, on peut par exemple écrire la loi d’Ohm sous la forme : basse fréquence =⇒ v(t) = Ri(t) (2.4) Remarque : nous avons vu qu’en hyperfréquences, la notion de dipôle localisé peut être remise en question. Supposons qu’elle soit cependant pertinente (résistance de petite taille). Malheureusement, d’autres phénomènes physiques viennent compliquer encore la description ! En effet, à ces fréquences, le champ électrique ne pénètre dans les conducteurs que sur une épaisseur δ appelée épaisseur de peau, d’autant plus faible que la fréquence ν et que la conductivité σ sont élevées : δ = (πµσν)−1/2 où µ est la perméabilité magnétique ( quand la fréquence augmente, on passe progressivement du conducteur au guide d’onde). Il en résulte que la résistance R dépend de la fréquence dans le cas général (elle n’est plus donnée par la relation 2.1). 2.2.2 2.2.2.1 Condensateurs, capacités. Capacité d’un condensateur plan. Un condensateur parfait (voir figure 2.2 pour le cas des condensateurs plans) est un élément passif qui ne dissipe pas d’énergie. Il est basé sur le phénomène d’influence électrique. Il est constitué de deux plateaux conducteurs séparé par un isolant. Sauf cas de claquage, aucun courant électrique ne traverse l’isolant. En réalité, une petite quantité d’énergie se dissipe dans l’isolant et pour modéliser cette dissipation on utilise une résistance équivalente. Figure 2.2 – Condensateur plan. Le champ électrique est uniforme entre les plateaux et la charge globale est nulle (QA + QB = 0). La différence de potentiel entre les plateaux est reliée à la charge des plateaux par QA = C(VA − VB ) où C est la capacité du condensateur (en Farad). Dans un condensateur parfait, quand on apporte des charges QA sur un des plateaux, l’autre plateau se charge avec une quantité d’électricité QB = −QA : les charges QA créent un champ éléctrique qui attirent les charges de signe contraire de l’autre plateau (force de Coulomb). Nous considérons maintenant le cas important en Électronique des condensateurs plans (voir figure 2.2). Le champ électrique E créé par les 2 plateaux plans chargés est uniforme entre les plateaux (dans l’isolant). Si V = VA − VB est la différence de potentiel entre les plateau, et d la distance entre les plateaux, on a donc E = V /d. Soit ε = εo εr la permittivité de l’isolant (εo est la permittivité du vide en Farad par mètre, et εr > 1 est la permittivité relative du diélectrique, sans dimension). Le champ électrique polarise le diélectrique (crée des dipôles électriques). On montre que le champ éléctrique à la surface d’un conducteur chargé situé dans le vide est E = σ/εo où σ est la densité surfacique de charge (unité : coulomb par mètre carré). Si on remplace le vide par un diélectrique, la polarisation de ce dernier affaiblit le champ (le champ induit s’oppose au champ créé par les plateaux), qui devient E = σ/ε. Si S est la surface d’un 6 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES plateau (l’aire), σA = QA /S, ce qui donne E = QA /(εS), et aussi, VA − VB = Ed = QA d/(εS) qui est la relation fondamentale pour les condensateurs plans. Elle s’écrit : QA = C(VA − VB ) , C= εS d (2.5) Dans cette expression, C est la capacité du condensateur (unité : le Farad) et ε = εo εr la permittivité de l’isolant (εo = 8.85 × 10−12 F m−1 ). Contrairement au cas de l’Ohm, qui est une unité plutôt petite, le Farad est une unité très grande, surtout si on considère les capacités utilisées en Électronique analogique. On utilise donc les µF , nF , pF et même f F (femto Farad). La relation 2.5 est démontrée en général dans les cours d’Electrostatique. On l’applique en Électronique jusqu’à des fréquences élevées. Comme pour les résistances, la capacité d’un condensateur dépend de la fréquence à haute fréquence, en particulier parce que la constante diélectrique de l’isolant en dépend, et ceci peut se produire bien avant 1 GHz. A basse fréquence, on peut par contre écrire : basses fréquences =⇒ QA (t) = C (vA − vB ) ⇔ Q(t) = Cv(t) (2.6) une relation très importante dans un cours d’Électronique analogique. Il s’agit d’une relation algébrique dans laquelle si Q(t) représente la charge QA du plateau A, alors v(t) = vA − vB . Remarque : On ne peut pas charger instantanément un condensateur car il faudrait pour cela un courant de charge infini. Ceci n’est jamais le cas, en particulier quand il existe des résistances dans le circuit de charge. Cette propriété est largement utilisée dans l’analyse des circuits en régime transitoire. En particulier, si le potentiel (par rapport à un potentiel de référence) d’un des plateaux varie brusquement d’une quantité ∆V , l’autre plateau voit son potentiel varier instantanément de la même quantité. 2.2.2.2 Condensateurs en Électronique. Comme pour les résistances, en Électronique les condensateurs apparaissent dans les circuits sous forme discrète ou intégrée. a) Condensateurs discrets. Les condensateurs discrets se distinguent essentiellement par la nature de leur isolant qui peut être du papier, du mica, du plastique etc... Les condensateur électrochimiques ou électrolytiques (l’isolant est un oxyde anodique d’aluminium ; il existe aussi des isolants à base d’oxyde de tantale) permettent de réaliser de fortes capacités mais sont si possible à éviter (pertes importantes ; ils peuvent être détruits par l’application d’une tension continue de mauvaise polarité). On sait réaliser des condensateurs à faible perte et sur une large gamme de valeurs de capacités grâce à des diélectriques à forte constante diélectrique comme les céramiques. On peut obtenir des valeurs aussi élevées que εr = 104 avec des céramiques de structure perovskite (celle de BaTiO3 ) et des condensateurs très stables avec des céramiques à l’oxyde de titane. b) Condensateurs intégrés. On peut réaliser un condensateur à partir de la capacité de grille d’un transistor MOS. La capacité se compose de la grille, constituant l’un des plateaux métallique, et de l’oxyde de grille (silice SiO2 ) ; l’autre plateau est constitué par le substrat en semiconducteur. Toutefois, les capacités MOS dépendent de la tension continue appliquée (comme une varicap) car cette tension peut faire évoluer la conductivité du substrat de silicium ; elles dépendent aussi de la fréquence des signaux variables appliqués (voir chapitre 3). Pour éviter ce comportement et se rapprocher d’une structure à 2 plateaux métalliques, on augmente la conductivité du canal en le dopant par implantation (voir chapitre 3). Une autre solution permettant de réaliser un condensateur en technologie CMOS (voir chapitre 3) est de rajouter une étage de dépôt de polysilicium ce qui permet de réaliser deux plateaux conducteurs. Cette 2.2. ELÉMENTS PASSIFS 7 fois, l’isolant est constitué par ”l’oxyde de champ” (field oxide) situé en surface des circuits intégrés. C’est ce procédé qui réalise les meilleurs condensateurs intégrés. Remarque : un condensateur réel peut se représenter comme une capacité C idéale en parallèle sur une résistance r traduisant les phénomènes dissipatifs. 2.2.3 2.2.3.1 Self Auto-induction Une self est un dipôle basé sur la loi de Lenz. Un circuit électrique parcouru par un courant électrique variable i(t) crée un champ magnétique variable B(t) proportionnel à i(t) donc un flux Φ(t) à travers une surface donnée proportionnel à i(t). Si cette surface s’appuie sur un circuit électrique il en résulte une force électromotrice induite e dans le circuit proportionnelle à la dérivée du flux magnétique par rapport au temps : e = −dΦ(t)/dt. Si le circuit créant le champ et le circuit siège des variations de flux est le même, on parle de phénomène d’auto-induction. D’après ce qui précède, e est donc proportionnel à di(t)/dt. Le coefficient de proportionnalité s’appelle l’inductance (la self) du circuit L (unité : le Henri) : e = −L di dt Figure 2.3 – Schéma d’une self (bobine d’auto induction). Les variations de courant créent une variation de flux qui crée une force électromotrice induite e = −Ldi/dt où L en Henri est l’inductance de la self. Le signe négatif dans cette expression rappelle simplement que la force électromotrice induite s’oppose au phénomène qui lui donne naissance (comme nous n’avons pas défini les conventions de signe ni pour le courant ni pour la f.e.m induite, ce signe n’a pas grande signification pour un circuit électrique !). Plus précisément, sur le plan des circuits électriques (voir figure 2.3), on cherche la relation algébrique entre la tension v(t) aux bornes d’une self et le courant i(t). Si un dipôle AB est une self pure, si le sens conventionnel du courant i(t) est orienté de A vers B, et si v(t) = vA − vB , on a : v=L di = −e dt (2.7) Le schéma équivalent d’une self comporte toujours une résistance en série avec la self, traduisant les pertes par effet joule. A très haute fréquence des couplages capacitifs peuvent intervenir. 2.2.3.2 Selfs en électronique. La représentation que l’on se fait d’une self est celle d’un solénoı̈de (bobine d’induction). Cette structure se prête assez mal à l’électronique, particulièrement l’électronique intégrée. 8 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES Aujourd’hui, on cherche donc plutôt à éviter d’utiliser les selfs en Électronique. Nous verrons qu’à basse fréquence ceci est possible grâce à des montages tels que le convertisseur d’impédance négative. A haute fréquence, les selfs peuvent devenir indispensables (nous présenterons par exemple l’oscillateur à quartz dans le chapitre 9 qui utilise un cristal permettant de simuler une self). On sait d’autre part fabriquer des selfs de très petites dimensions. De plus on sait fabriquer des selfs dont la valeur est commandée par une action extérieure. Enfin, en raison d’effets parasites, les selfs existent dans les schémas équivalents des circuits électroniques dans le domaine microonde (f & 30 GHz). 2.2.4 Conclusion. Pour des résistances, selfs et condensateurs idéaux, nous avons montré qu’il existe une relation linéaire entre les courants et les tensions. a) Pour les résistances, la relation vR (t) = Ri(t) est à l’évidence linéaire. b) Pour les condensateurs, la relation Q(t) = CvC (t) est également linéaire. La relation entre le courant et la tension s’obtient en écrivant la charge d’un plateau est donnée par R t 0 que 0 l’intégrale du courant dans le temps : Q(t) = i(t )dt (la borne d’intégration inférieure dépend des conditions initiales). On obtient : vC (t) = 1 C Z t i(t0 )dt0 Cette relation est linéaire car la transformation i → λi conduit à vC → λvC . Réciproquement, par dérivation par rapport au temps de la relation Q(t) = CvC (t) on obtient : i(t) = C dvC dt c) D’après ce qui précède, la relation liant le courant et la tension dans une self idéale est linéaire : di vL (t) = L dt 2.3 Impédances 2.3.1 Introduction. Figure 2.4 – Circuit série résonant. La résistance dissipe l’énergie électrique. La self et le condensateur ne dissipent pas d’énergie mais s’échangent de l’énergie, formant un résonateur. En régime harmonique il y a résonance quand la fréquence excitatrice est égale à la fréquence de résonance du système L − C. 2.3. IMPÉDANCES 9 Considérons (voir figure 2.4) un dipôle AB constitué par la mise en série d’une résistance R, d’une self L et d’un condensateur C. Soit e(t) = vA − vB la tension aux bornes de ce dipôle. D’après le paragraphe précédent, e(t) = vR (t) + vC (t) + vL (t) = Ri(t) + 1 C Z t i(t0 )dt0 + L di dt (2.8) Cette équation est une équation linéaire intégro-différentielle. Connaissant la fonction e(t), on sait résoudre (au pire numériquement) une telle équation : le changement de variable i(t) = dQ(t)/dt ramène l’équation à une équation linéaire du second ordre en Q(t) à coefficients constants. On sait que la solution générale est obtenue en faisant la somme d’une solution particulière de l’équation et de la solution générale de l’équation correspondant à e(t) = 0 (équation dite ”sans second membre”). Cette dernière solution correspond au comportement du circuit série sans apport d’énergie (oscillations libres). En raison de la présence de la résistance, qui dissipe de l’énergie par effet Joule, l’énergie tend nécessairement vers zéro quand le temps s’écoule. Un ordre de grandeur du temps nécessaire pour dissiper une partie importante de l’énergie est par exemple donné la constante de temps RC. Compte tenu des ordres de grandeur en Électronique, cette constante de temps est en général petite à l’échelle de la seconde (par exemple, R = 10 kΩ et C = 10 nF donne RC = 10−4 s). Aux temps longs devant RC, la solution générale de l’équation sans second membre devient donc négligeable. Elle correspond à ce que l’on appelle un régime transitoire. Ne subsiste donc que la solution particulière de l’équation qui est dictée par l’excitation ”extérieure” e(t). Dans le cas particulier P où e(t) est périodique, de pulsation ω = 2π/T , on peut décomposer e(t) comme un somme ei (t) de signaux sinusoı̈daux de pulsations ω, .. i × ω etc.. Comme l’équation est linéaire, on peut résoudre le problème en cherchant la réponse du circuit, successivement pour chacune des sources sinusoı̈dales ei (t), puis en faisant la somme des solutions trouvées. On se ramène donc à la recherche du comportement du circuit en régime sinusoı̈dal (on dit aussi harmonique) : e(t) = EM cos(ωt + ϕe ) On montre facilement que la solution particulière de l’équation (Q(t) ou i(t)) est également sinusoı̈dale, avec la même pulsation ω ; seule change l’amplitude et la phase : la forme générale des solutions est Acos(ωt + ϕ). Ainsi, chacune des tensions vR , vC et vL est sinusoı̈dale : vR (t) = VRM cos(ωt + ϕR ) v (t) = VCM cos(ωt + ϕC ) C vL (t) = VLM cos(ωt + ϕL ) On peut représenter ces tensions par des vecteurs du plan OxOy dont la longueur est égale à l’amplitude et faisant avec l’axe Ox un angle θ = ωt + ϕ égal à l’argument du cosinus. Cette représentation s’appelle la représentation de Fresnel. Dans cette représentation, la valeur des tensions est donnée par la projection des vecteurs sur l’axe Ox. e(t) est représenté par un vecteur égal à la somme des vecteurs associés aux tensions vR , vC et vL . Plutôt que d’utiliser cette représentation purement géométrique, on peut utiliser les nombres complexes. Il s’agit de refaire exactement la même chose que dans la représentation de Fresnel, mais avec un formalisme purement algébrique. Cette approche conduit à la notion d’impédance complexe. Remarque : on peut étendre la notion d’impédance au cas des régimes non harmoniques grâce à la transformée de Laplace. Cet aspect est détaillé dans les cours de Théorie du Signal. On note Z(p) ou Z(s) les impédances généralisées associées. Le lien avec les impédances en régime harmonique est obtenu en posant p = jω (voir aussi 8.2.7. 10 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES 2.3.2 Amplitude complexe, impédance complexe. En introduisant la notion d’impédance, le but est, une fois éteint le régime transitoire, de remplacer l’équation intégro-différentielle 2.8 par une équation algébrique sur le corps de complexes C. On définit l’amplitude complexe V associé à une tension sinusoı̈dale VM cos(ωt + ϕV ) (ou I associé à un courant IM cos(ωt + ϕI )) de la manière suivante (Re signifie ”partie réelle de”) : V = VM ejϕV (2.9) Le lien entre V et v(t) est donné par : £ ¤ v(t) = Re V ejωt Pour les courants : ½ I = I M ejϕ£I ¤ i(t) = Re Iejωt (2.10) (2.11) La question est maintenant de savoir comment associer une amplitude complexe à une dérivée ou une primitive. On peut s’y prendre de deux façons. En dérivant 2.10 par rapport au temps on obtient : "µ # ¶ £ ¤ dv(t) dV jωt jωt = Re jωV e = Re e dt dt Il en résulte que dériver par rapport au temps revient à multiplier les amplitudes complexes par jω : d =⇒ ×jω (2.12) dt De façon analogue, intégrer par rapport au temps revient à diviser par jω : Z 1 dt =⇒ × jω (2.13) On peut retrouver ce résultat en dérivant ou intégrant directement v(t) = VM cos(ωt + ϕV ). dv(t) π En effet, dv(t) dt = −ωVM sin(ωt + ϕV ) que l’on peut écrire dt = ωVM cos(ωt + ϕV + 2 ). Ainsi, dériver v(t) par rapport au temps revient à multiplier son amplitude par ω et à rajouter π2 à sa phase. Or d’après la définition 2.9, rajouter π/2 à la phase revient à multiplier l’amplitude complexe par ejπ/2 qui est égal à j. La multiplication par jω prévue par 2.12 effectue bien ces 2 actions, de manière très compacte. Ayant ces règles sur la dérivation et l’intégration, on peut maintenant remplacer l’équation intégro-différentielle 2.8 par une équation sur les amplitudes complexes. On obtient l’équation linéaire suivante reliant les amplitudes complexes associées au courant et à la tension excitatrice : ¶ µ 1 1 ĒM = V̄R + V̄C + V̄L = RI + + jLω I = Z(jω)I I + jLωI = R + jCω jCω Cette équation fait apparaı̂tre un nombre complexe Z homogène à une résistance (en Ω) que l’on appelle l’impédance complexe du dipôle AB : Z= ĒM 1 =R+ + jLω jCω I 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 11 Elle fait également apparaı̂tre les impédances de la résistance, self et capacité constituant le dipôle série. Enfin elle fait apparaı̂tre la règle de composition des impédances pour un circuit en série : les impédances s’ajoutent. En résumé : ZR = R 1 ZC = jCω (2.14) ZL = jLω et : Circuit série : Z= X Zi (2.15) i 1 En particulier, l’expression des impédances ZC = jCω et ZL = jLω nous enseigne que aux bornes d’un condensateur (VC = ZC I), la tension vC (t) présente un retard de phase de π/2 par rapport au courant, et qu’au contraire, la tension est en avance de π/2 sur le courant dans une self. D’autre part, pour les fréquences élevées, l’impédance d’une capacité tend vers zéro (court circuit). A fréquence nulle, l’impédance est infinie traduisant le fait qu’on ne peut pas faire passer de courant dans l’isolant. A fréquence non nulle, le courant i(t) correspond à un courant de charge ou de décharge des plateaux (et non à un courant dans l’isolant !). Pour la 1 fréquence ωo telle que Cω = Lωo , ZC + ZL = 0 et Z = R. Pour cette pulsation, le courant o et la tension sont donc en phase, et l’amplitude du courant est maximum : fo = ωo /2π est la fréquence de résonance du dipôle AB. Dans le cas général, on peut écrire : jϕ V = VM e V jϕ I = IM e I V = ZI ⇔ Z = V = VM ej(ϕV −ϕI ) IM I L’impédance Z d’un dipôle renseigne donc à la fois sur le rapport des amplitudes de la tension et du courant (via son module), mais aussi sur le déphasage entre la tension et le courant (via son argument) : ½ M |Z| = VIM Arg(Z) = ϕV − ϕI Connaissant l’amplitude et la phase de la tension appliquée, le calcul de l’impédance permet de déterminer l’amplitude IM = VM / |Z| et la phase ϕI = ϕV − Arg(Z) du courant. Pour les circuits présentant des branches en parallèle, il est intéressant de pouvoir sommer les courants. On préfère donc utiliser le relation V = ZI sous la forme I = Z1 V et on définit : admittance : Y = 1 I = Z V d’où la règle : branches en parallèle : Y = X Yi i 2.4 2.4.1 Signaux, théorèmes pour les circuits linéaires. Signaux En Électronique, la forme des signaux v(t) ou i(t) peut être très variée. Nous avons insisté jusqu’ici sur le cas particulier des signaux constants et des signaux périodiques, plus particulièrement sinusoı̈daux, mais ceci est loin d’épuiser toutes les formes possibles. Citons par 12 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES exemple les échelons : la grandeur est un niveau constant changeant brusquement de valeur à un instant précis. Une autre forme possible est l’impulsion, de durée plus ou moins brève, et de forme diverse (carrée, triangulaire, de type gaussien, exponentiel etc...). Il peut s’agir aussi d’un signal de forme imprévisible (par exemple dans le domaine médical ou sismique) que l’on se propose d’échantillonner et de convertir à l’aide d’un ADC. Citons pour terminer l’exemple d’un signal audio modulé en fréquence. 2.4.1.1 Impulsions. Figure 2.5 – Impulsion électrique : temps de montée, temps de descente. Nous avons vu dans l’introduction que comme pour les circuits numériques, les circuits analogiques peuvent véhiculer des impulsions. La figure 2.5 représente une impulsion typique. L’amplitude de l’impulsion et sa durée sont des grandeurs intéressantes, mais aussi ses temps de montée (rise time tr ) et de descente (fall time tf ). Ces fronts peuvent par exemple correspondre à l’arrivée d’un signal sur un capteur : de faibles valeurs de tr ou tf confèrent une bonne résolution en temps au système électronique. 2.4.1.2 Signaux périodiques. Pour un signal périodique s(t), il existe une période T (donc une fréquence f = 1/T ) telle que s(t + T ) = s(t). Par contre, la forme de s(t) sur une période peut être quelconque. Le théorème de Fourier permet de décomposer s(t) périodique comme une somme de signaux sinusoı̈daux. Dans le cas général : s(t) = Ao + ∞ X (An cos(nωt) + Bn sin(nωt)) (2.16) n=1 où ω = 2π/T est une pulsation (en radian par seconde). L’indice n = 1 correspond au ”fondamental”, qui oscille à la même fréquence que le signal périodique, et n > 1 aux harmoniques. Un son ”riche” comporte de nombreuses harmoniques (les amplitudes correspondantes An ou Bn restent importantes pour des valeurs élevées de n). Le signal périodique de forme carrée dont on dispose sur les générateurs basses fréquences, comporte nécessairement des composantes à très haute fréquence : les flancs de montée et de descente correspondent à des variations extrêmement rapides de la tension. La figure 2.6 représente des signaux carrés périodiques. Dans le cas général, la durée tH de la partie haute 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 13 Figure 2.6 – Signaux carrés avec divers raports cycliques. n’est pas égale à la durée tL de la partie basse. On appelle rapport cyclique (duty cycle) la quantité tH r= tH + tL Quand tL = tH , la décomposition de Fourier du signal carré périodique est particulièrement simple. Pour un signal centré autour de l’origine (fonction impaire), de valeur moyenne nulle et d’amplitude crête à crête 2VM (voir figure 2.6) la décomposition s’écrit : · ¸ 1 1 4VM sin(ωt) + sin(3ωt) + ... + sin((2n + 1)ωt) + ... Signal carré : s(t) = π 3 2n + 1 (2.17) expression qui fait apparaı̂tre, comme annoncé, une décroissante très lente de l’amplitude des harmoniques (décroissance en 1/n). Suivant les cas il peut être intéressant de traiter les signaux carrés dans les circuits linéaires comme le somme 2.17 (application du principe de superposition), ou par un calcul du régime transitoire en résolvant directement les équations différentielles, ou par utilisation de la transformée de Laplace. 2.4.2 2.4.2.1 Dipôles, quadripôles, fonction de transfert. Dipôles Les objets élémentaires des circuits électriques sont les dipôles. Il s’agit de dispositifs comportant 2 bornes (électrodes) A et B. Il existe deux grandes catégories de dipôles : les dipôles passifs, qui ne produisent pas d’énergie, et les dipôles actifs (les sources) qui apportent de l’énergie au signal : ces dipôles sont des sources (voir ci-dessous). Pour un dipôle on peut définir 2 grandeurs électriques : la différence de potentiel (tension) entre ses bornes v = vA −vB et le courant électrique i qui le traverse. Les 2 grandeurs électriques v et i sont algébriques et elles ne sont pas indépendantes. Si la tension est définie par v = vA −vB , il est en général plus simple de définir le sens conventionnel du courant de A vers B (si le courant i(t) circule effectivement dans ce sens à l’instant t, i(t) est positif). Ayant choisi cette convention (voir figure 2.7), l’écriture de la relation entre le courant et la tension dans les dipôles passifs s’en trouve simplifiée : v = Ri (et non v = −Ri) pour une résistance, v = Ldi/dt pour une self, ou V = ZI en représentation complexe (cas du régime harmonique) etc... Dans le cas particulier des sources idéales (voir ci-dessous) le courant et la tension sont des grandeurs indépendantes. 14 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES Figure 2.7 – Dipôle quelconque AB : convention de signes pour la tension et le courant. 2.4.2.2 Quadripôles Figure 2.8 – Quadripôle : défintion des grandeurs d’entrée et de sortie (convention des électroniciens : les courants rentrent dans le quadripôle) Le quadripôle est un circuit électrique comportant 4 bornes (électrodes), voir figure 2.8. Assez souvent, 2 de ses bornes sont communes de sorte que le nombre effectif d’électrodes est réduit à 3. Il est l’élément de base de l’Électronique : un amplificateur, un filtre, sont des quadripôles. Il est constitué de dipôles en nombre plus ou moins grand qui peuvent éventuellement eux-même être groupés sous forme de quadripôles. Dans un quadripôle, on regroupe les électrodes en 2 groupes de 2 que l’on appelle les bornes d’entrée et les bornes de sortie. Vis à vis de l’extérieur du quadripôle, on peut définir 4 grandeurs électriques : les courants d’entrée et de sortie et les tensions d’entrée et de sortie. Il existe plusieurs conventions pour définir ces grandeurs. Nous adoptons celle des électronicien (voir figure 2.8). On définit tout d’abord les tension d’entrée et de sortie, ve et vs . Ceci définit les bornes ”+” d’entrée et de sortie. Par convention le courant d’entrée ie est le courant qui entre par la borne ”+” d’entrée et le courant de sortie is est le courant qui entre par la borne ”+” de sortie (bien entendu, si à l’instant t le courant de sortie sort par la borne sortie, alors is (t) < 0). Nous ne développerons pas plus la théorie des quadripôles : elle fait l’objet du chapitre 4. 2.4.2.3 Fonction de transfert. Pour un quadripôle linéaire fonctionnant en régime sinusoı̈dal on définit la fonction de transfert T (ω) comme T (ω) = Vs Ve (2.18) 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 15 où Vs et Ve sont les amplitudes complexes associées aux tensions de sortie et d’entrée vs (t) et ve (t). T (ω) est donc a priori un nombre complexe dont l’argument représente le déphasage entre la sortie et l’entrée : ½ T (ω) = |T (ω)| exp(jφ) φ = φs − φe Le module de la fonction de transfert renseigne sur l’amplification en tension du quadripôle (au sens large). Plutôt que de représenter les variations de ce module en fonction de la fréquence f = 2π/ω on préfère souvent représenter le gain en décibel correspondant, construit à l’aide des logarithmes décimaux : GV dB = 20 log10 T (f ) (2.19) 2.4.2.4 Fréquence de coupure. Figure 2.9 – Représentation de Bode des fonctions de transfert. A droite : gain en décibel. L’échelle des fréquences est logarithmique. Les fréquences de coupure limitant un plateau correspondent à une variation de 3 dB du gain. Par extension, des fréquences de coupure peuvent aussi correspondre à des ruptures de pente de la courbe de gain. Dans le cas général, le gain GV dB associé à un quadripôle linéaire varie avec la fréquence. Dans certains cas ses variations se présentent sous forme d’un ou plusieurs plateaux (correspondant à des variations très faibles) et de zones à variation plus rapide. Les transitions entre ces régions définissent des fréquences de coupure. La représentation de Bode est largement utilisée pour représenter l’évolution de la fonction de transfert (module et argument) en fonction de la fréquence. L’échelle de fréquence (voir figure 2.9) est une échelle logarithmique (une succession de décades). La courbe de gain GV dB fait apparaı̂tre les fréquences de coupure. Par définition elles correspondent (voir figure 2.9) à une variation de 3 dB du gain par rapport au gain des plateaux. On note que l’échelle verticale est une échelle linéaire représentant le logarithme de |T (ω)| alors que l’échelle horizontale est une échelle logarithmique représentant la fréquence (ce qui peut entraı̂ner quelques confusions !). On note également qu’une fréquence de coupure peut marquer la fin d’un plateau (on parle dans ce cas de fréquence de coupure à −3 dB) ou par extension, une rupture de pente. Souvent, la pente des régions à variation rapide correspond à une dépendance polynomiale simple de T avec ω. C’est la cas par exemple des filtres du premier ordre où on observe des dépendances en 1/ω. Plus généralement, pour les filtres d’ordre n (second, troisième ordre etc...) les pentes sont en ω ±n . Reprenant la définition 2.19 du gain en décibel, on obtient un comportement en ±20 × n log10 f . Comme l’échelle des fréquences est logarithmique en représentation de Bode, la courbe correspondante est une droite. Pour 16 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES une décade, c’est à dire pour une fréquence passant de la valeur f à 10 × f , le terme log10 f augmente de 1 et la variation correspondante du gain est ±20 × n dB. On résume ceci sous la forme : |T (ω)| ∝ ω ±n =⇒ pente = (±20 × n) dB/décade Exemple : le gain d’un filtre passe bas du second ordre (n = −2) présente une asymptote de pente -40 dB/décade au delà de sa fréquence de coupure haute (voir chapitre 8). 2.4.3 sources idéales Les signaux électriques peuvent être créés de multiples manières : un oscillateur, une pile, via une antenne, ou pour le bruit, via le comportement des porteurs à l’échelle microscopique. Pour modéliser les dispositifs produisant des signaux électriques, on utilise la notion de source de tension ou de courant et en particulier celle de source idéale. Figure 2.10 – Source idéale de tension (diverses représentations symboliques). a) Une source idéale de tension est un dipôle qui fournit une tension e (ou E) bien définie (constante, sinusoı̈dale EM cos(ωt) etc..) indépendante du courant i qui la traverse et plus généralement indépendante du comportement du circuit dans lequel elle est impliquée. Il existe diverses représentations pour les sources idéales de tension (voir figure 2.10), suivant que la tension délivrée est constante, sinusoı̈dale, quelconque. L’important dans ces représentation est d’éviter des confusions avec les sources de courant et d’autre part de bien préciser la polarité (par une flèche ou des signes + et -). Dans les circuits électroniques on rencontre 2 types de sources idéales de tension : les sources indépendantes et les sources liées. Les sources indépendantes correspondent physiquement à des dispositifs électroniques ou non (générateurs BF, oscillateur, pile) sur lesquels il n’existe pas d’action significative du circuit dans lequel ils sont impliqués. Pour les sources liées, la situation est inverse. Ces sources ne correspondent pas à un dispositif physique bien identifié. Elles sont en fait utilisées pour modéliser le comportement de certaines parties d’un dispositif électronique, particulièrement celui des composants actifs (transistors). Ainsi, la tension e aux bornes d’une source liée dépend du courant i ou d’une tension v dans certaines parties du circuit considéré (dans la pratique e est simplement proportionnel à ce courant ou cette tension). L’utilisation de sources liées est très utile pour étudier la réponse des circuits. Toutefois, leur présence dans un circuit complique l’application des théorèmes généraux relatifs aux circuits linéaires (voir plus loin). Les dispositifs créant des tensions dans les circuits ne sont pas idéaux. Il est en général possible de modéliser leur comportement électrique à l’aide d’une source de tension idéale couplée en série avec une résistance (par exemple la résistance interne d’une pile électrique) ou plus généralement une impédance (voir figure 2.11). 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 17 Figure 2.11 – Différents schémas équivalents d’une source réelle de tension (régime continu, harmonique...). Figure 2.12 – Différentes représentations symboliques d’une source idéale de courant. Schéma équivalent pour une source réelle de courant (cas purement résistif). b) Une source idéale de courant est un dipôle qui fournit un courant i (ou I) bien défini (continu, sinusoı̈dal IM cos(ωt) etc..) quelque soit la tension à ses bornes et plus généralement indépendant du comportement du circuit dans lequel elle est impliquée. La figure 2.12 présente différentes représentations des sources de courant dans les circuits électroniques. Il existe des normes en Europe pour représenter les sources idéales. Notons toutefois qu’elles ne sont pas toujours appliquées en Europe et que d’autre part ces normes sont méconnues dans les deux plus grands pays producteurs de circuits électroniques, les Etats Unis et le Japon ! Contrairement aux sources de tension (piles, batteries de voiture, générateur BF...) il n’existe pas de sources de courant dans la vie ”courante”. La notion de source de courant est un pur produit de l’Électronique. On sait en effet réaliser de telles sources à l’aide de composants actifs (voir par exemples les sources à miroir de courant dans l’étage d’entrée différentiel des amplificateurs opérationnels, chapitre 5 ). D’autre part, et plus encore que pour les sources idéales de tension, on utilise les sources de courant pour modéliser les composants actifs. Comme pour les sources de tension, on rencontre dans les circuits électroniques des sources de courant indépendantes et des sources liées, c’est à dire dont le courant i dépend du courant ou de la tension dans certaines parties du circuit dans lequel elles sont impliquées. Enfin, pour représenter une source de courant non idéale on peut utiliser une source idéale de courant en parallèle sur une impédance. 2.4.4 Théorèmes pour les circuits Nous seront ici assez bref (ces théorèmes sont largement développés en premier cycle). Commençons tout d’abord par rappeler la loi des noeuds et des branches, valables pour un circuit quelconque. 18 2.4.4.1 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES Lois générales Figure 2.13 – Illustration de la loi d’additivité des tensions pour des dipôles en série. a) Mise en série : Une branche est un dipôle constitué par la mise en série de plusieurs dipôles. Soit une branche AB (voir figure 2.13). La différence de potentiel v = vA − vB aux bornes du dipôle est obtenu en sommant les différences de potentiel aux bornes de chacun des dipôles le constituant. Si le dipôle AB est constitué des dipôles AC, CD et DB, cette propriété, appelée loi des branches, est une évidence mathématique (elle ne fait intervenir aucune hypothèse sur les propriétés du circuit) : vA − vB = (vA − vC ) + (vC − vD ) + (vD − vB ) b) Loi des noeuds : un noeud est une portion de circuit passif ayant une résistance, self, capacité négligeable (typiquement un noeud est constitué par un bon conducteur métallique) et réalisant la jonction entre plusieurs branches. Ayant une capacité négligeable, un noeud ne peut pas accumuler de charges électriques ; les charges doivent donc s’évacuer dans les différentes branches reliées au noeud : toute les charges qui arrivent doivent repartir. En considérant l’unité de temps, on transforme ce bilan sur les charges en un bilan sur les courants : la somme des courants qui arrivent est égale à la somme des courants qui partent. Les courants étant des nombres algébriques dont on ne connaı̂t pas a priori le signe, les courants qui arrivent sont en fait les courants dont on a défini le sens conventionnel de circulation convergeant vers le noeud (un courant qui part a son sens conventionnel s’écartant du noeud) : X X loi des noeud : iarrive = ipart 2.4.4.2 Théorèmes pour les circuits linéaires a) Théorème de Millman La résolution systématique des circuits à l’aide de la loi des noeuds et des branches est rapidement fastidieuse et peu instructive. Il existe aujourd’hui des logiciels permettant de résoudre les problèmes de circuits. Il est donc recommandé d’utiliser ces logiciels (le plus connu est SPICE) dans les cas complexes. Dans les cas simples, il n’est pas très astucieux de multiplier le nombre des variables. Ainsi, on peut écrire la loi des noeuds sans faire intervenir explicitement les courants, c’est à dire en travaillant uniquement sur les tensions. Ce procédé s’appelle le Théorème de Millman. Il est illustré sur la figure 2.14 représentant une portion de circuit linéaire fonctionnant en régime harmonique. Sur cette figure, 3 branches sont reliées entre elles au noeud N . On connaı̂t les impédances Z1 , Z2 , et Z3 de ces branches (ou dipôles). Les amplitudes complexes associées aux tensions et aux courants sont reliées par les relations linéaires Vi = Zi Ii (i = 1, 2, 3), donc également : Ii = Vi /Zi = Vi Yi . Compte tenu du sens conventionnel choisi pour les courants (i1 et i3 arrivent et i2 part), la loi des noeuds s’écrit 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 19 Figure 2.14 – Illustration de la loi des noeuds pour un circuit linéaire. Théorème de Millman. i1 − i2 + i3 = 0, soit pour les amplitudes complexes, I1 − I2 + I3 = 0 et donc, en exprimant les courants à l’aide des tensions : loi des noeuds =⇒ V1 V2 V3 − + =0 Z1 Z2 Z3 (2.20) Il existe une manière plus simple et plus systématique d’écrire la loi des noeuds en N . Elle consiste à considérer le potentiel en N comme un potentiel de référence, et donc à écrire toutes les tensions sous la forme VA − VN , VB − VN etc.., de sorte que les courants correspondant convergent tous vers N : leur somme est donc nulle. On obtient : (VA − VN )Y1 + (VB − VN )Y2 + (VC − VN )Y3 = 0, soit après réarangement : VN (Y1 + Y2 + Y3 ) = Y1 VA + Y2 VB + Y3 VC (2.21) La relation 2.21 constitue le théorème de Millman. Elle se généralise facilement au cas de n branches. Elle apporte en général une grande simplification dans la résolution des problèmes de circuits dont certains noeuds possèdent plus de 2 branches. Remarque : Cette relation est difficilement utilisable dans l’hypothèse de signaux de forme quelconque (via Z(p)), sauf dans l’hypothèse de résistances pures puisque la relation i(t) = v(t)/R est valable dans tous les cas. Figure 2.15 – Dipôle linéaire AB : application du Théorème de Thévenin. 20 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES b) Théorèmes de Thévenin et de Norton. On considère toujours des circuits linéaires. On prend comme ci-dessus l’exemple du régime sinusoı̈dal (avec bien sûr comme cas particulier la fréquence nulle, donc le courant continu) pour utiliser la notion d’impédance complexe. On considère un circuit linéaire complexe comportant des éléments passifs et actifs. On isole 2 noeuds A et B et on enferme tout le reste du circuit dans une ”boite noire” (voir figure 2.15). La question est de savoir quel est le comportement de ce dipôle vu de l’extérieur. En particulier on cherche comment varie la tension VA − VB quand on branche un circuit extérieur en parallèle sur AB en fonction du courant débité i dans ce circuit. On montre que si le circuit dans la boite noire est linéaire, alors la relation cherchée est linéaire : si i = 0 (circuit ouvert), la tension est (VA − VB )O ; si le courant débité est non nul, la tension devient VA − VB = (VA − VB )O − ZT h I où ZT h est homogène à une impédance. On peut donc modéliser ce comportement vis à vis de l’extérieur à l’aide d’une seule source idéale de tension E T h = (VA − VB )O en série avec une impédance ZT h (voir figure 2.15). Ce résultat constitue la première partie Théorème de Thévenin. La question est maintenant de déterminer par le calcul les 2 éléments E T h et ZT h du schéma équivalent. La détermination de E T h ne pose pas de problème (si ce n’est des calculs compliqués) : par définition on calcule la différence de potentiel (VA − VB )O entre A et B sans modifier le circuit (les 2 bornes de la boite noire sont au départ non connectées à un circuit extérieur). La question se complique pour le calcul de ZT h quand dans la boite noire il existe des sources liées. Supposons pour l’instant qu’il n’y ait que des sources indépendantes : α) Si le dipôle AB ne possède que des sources indépendantes, pour calculer ZT h on calcule l’impédance entre A et B après avoir éteint les sources. Pour éteindre une source de tension on la court-circuite et pour éteindre une source de courant on ouvre le circuit dans la branche concernée (les nouvelles représentations européennes normalisées rappellent symboliquement ces actions). β) Si le dipôle AB possède des sources liées, il ne faut pas éteindre ces sources pour calculer ZT h . Sinon, la démarche est la même qu’en α). Figure 2.16 – Dipôle linéaire AB : application du Théorème de Norton. Remarque : considérons une boite noire (dipôle AB, voir figure 2.16) contenant une source idéale de courant IN en parallèle sur une impédance ZN (une admittance YN = 1/ZN ). Ce circuit modélise une source réelle de courant. Faisons débiter le dipôle dans un circuit extérieur. Soit I le courant débité. Si V est la différence de potentiel aux bornes du dipôle (amplitude complexe associée à vA − vB ), le courant débité par le dipôle est I = IN − YN V . Appliquons le Théorème de Thévenin. En circuit ouvert, un courant I N circule dans l’admittance YN et donc E T h = ZN I N . Le calcul de ZT h est aussi simple : la source de courant étant éteinte, il ne reste plus dans le circuit que l’admittance YN = 1/ZN et donc : ZT h = ZN = 1/YN . Pour 2.4. SIGNAUX, THÉORÈMES POUR LES CIRCUITS LINÉAIRES. 21 les dipôles complexes linéaires on peut donc très simplement passer d’une représentation de type source de tension réelle à une représentation de type source de courant réelle, constituée d’une source idéale de courant I N en parallèle sur une admittance Y N . Cette formulation du Théorème de Thévenin porte le nom de Théorème de Norton. D’après ce qui précède, l’énoncé de ce théorème est le suivant : - On peut remplacer un circuit linéaire complexe par une source idéale de courant I N en parallèle sur un admittance YN . - l’admittance Y N se calcule comme dans le Théorème de Thévenin : YN = 1/ZT h . - le courant I N dans la source idéale est égal au courant qui circulerait si on établissait un court circuit à l’extérieur du dipôle, entre A et B. En effet, en représentation Thévenin, ce courant de court circuit est égal à E T h /Zth qui est égal à IN d’après ce qui précède. c) Théorème de superposition pour les circuits linéaires. Dans les circuits électroniques, on a affaire dans le cas général à un mélange de composants linéaires (résistances, condensateurs) et non linéaires (diodes, transistors). Considérons tout d’abord le cas des circuits purement linéaires dans lesquels agissent un certain nombre de sources indépendantes Sk . La résolution du circuit consiste à déterminer les différents courants in et tensions vn dans les différentes branches (indicées par n) du circuit, en fonction des sources excitatrices Sk (sources idéales de tension et sources idéales de courant). En raison de la linéarité des équations associées aux circuits linéaires, les courants et tensions dans les branches sont la somme des tensions vnk et courants ink provoqués par chacune des sources Sk , les autres étant éteintes : ½ P Sk → vnk =⇒ vn = P k vnk Sk → ink =⇒ in = k ink Ce résultat est général, quelque soit la forme des signaux produits par les sources. Si on prend le cas particulier d’une résistance R, si la source S1 seule produit une tension v1 et donc un courant i1 = v1 /R et la source S2 seule une tension v2 et un courant i2 = v2 /R, les deux sources agissant ensemble produisent une tension v1 + v2 et un courant i1 + i2 = (v1 + v2 )/R. Considérons maintenant le cas des composants non linéaires comme les transistors ou les diodes. Le principe de superposition ne s’applique plus. Considérons cependant un composant non linéaire soumis à l’action de deux sources, So et S. La première, So = E est une source de tension continue. Elle permet quand elle fonctionne seule d’imposer au composant un certain point de fonctionnement (ou de repos). Dans les branches indicées par n les courants et tensions sont Von et Ion . La seconde source est une source S(t) dont l’action sur le composant est de faible amplitude par rapport à celle correspondant à So . Au lieu d’éteindre So pour déterminer l’action de S seule, on conserve au contraire So allumée et on lui superpose l’action de S, ce qui a pour effet de faire fluctuer les courants in et les tensions vn autour de Ion et Von . Si ces fluctuations sont faibles, il est possible de linéariser le comportement du composant non linéaire autour du point de repos. Cette démarche est analogue à celle qui consiste à développer au 0 premier ordre une fonction non linéaire f (x) au voisinage de xo : f (x) ' f (xo ) + (x − xo )f (xo ). Les tensions et courants en présence des deux sources prennent la forme Von + vn et Ion + in , expressions dans lesquelles la somme ne correspond pas à une propriété linéaire. Par contre, si on modifie l’amplitude des signaux fournis par S, les fluctuations vn et in suivent linéairement ces modifications. Nous reviendrons sur cette importante question dans les chapitres 3 et 5. 22 CHAPITRE 2. CIRCUITS ÉLECTRIQUES