04-07-2013-annexe Lapeyre

Commissariat général
à la stratégie
et à la prospective
Département
Développement durable
RAPPORTS
Juillet 2013
& DOCUMENTS
Effet de l’aléa sur la date optimale
d’engagement d’un projet
Contribution
Bernard Lapeyre
Tome 2
Rapport
« L’évaluation socio-économique en période de transition »
Groupe de travail
présidé par Émile Quinet
Sommaire
1
Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet ......................................... 5
1.1 Le cas déterministe ..................................................................................................................... 5
1.2 Le modèle aléatoire..................................................................................................................... 6
2
Résultats, interprétation ........................................................................................................... 8
Juillet 2013
3
1
1.1
Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un
projet
Le cas déterministe
Pour mémoire nous traitons le cas déterministe qui est bien connu.
Le modèle déterministe. On note par Xt le gain financier du au trafic à la date t si un
équipement existe, par PIBt le PIB à la date t et par β le coefficient décrivant la relation
supposée linéaire entre le trafic et le PIB. Le système est alors décrit par :
d log(Xt) = µx.dt + β. d log(PIBt)
d log(PIBt) = µPIB . dt
ce qui donne
d log(Xt) = µ.dt
avec µ = µx + β.µPIB. On a évidemment Xt = X0 exp (µt).
La VAN. Si le projet est exécuté en T, la V AN est donnée dans ce cas par :
où j le taux d’actualisation des avantages supposé égal au taux d’actualisation du
coût du projet
et C représente le coût du projet.
Optimisation de la VAN. On veut alors optimiser la VAN en fonction de T. Pour cela
notons que :
Un calcul simple montre que, si µ ≥ j, V (T) = +∞ et si µ < j
Il reste alors à optimiser cette fonction en T. Il est facile de vérifier que l’optimum est
obtenu à l’instant T où l’on a X0.eµT = j.C, si j.C > X0, et en T = 0 sinon.
Ce que l’on exprimera, si l’on note
donné par :
!"# $ 0,
∗
= j.C, en disant que le temps optimal τopt est
$
∗'
(1)
Le cas j ≠ j’.
j’ On suppose maintenant que le critère que l’on cherche à optimiser est
modifié de la façon suivante :
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(
5
- Effet
Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet -
On peut réécrire le critère en posant δ = j - j′ sous la forme
)
µt
Lorsque Xt = X0e , on a
)
(
Le calcul d’optimisation en T montre que le temps optimal est donné par
!"# $ 0,
où
*
∗
)
avec
$
)
∗
'
′
La règle optimale est formellement identique au cas j′ = j, mais il faut remplacer le prix
C par un prix convenablement actualisé Ct et j par j′.
1.2
Le modèle aléatoire
Le modèle aléatoire le plus simple à la particularité de rester complétement soluble et
de conduire à un temps optimal (aléatoire dans ce dernier cas bien sûr) dont la forme
est proche de l’équation (1). C’est ce que nous allons maintenant expliquer.
Description du modèle aléatoire. On suppose que X est la solution de
,-.
/ 0 1
− où Wt est un mouvement brownien (c’est à dire le modèle le plus simple (gaussien)
permettant de décrire un aléa variant au cours du temps).
− σ qualifie la taille de l’aléa. σ = prend le nom de volatilité dans le cas des modèles
financiers.
− pour des raisons techniques, le paramètre économique pertinent de dérive est
plutôt µ′ = µ + σ²/2 que µ, car
dXt = Xt (µ′dt + σdWt).
L’espérance
L’espérance de la VAN.
VAN On choisit comme critère à optimiser l’espérance de la VAN.
C’est un choix qui suppose que l’on est neutre au risque.
La simplicité du modèle permet de calculer cette espérance de façon explicite :
23
4
25
6
2
Comme Xt est une variable aléatoire gaussienne E(Xt) se calcule sans difficulté, et
l’espérance de la VAN s’en déduit facilement, si l’on suppose que l’on part de x en T,
la VAN prend alors la forme V(T,x) donnée par :
,
6
0 7 /2
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- Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet -
Le caractère markovien de X permet alors de montrer que
23
23
4
,
:
4.
Ce qui simplifie notablement le problème d’optimisation qui va suivre.
Le problème d’optimisation.
d’optimisation Il nous faut alors trouver , un temps d’arrêt (nous ne
prenons des décisions qu’en fonction du passé) qui maximise
23
4
23
,
:
=
2<
4
:
0 7 /2
>?
Ce problème est un problème classique d’arrêt optimal (qui ressemble beaucoup à
celui que l’on traite pour calculer une option perpétuelle américaine de type “put” ou
“call”). Il est bien connu que :
− l’on sait résoudre ce type de problème théoriquement pour une grande variété de
modèles ;
− l’on sait le résoudre numériquement (plus ou moins efficacement) pour des
modèles markoviens généraux ;
− l’on sait le résoudre explicitement que pour très peu de modèles. C’est le cas ici,
ce qui simplifie grandement le traitement.
L’´étude de ce type de problèmes remonte (au moins) à McKean [4], voir le chapitre 3
de [3] pour une introduction dans le cas du put américain ou [1, 2, 5] pour des ´études
détaillées.
Résultat de l’optimisation. Nous ne développons pas en détail la façon dont ce
problème d’optimisation se traite en détail, nous nous contentons de décrire le
résultat. τopt se calcule de la façon suivante :
!"# $ 0,
Où
∗
0
@
@
7
$
7
∗
0 '
/ 2 07
/ 2 07
(2)
0 7 /2
07
On peut vérifier que x*(σ) > x0* : l’aléa “retarde” le moment de la décision.
Un développement limité de la formule définissant x*(σ) montre que x*(σ) tend vers x0*
lorsque σ tend vers 0.
Il faut par ailleurs noter la ressemblance formelle entre la solution déterministe donnée
par l’équation 1 et la solution aléatoire donnée par l’équation 2. Seule change la valeur
de x*(σ). Il faut toutefois bien noter que τopt dépend bien du hasard.
Le cas où j ≠ j′.. Dans le cas aléatoire et lorsque j ≠j′, le critère à optimiser doit être
modifié de la façon suivante (seul le coût des travaux change) :
23
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4
2<
:
=
:
0 7 /2
):
>?
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- Effet
Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet -
avec δ = j - j′. Ce que l’on peut réécrire :
23
4
2<
(:
A:
5
6?
0 7 /2
)
)
BCD A
. On peut alors remarquer que A
.
a la
où l’on a posé A
même dynamique que Xt en remplaçant µ par µ′ = µ-δ. Comme par ailleurs, j – µ - σ²/2
= j′ – µ’ - σ²/2, le nouveau critère peut s’écrire :
23
4
2<
(:
5
′
A:
′
0 7 /2
6?
Pour traiter le cas où j ≠ j′ on voit donc qu’il suffit d’utiliser les formules du cas
classique en substituant j′ = j - δ à j et µ′ = µ - δ à µ.
Il faut cependant noter que le temps d’exercice optimal s’écrit naturellement en
fonction de E sous la forme :
̃
!"# $ 0, E $ A∗ '
Mais on peut le réécrire en fonction de X comme :
̃
!"G $ 0, $
2
)
A∗
H
Résultats, interprétation
La frontière exprimée en temps (année). Le temps optimal τopt est un temps aléatoire
dont il n’est pas complétement évident de calculer l’espérance. Nous proposons un
indicateur (exprimée en année) permettant de donner une idée du décalage entre τopt
et le temps optimal déterministe.
Nous proposons de définir cet indicateur par la formule suivante :
∗
∗
1
0
1
0
log 5
,-. 5
6
6
qui permet d’exprimer par une valeur homogène à un temps la différence entre
et ∗ 0 .
∗
0
La frontière exprimée en temps (année). Nous exprimons cette valeur dans
deux cas typiques, dans les graphiques suivants où figure en abscisse la taille de
l’aléa et en ordonnée le décalage exprimé en années. 8
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- Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet -
– µ = 0,02, j = 0,04
– µ = 0,01, j = 0,04
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- Effet
Effet de l’aléa sur la date optimale d’engagement d’un projet -
Références
[1] A. Bensoussan, On the theory of option pricing, Acta Applicandae Mathematicae,
2, 1984, p. 139-158.
[2] I. Karatzas, On the pricing of American options, Appl. Math. Optimization, 17, 1988,
p. 37–60.
[3] D. Lamberton, B. Lapeyre, An Introduction to Stochastic Calculus Applied to
Finance, Chapman and Hall, Second Edition, Chapman and Hall, 2007.
[4] H.P. McKean, A Free Boundary Problem for the Heat Equation Arising from a
Problem of Mathematical Economics, Indust. Management Rev., 6, 32-39, 1965.
[5] P. van Moerbeke, On optimal stopping and free boundary problems, Arch. Rational
Mech. and Analysis, 60, 1976, p.101-148.
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