A. Introduction B. Rappel C. Exercices
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A. Introduction B. Rappel C. Exercices
201-NYB-05 — Calcul intégral A. Introduction 1. Une équation différentielle est une équation comportant (au moins) une dérivée. 2. L’ordre d’une équation différentielle est celui de la dérivée d’ordre le plus élevé qui y figure. Ainsi, y ′′ − y ′ = 0 est une équation différentielle d’ordre 2. Nous nous limiterons aux équations différentielles d’ordre 1. 3. Résoudre une équation différentielle, c’est chercher la ou les fonctions qui la satisfont. 4. La solution d’une équation différentielle est générale si aucune des constantes d’intégration n’est déterminée; une solution est particulière si toutes les constantes d’intégration ont été déterminées (généralement à partir de conditions initiales). Ainsi y = 7 e−2x est une solution particulière, alors que y = A e−2x est la solution générale, de l’équation différentielle y ′ = −2y. 5. Une équation différentielle d’ordre 1 est dite à variables séparables si elle peut être ramenée à la forme M (x) dx = N (y) dy. 6. Pour résoudre une équation différentielle à variables séparables, on intègre chaque membre de l’équation par rapport à sa variable séparée. B. Rappel Si l’équation différentielle n’est pas donnée, il faut l’établir à partir des informations qui nous sont données. Pour ce faire, il est important de se rappeler que lorsqu’on dit que A est proportionnel à B, cela s’écrit A = kB, et que lorsqu’on dit que A est ink , où versement proportionnel à B, cela s’écrit A = B k est constant. De plus, si on nous dit que A est proportionnel à B et à C, cela s’écrit A = kBC. C. Exercices 1. Résoudre dx dt √ = 4 x avec x(9) = 1. 2. Résoudre dy dx = − xy avec y(3) = −4. 3. Intégrez dp dt + 2p = 8 si p(0) = 1. 4. Résoudre dx dy = 5. Résoudre dy dx = e2x−y . 1 xy . 6. Résoudre (1 + ex )ydy − ex dx = 0 7. Écrivez chacun des énoncés suivants sous la forme d’une équation différentielle. Hiver 2009 Équations différentielles (a) Le taux de variation de l’aire A d’un cercle par rapport à son rayon r est proportionnel au rayon du cercle. (b) Le taux de variation d’une population P , par rapport au temps, est proportionnel à l’écart entre cette population et un nombre limite L d’individus que le milieu peut supporter. (c) Au temps t, le taux de croissance d’une population de bactéries est proportionnel au nombre N de bactéries à l’instant t et à la différence entre le nombre limite L de bactéries que le milieu peut supporter et le nombre de bactéries à l’instant t. (d) On administre un médicament par voie intraveineuse à raison de 3 mg/h et ce médicament s’élimine naturellement du corps à un taux proportionnel à la quantité présente. (e) Le taux de propagation, dans une forêt, d’un champignon microscopique qui s’attaque à une certaine variété d’arbres est proportionnel à la racine carrée du nombre N d’arbres déjà atteints et inversement proportionnel au temps écoulé depuis le début de l’infestation. 8. Le radium se décompose en quantité proportionnelle à la quantité non encore décomposée. Si la moitié de la quantité initiale disparaît en 1600 ans, alors exprimez la quantité restante au temps t années. 9. Le taux de refroidissement d’un corps dans l’air est proportionnel à la différence entre la température du corps et celle du milieu dans lequel il se trouve. La température de l’air étant de 20◦ C, un corps se refroidit de 100◦C à 60◦ C en 20 minutes. Exprimez la température du corps en fonction du temps. 10. Un marin se trouve sur un bateau, leur masse totale étant 200 kg. Si la force de propulsion est de 60 newtons et si la résistance du milieu en newton est le double de la vitesse en m/s, trouvez la vitesse t secondes après le démarrage. 11. Un bateau se déplace sur l’eau à 15 m/s. La résistance du milieu agissant sur l’embarcation est proportionnelle au carré de la vitesse. Définir la vitesse du bateau en fonction du temps t secondes après que l’on ait coupé le moteur. 12. En chimie, l’ordre d’une réaction est défini par l’équation différentielle qui décrit la vitesse de 1 de 2 201-NYB-05 — Calcul intégral Équations différentielles réaction. L’ordre étant la puissance de la concentration du réactif dans l’équation. Déterminez le temps de demie réaction d’une réaction d’ordre deux. chimique de second ordre]. La constante de proportionnalité est 1/20. La quantité initiale de γ est nulle. Exprimez la quantité de γ en fonction du temps. 13. Un réservoir contient initialement 100 litres de liquide dans lequel sont dissous 60 grammes de sel. De l’eau pure coule dans le réservoir à raison de 2 litres par minute, et la solution, maintenue uniforme par brassage, s’écoule en quantité égale. Exprimez la quantité de sel restante dans le réservoir au temps t minutes. (a) S’il y a initialement 40 g de α et 60 g de β. 14. Un réservoir contient initialement 100 litres de liquide dans lequel sont dissous 20 kg de sel. On y verse 3 litres par minute d’une solution de concentration en sel de 1/10 kg par litre. Le mélange est maintenu uniforme par brassage. On retire 3 litres par minute du réservoir, de sorte que le volume reste constant. Trouvez la masse de sel dans le réservoir au temps t. 15. Lorsqu’une source de tension constante de E volts, une résistance de R ohms et une bobine de L henrys sont montées en série, alors le courant I du circuit, t secondes après la fermeture du circuit, obéit à l’équation différentielle (b) S’il y a initialement 50 g de α et 50 g de β. D. 2. x2 + y 2 = 25 3. p(t) = 4 − 3e−2t 4. y = A exp x2 /2 5. y = log (A + e2x /2) 6. y 2 = 2 log (1 + ex ) + C 16. La plupart des produits pharmaceutiques, comme la pénicilline, s’éliminent du sang à une vitesse proportionnelle à la quantité restante y dans le sang. 8. =k dQ dt = k(L − P ) = kN (L − N ) = 3 − kQ √ N t = −kQ ; Q(t) = Qo (1/2)t/1600 dT dt = −k(T − 20) ; T (t) = 20 + 80e− ln (2)t/20 −t/100 m/s 10. 200 dv dt = 60 − 2v ; v(t) = 30 1 − e 9. 2 11. m dv dt = −v ; v(t) = (b) Si le produit est injecté à raison de I mg/min, exprimez y en fonction du temps, si y(0) = 0. 14. Hiver 2009 dN dt (c) 12. 17. Une substance γ est formée par la combinaison de deux autres, α et β, de façon que 2 g de α et 3 g de β forment 5 g de γ. Le taux de formation de γ est proportionnel au produit des quantités de α et de β non encore transformées [réaction (e) (b) (a) Montrez que y(t) = y0 e−kt pour une constante k > 0 si y0 est la quantité initialement injectée. (c) Si la demi-vie du produit est deux heures, quel est le taux d’injection qui maintiendra à long terme la présence de 100 mg dans le sang ? = kr (d) dA dr dP dt dN dt dQ dt 7. (a) dI + RI = E L dt Définissez I en fonction de t sachant que I(0) = 0 ampère. Réponses √ 1. x = 2t + 1 d[α] dt 2 = −k [α] , [α] = 13. dm = −dt · 2 · dm dt 1 = 3( 10 − m 100 15 1+15kt/m m/s [α]0 1+k[α]0 t , t1/2 = 1 k[α]0 ; m(t) = 60 e−t/50 g m 100 ) ; m(t) = 10 + 10e−3t/100 kg −Rt/L 15. I(t) = E ampères R 1−e 16. (b) y(t) = kI 1 − e−kt (c) 5/6 log (2) mg/min 17. (a) z(t) = 120t 1+1,2t 0,5t e −1 (b) z(t) = 250 3e 0,5t −2 2 de 2