Emettre des ondes électromagnétiques

9. Émettre des ondes électromagnétiques
Le dipôle oscillant est la source d’ondes électromagnétiques la plus simple. Son étude
détaillée nous permettra d’aborder les caractéristiques essentielles des antennes.
Lors d’une première lecture de ce cours, il sera possible de se limiter à la première
section consacrée au dipole oscillant. La seconde section reprend les différents concepts
introduits pour les replacer dans un cadre plus général.
9.1. Le dipôle oscillant
9.1.1. rappels sur le dipôle électrostatique
Le moment dipôlaire électrique p~ d’un système de charges électriques dont la charge
totale est nulle est :
– pour une distribution discrète :
X
Q =
qi = 0
(9.1)
X
p~ =
qi~ri
(9.2)
– pour une distribution continue
Q =
y
ρ (~r1 ) d3~r1 = 0
(9.3)
ρ (~r1 ) ~r1 d3~r1
(9.4)
V
p~ =
y
V
On peut modéliser tout dipôle par deux charges : une charge négative -q placée à
l’origine et un charge q positive au point ~a avec p~ = q~a .
Le potentiel électrostatique créé par un dipôle p~ placé à l’origine est :
V (~r) =
1 p~ · ~ur
.
4πε0 r2
(9.5)
Le champ électrique créé par un dipôle électrostatique est :
~ (~r) =
E
=
3 ~ur (~
p · ~ur ) − p~
4πε0 r3
2p cos θ
p sin θ
~ur +
~ur
3
4πε0 r
4πε0 r3
(9.6)
(9.7)
.
87
88
9. Émettre des ondes électromagnétiques
9.1.2. Champ créé par un dipôle oscillant
le dipôle oscillant
Considérons un dipôle dont l’amplitude évolue de manière sinusoïdale :
p~ = p~0 cos ωt
(9.8)
p~ = p~0 e−iωt
(9.9)
Le mouvement de charge associé à cette évolution temporelle est à l’origine de courants
électriques qui vérifient l’équation suivante :
y
X
d~
p
~j ~r0 d3~r0 =
qi~vi =
(9.10)
dt
V
V
le champ rayonné par la méthode des potentiels retardés
Il n’est pas possible de déterminer le champ électromagnétique rayonné par un dipôle
oscillant en adaptant la méthode utilisée dans le cas d’un dipôle électrostatique. Pour
diverses raisons (simplicité des calculs et problèmes techniques de choix de jauge) le
chemin utilisé pour calculer le champ rayonné par un dipôle oscillant est le suivant :
~
1. Déterminer le potentiel vecteur retardé A
~ de l’expression du potentiel vecteur A
~
2. Déduire le champ magnétique B
~ à partir du champ magnétique B
~ en utilisant l’équa3. Calculer le champ électrique E
tion de Maxwell-Faraday.
Ainsi, alors que le potentiel V jouait un rôle central pour le champ du dipôle statique,
il est ici inutile. Il sera donc vain d’essayer de déterminer le champ créé par un dipôle
oscillant à partir de ce que l’on sait d’un dipôle statique.
~ (~r, t)
le potentiel vecteur retardé L’expression générale du potentiel vecteur retardé A
au point ~r est :
~j ~r1 , t − |~r1 −~r|
y
c
~ (~r, t) = µ0
d3~r1
(9.11)
A
4π
|~r1 − ~r|
V
Question : expliciter ce
que "assez petit" signifie
sur les grandeurs physiques de ce problème.
Pour une distribution de charge localisée autour de l’origine et dont la taille est assez
petite, cette expression devient :
y ~ (~r, t) = µ0
~j ~r1 , t − r d3~r1
A
(9.12)
4πr
c
V
~ est donc directement proportionnel à la dérivée temporelle du
Le potentiel vecteur A
moment dipôlaire p~ pris à l’instant retardé t − r/c :
r
d~
p
t
−
µ
1
0
c
~ (~r, t) =
,
(9.13)
A
4π r
dt
r
µ0 e−iω(t− c )
µ0 ei(kr−ωt)
~
A (~r, t) = −iω p0
= −iω p0
.
(9.14)
4π
r
4π
r
J-M Courty
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9.1. Le dipôle oscillant
89
Le champ magnétique Commençons par faire le calcul exact de manière brutale :
→ eikr
~ (~r, t) = −i µ0 ω e−iωt −
rot
B
4π
r
µ0 ω −iωt −−→ eikr
= −i
× p~0
e
grad
4π
r
µ0 ω −iωt ikr −−→ 1 1 −−→ ikr
= −i
e grad + grade
× p~0
e
4π
r r
~ur
µ0 ω −iωt
1
−eikr 2 + ikeikr ~ur × p~0
= −i
e
4π
r
r
i(kr−ωt)
1
µ0 ωk e
1−
~ur × p~0
=
4π
r
ikr
(9.15)
(9.16)
(9.17)
(9.18)
(9.19)
A grande distance (c’est à dire r λ), le terme dominant décroît comme
1
r
2 i(kr−ωt)
~ = µ0 ck e
B
~ur × p~0 .
(9.20)
4π
r
Nous pouvons dès à présent remarquer les points suivants :
– Ce terme dominant provient de la dérivée de la phase du potentiel vecteur.
– Le champ magnétique à grande distance est perpendiculaire à la droite joignant le
dipôle et le point d’observation (de vecteur directeur ~ur .
– Lorsque l’on se déplace sur cette droite ( r croissant, angles sphériques (θ, φ) constants)
l’amplitude du champ évolue comme une onde sphérique : décroissance en 1r et facteur de phase (kr − ωt) correspondant à une propagation à la célérité c vers les r
croissants.
Le champ électrique Il se déduit de l’expression du champ magnétique gràce à l’équation de Maxwell-Faraday :
→
~ (~r, t) = − 1 −
E
rot (B (~r, t))
(9.21)
−iω
(~ur × p~0 ) × ~ur
1
ik
ei(kr−ωt)
=
k2
+ [3~ur (~ur · p~0 ) − p~0 ] 3 − 2
.(9.22)
4πε0
r
r
r
A grande distance, le terme dominant décroit comme pour le champ magnétique en
~
il provient de la dérivée spatiale du terme de phase de B.
1
r
2
i(kr−ωt)
~ = k e
E
(~ur × p~0 ) × ~ur .
(9.23)
4πε0
r
A courte distance (c’est à dire r λ) terme dominant est celui d’un dipôle électrostatique
~ = [3~ur (~ur · p~0 ) − p~0 ] ei(kr−ωt) .
E
(9.24)
4πε0
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA
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Pour
s’entrainer
à
manipuler les opérateurs vectoriels
les
plus courageux pourront
essayer de faire le calcul.
90
9. Émettre des ondes électromagnétiques
En résumé : Pour un dipôle aligné selon l’axe Oz les composantes non nulles du champ
électrique et du champ magnétique sont :
µ0 −iω ω 2
−
sin θei(kr−ωt) ,
(9.25)
Bϕ =
4π r2
rc
1
2
2iω
Er =
− 2 cos θei(kr−ωt) ,
(9.26)
4πε0 r3
r c
1
iω
1
ω2
−
sin θei(kr−ωt) .
(9.27)
Eθ =
−
4πε0 r3 r2 c rc2
A courte distance, c’est à dire à des distances courtes devant la longueur d’onde de la
lumière , (r λ ) le terme dominant est en r−3 . cela correspond au champ électrique
créé par un dipôle electrostatique :
1 2 cos θ
p (t) ,
4πε0 r3
1 sin θ
p (t) .
4πε0 r3
Er = −
(9.28)
Eθ =
(9.29)
A grande distance, c’est à dire pour r λ, le terme dominant est en r−1 , pour le champ
électrique selon ~uθ et pour le champ magnétique selon ~uϕ :
µ0 c k 2
p0 sin θei(kr−ωt) ,
4π r
1 k2
= −
p0 sin θei(kr−ωt) .
4πε0 r
Bϕ = −
(9.30)
Eθ
(9.31)
Interprétation physique du champ à grande distance
Tous les facteurs intervenant dans l’expression du champ électrique rayonné par un
dipôle oscillant ont une interprétation physique qu’il est essentiel d’avoir compris. Considérons le cas d’un dipôle d’ampliude p0 aligné selon l’axe Oz.
Er = 0, Br = 0 A grande distance, l’onde a la structure d’une onde plane progressive qui
se propage selon ~ur . Le champ électrique tout comme le champ magnétique sont
orthogonaux à la direction de propagation, donc à ~ur .
Eϕ = 0 , Bθ = 0 : Le problème est symétrique par rapport à tout plan contenant la
droite Oz. Par conséquent, en un point de l’espace, le champ électrique est contenu
dans le plan contenant Oz et ce point et donc sa composante Eϕ selon le vecteur ~uϕ
perpendiculaire à ce plan est nulle. Pour les mêmes raisons, le champ magnétique
qui est un vecteur axial est perpendiculaire au plan considéré et donc le champ
magnétique est aligné selon ~uϕ
Décroissance de l’amplitude : |E| ∝ r−1 : Lorsque le dipôle est seul dans l’espace, l’énergie qu’il rayonne est conservée, par conséquent le flux du vecteur de Poynting à
travers toute sphère qui contient l’origine est le même. Comme la surface de cette
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9.1. Le dipôle oscillant
91
sphère est 4πr2 , le vecteur de Poynting est proportionnel à r−2 . Ce vecteur est
proportionnel au carré du champ électrique, celui ci décroit donc en r−1 lorsque
l’on s’éloigne de l’origine.
Amplitude proportionelle à celle du dipôle E ∝ p0 exp(−iωt) : Les équations de Maxwell sont linéaires, par conséquent, le champ rayonné est proportionnel à l’amplitude du dipôle.
Phase égale à (kr − ωt) Le champ se propage à partir de l’origine à la vitesse de la lumière, le champ rayonné est donc proportionnel à exp [−iω (t − r/c)] = exp [i (kr − ωt)]
Dépendance angulaire E ∝ sin θ Notons f (θ) la dépendance angulaire de l’amplitude
rayonnée
en prenant pour référence l’amplitude émise dans la direction équatoriale :
π
f 2 . Pour les raisons de symétries évoquées plus haut, le champ électrique est
nul lorsque l’on se place sur l’axe Oz donc f (0) = 0. Si l’on se place en un point
donné, on peut décomposer le dipôle (qui est un vecteur) comme somme de deux
dipôles
p0 ~uz = p0 cos θ~ur − p0 sin θ~uθ
le premier p0 cos θ~ur est parallèle au rayon vecteur, il ne rayonne donc pas, tandisque le second p0 sin θ est perpendiculaire à la direction d’observation
et rayonne
donc dans cette direction avec une ampllitude relative f π2 .
Facteur
k2
4πε0
nous sommes arrivés à l’expression suivante :
−iω (t− rc )
e
E~ ∼ p0 sin θ
r
~uθ
(9.32)
La dimension de cette expression est celle d’une charge électrique. Pour avoir la
1
bonne dimension il faut multiplier par un terme proportionnel au produit de 4πε
0
et du carré de l’inverse d’une longueur. Comme nous avons déjà déterminé la dépendance en r par les considérations d’énergie et de propagation il faut trouver une
autre longueur dans ce probleme. La seule qui soit disponible est la longueur d’onde
et donc, la quantité proportionelle à l’inverse d’un longueur que nous pouvons utik2
liser est le nombre d’onde k, le facteur qui manque est donc 4πε
multiplié par un
0
éventuel facteur numérique. La comparaison avec l’expression exacte montre que
le facteur numérique est seulement -1
Ainsi nous venons de retrouver l’expression du champ électrique rayonné :
1 k2
E~ = −
p0 sin θei(kr−ωt) ~uθ
4πε0 r
Par consequent, s’il peut sembler difficile d’apprendre la formule du champ électrique
rayonné par un dipôle, les arguments que nous venons de développer rendent impossible
de ne pas s’en souvenir.
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA
J-M Courty
92
9. Émettre des ondes électromagnétiques
9.1.3. Puissance rayonnée
En revenant à la notation réelle, le vecteur de Poynting instantané est
2
~
~
ω4
2 cos (kr − ωt)
~ = E×B =
p
~ur .
Π
µ0
16π 2 ε0 c3 0
r2
(9.33)
Soit si l’on moyenne sur une periode
D E
~ =
Π
ω4
~ur
p2 sin2 θ 2
32π 2 ε0 c3 0
r
(9.34)
Plutot que regarder le flux du vecteur de Poynting à travers une surface, on peut regarder
le flux par unité d’angle solide :
dP
ω4
=
p2 sin2 θ
dΩ
32π 2 ε0 c3 0
(9.35)
L’émission n’est pas isotrope : la puissance rayonnée est nulle sur l’axe du dipôle
et maximale perpendiculairement. On décrit cette repartition par un diagramme de
rayonnement (en puissance) :
r (θ) = sin2 θ
(9.36)
Pour déterminer la puissance totale P rayonnée par le dipôle il faut intégrer le vecteur
de Poynting sur toute la sphère :
P
π
2π
ω4
sin θdϕ
p2 sin2 θ
2 ε c3 0
32π
0
0
0
Z π
ω4
2
p · 2π ·
dθ sin3 θ
32π 2 ε0 c3 0
0
Z
=
Z
dθ
=
(9.37)
(9.38)
Calcul de l’intégrale
Z
π
Z 1
dθ sin θ 1 − cos2 θ =
d (cos θ) 1 − cos2 θ
0
−1
Z 1
1
4
=
du 1 − u2 = 2 1 −
=
3
3
−1
dθ sin3 θ =
0
Z
π
=
=
π
Z
dθ
sin θdϕ
P =
J-M Courty
(9.40)
2π
ω4
p2 sin2 θ
2 ε c3 0
32π
0
0
0
ω4
4
p2 · 2π ·
32π 2 ε0 c3 0
3
Z
P
(9.39)
ω4
p2
12πε0 c3 0
(9.41)
(9.42)
(9.43)
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