Télécharger la version PDF

MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.1, 2013, www.madarevues.gov.mg
Capacité d’un système MIMO via un canal à évanouissement
Andriamanalina A.N.1, Randriamitantsoa A.A.2 , Rakotondraina T.E.3
Laboratoire de Télécommunication, d’Automatique, de Signal et d’Image (TASI)
Département Télécommunication – Ecole Supérieure Polytechnique Antananarivo
Université d’Antananarivo
1
BP 1500, Ankatso – Antananarivo 101 - Madagascar
[email protected], 2 [email protected], 3 [email protected]
Mots-clés : Canal, diversité, MIMO, SNR.
Résumé
Dans une chaîne de transmission numérique de
Abstract
l’information, on remarque que le maillon faible
se trouve au niveau du canal de transmission. En
In a digital transmission chain information, we
effet, la présence du bruit qui perturbe le canal
note that the weak link is in the transmission
altère l’information qui y transite. Pour y
channel. Indeed, the presence of noise that
remédier, on rencontre la diversité qui consiste à
disrupts the channel alters the information it
éparpiller l’information dans le message ou bien
passes. To remedy this, we find that diversity is
de le transmettre et ou recevoir par différents
scatter the information in the message or to
canaux.
diversité
transmit or receive, and through various channels.
fréquentielle, temporelle, spatiale et la diversité de
We then met the frequency diversity, temporal,
polarisation. Concernant la diversité spatiale, elle
spatial and polarization diversity.
permet de considérer plusieurs catégories de canal
Regarding the spatial diversity, it allows to
radio à savoir les systèmes SIMO, MISO, SISO et
consider several categories radio channel namely
MIMO. Pour un canal SIMO ou Single Input
SIMO systems, MISO, SISO and MIMO. For a
Multiple Output, on a un système où, l’émetteur
SIMO channel or Single Input Multiple Output,
est composé d’une seule antenne tandis que le
we have a system where the transmitter is
récepteur est composé de plusieurs antennes. Pour
composed of a single antenna while the receiver is
un canal MISO ou Multiple Input Single Output
composed of several antennas. For MISO or
est un système où, l’émetteur est composé de
Multiple Input Single Output is a system where
plusieurs antennes tandis que le récepteur est
the transmitter is composed of several antennas
composé seule antenne. L’utilisation de la
channel while the receiver is composed single
diversité spatiale à la fois à l’émission et la
antenna. The use of spatial diversity at both the
réception est nommée système MIMO (Multiple-
transmitting and receiving system is called MIMO
Input Multiple-Output).
(Multiple-Input Multiple-Output).
On
rencontre
alors
la
102
MADA-ETI,, ISSN 2220-06673, Vol.1, 2013, www.madareevues.gov.mg
Concernant,
C
la matricee
du can
nal MIMO, elle
esst définie paar [1] :
Key
ywords : Chhannel, diveersity, MIM
MO, SNR.
…
1. In
ntroduction
n
=
⋮
⋮
L’uttilisation d’antennes multiples
m
dan
ns un systèm
me
de communicat
c
tion remontte à quelqu
ues décenniees.
=
Où,
O
⋮
⋮
⋱
…
tel que
1
(02)
; 1
Les débuts dee cette tecchnologie se sont toout
d’ab
bord implaantés aux stations de
d bases qqui
lee li-ème anten
nne émettriice vers lee ki-ème anteenne
utiliisent plusieeurs antennnes pour se
s relier auux
utiliisateurs
afin
de
lutter
contre
reprrésente le ggain compleexe du lien entre
e
rééceptrice et
e où,
lles
et
représenntent
reespectivemeent l’amplittude de l’éévanouissem
ment
évan
nouissemennts du cannal de prop
pagation. A
Au
du
u canal et laa phase du ccoefficient complexe.
c
niveeau du term
minal, elle a permis de
d transmetttre
3.. Capacité d’un
d
canall MIMO
simu
ultanément des donnnées différrentes. Cettte
tech
hnique favoorisant une augmentattion du débbit
Par définitio
on, la capaccité d’un caanal est définie
s’esst ensuite rrépandues donnant
d
naaissance à uun
paar l'information mutuuelle maxim
male entre une
systtème dit MIIMO ou « Multiple-Inp
M
put Multiplle-
vaariable alééatoire
Outtput ». Ce pprocédé a donc
d
permiis d’exploitter
d''entrée du canal et saa sortie co
orrespondante .
deux
x types de gains dontt celui de laa lutte conttre
Elle est alorss définie parr [1] [2] :
l’év
vanouissemeent
du
canal
et
celui
à valeurs sur l'alphhabet
= max
ax
dde
; (03)
l’am
mélioration ddu débit ou de la capaccité du canaal.
Pour le cas d’un cannal SISO, la
l capacitéé est
2. Modélisatio
M
on du canall MIMO
ex
xprimée en bits/s/Hz eet définie paar [1] :
=
Un canal MIM
MO est un syystème où, l’émetteur et
1
| | (04)
LaaFigure 1.01 ci-dessoous représen
nte l’allure de
d la
le réécepteur sonnt composés de plusieu
urs antenness.
caapacité d’un
n canal SISO
O suivant lee SNR.
Pou
ur un canal avec N anntennes émeettrices et N
anteennes récepptrices, le canal
c
est reeprésenté ppar
une matrice coomplexe H traduisant la dimensioon
spattiale. La reelation entrre les entrrées X et lles
sortties Y du syystème MIM
MO alterné par un bruuit
qui suit une loii
↝
0σ
0,
et quii est suppossée
être indépendaante et idenntiquement distribuée
d
eest
défiinie par :
=
(001)
103
MADA-ETI,, ISSN 2220-06673, Vol.1, 2013, www.madareevues.gov.mg
La capacité d’un canall MIMO est alors définie
Fig
gure 1.01 : C
Capacité d’’un canal AWGN suiva nt
paar [1] :
le SN
NR
3.1 Informatio
I
on mutuelle
=
L’in
nformation mutuelle entre deu
ux variablles
Où,
O
aléaatoires et est définie par [1] [2
2] :
|
; =
Max
ximiser va
aleurs singu
ulières (SVD
VD)
(006)
; conssiste à max
ximiser
qui est obtenuu dans le caas où,
=
gaussien compplexe,
La décompossition de
,
∈
,….,
=
à
(12)
Où,
O
la maatrice diagoonale
hermiitienne défiinie positivve.
de
en ses valeeurs singulièères,
laa capacité d’un canal M
MIMO est dééfinie par :
esst un vecteeur
sym
métrie circullaire de moyyenne nulle et de matriice
L’en
ntropie
représeente le rappport signal sur bruit.
3..3 Capacitéé d’un cannal MIMO
O basé surr ses
(005)
; =
de covariance
(11)
de
d dimenssions
contient
c
valleurs singu
ulières de
est alors
a
définie par [1] [2]] :
lees
/
des
no
ombre de
=
(007)
De ce fait, l’information mutuellee est définnie
ou
valeurs propre valeeurs proprees au
de
ouu
=
qui est défini par
p :
=
,
(13)
par [1] :
;
=
La capacitéé d’un caanal MIM
MO suivantt la
(008)
déécompositio
on de
Sach
hant que l’informationn mutuelle maximale eest
dééfinie par [1
1] :
obteenue sous laa contraintee que la puiissance émiise
=∑
totaale P soit ffinie et connstante alorrs la capaciité
:
1
(14)
La Figure 1.02
1
ci-desssous représeente la capaacité
d’un
n canal MIM
MO est définie par [1] :
= max
en ses valeurss singulières est
; seelon (11) ett selon (14) .
(009)
3.2 Capacité d’un canaal MIMO en absen
nce
nformation d’état du caanal en émission
d’in
En l’absence d’informaation d’étaat du canaal,
l’ém
metteur peutt distribuer la puissancee d’une façoon
unifforme sur cchaque anteenne émettrrice. Alors la
mattrice de covvariance duu signal ém
mis est définnie
par [1] :
=
(1 0)
Figure 1.02
2 : Capacitéé théorique et suivant son
s
SVD
S
d’un sy
système MIM
MO
104
MADA-ETI,, ISSN 2220-06673, Vol.1, 2013, www.madareevues.gov.mg
La
Figure
1.03
diffférence
ci-ddessous
reeprésente
la
Dans
D
la Figu
ure 1.05 ci--dessous, on fixe la vaaleur
dee et on vaarie la valeur
ur de .
et
.
Fig
gure 1.03 : D
Différence entre
e
capaccité théoriquue
Figure
F
1.05 : Différencce entre cap
pacité théoriique
et SVD d’un canal
c
MIMO
O
Nottons que
indéépendant
et
e SVD d’unn canal MIM
MO
représentte le nomb
bre de cannal
participantt
réellem
ment
à
Lorsque les
la
diistribuées (iid)
tran
nsmission ouu le nombrre des lignes et colonnnes
de
la
matriice
q
qui
sont
sont indéépendants et identiquem
ment
= , alors laa capacité est
dééfinie par :
linéairemeent
indéépendantes [1] [3].
=
1
si
(15)
Dan
ns la Figure 1.04 cii-dessous on
o représennte
=
1
si
(16)
l’eff
ffet sur la vaaleur de la capacité
c
pour différenttes
valeeur de lorssque
=
= 3.
Figure 1.0
06 : Capacitté en fonctio
on du SVD iid
i
d’un canal
c
MIMO
O suivant Figure
F
1.044 : Evolution de la capa
acité pour
ddifférente vaaleur de
105
et MADA-ETI,, ISSN 2220-06673, Vol.1, 2013, www.madareevues.gov.mg
La probabilité de couppure ou outtage probabbility
d’un canal est la proobabilité po
our laquelle la
caapacité soit inférieure à une capacité seuil ffixée
à l’avance teelle le débitt de transmiission n'est plus
ad
dmissible. Elle
E est définnie par [5]:
= Pr
(20)
Pour le cas d’un
d
canal SSISO, elle esst définie paar :
= Pr
dééfinie par [6
6]:
NR
canaal MIMO suuivant le SN
| |=
3.4 Capacité d’un canaal MIMO basé sur le
Watter-filling
Tel que
Par la connaaissance dee l’état du
d canal, le
(22)
et
suivent un
ne loi
De
D ce fait, | | =
tran
nsmetteur ppeut répartirr les puissaances émisses
suit unee loi
f x =
d’ex
xploiter au m
maximum la capacité.
La puissance
p
tootale à l’ém
mission est définie par :
⁄
(23)
(24)
| |
, | | vérifiie la
reelation défin
nie par :
| |
distrribution opptimale de la
l puissance sur chaqu
que
=
est défiinie par [1] [4] :
=
(1 8)
= max , 0 et
est un scalaire constaant
| |
(25)
f | |
=1
| |
| |
| |
=
qui satisfait la ccontrainte de
d la puissan
nce totale. L
La
| |
(26)
(27)
| |
(28)
La capacité de coupuree d’un can
nal de Raylleigh
capaacité est aloors définie par
p [1] [4] :
=∑
x
f x =
1
A partir de
puisssance sur les sous-caanaux moin
ns bruités. L
La
Où
⁄
(1 7)
On pourrait êêtre ameneer à distrib
buer plus de
canaal
0,1
1 .
dee chi-deux de
d degré 2 ddéfinie par [5]
[ :
sur les antennnes d’une manière
m
inteelligente affin
=
(21)
Lorsque | | suit une loii de Rayleig
gh alors ellee est
Fig
gure 1.07 : Capacité en fonction du
d SVD d’unn
∑
| |
1
raadio SISO est
e définie ppar :
(1 9)
3.5 Probabilitéé de coupurre
106
=1
(29)
MADA-ETI,, ISSN 2220-06673, Vol.1, 2013, www.madareevues.gov.mg
=1
_
Avec
A
=
(37)
.
Fig
gure 1.08 : Probabilitéé de coupure d’un canaal
de Rayleiggh - SISO
Pou
ur le cas d’un canal MIMO,
M
la probabilité
p
dde
coup
pure est déffinie par :
= Pr
Figure
F
1.09
9 : Probabillité de coupure d’un caanal
(300)
de Rayleiigh - MIMO
O
Dan
ns le cas dd’une décom
mposition à travers sses
4.. Capacité ergodique
e
d’un canall MIMO
valeeurs singuliières, la proobabilité dee coupure eest
La capacité ergodique est la cap
pacité du canal
c
défiinie par :
= Pr
_
Lorsque
ob
bservé
1
(331)
l’intég
gralité
de
la
Pour le cas d’un canaal SISO, elle
e
est définie
prob
babilité st ddéfinie par :
paar [1] :
f x =
̅
(332)
=x
=
1
| |
(38)
Pour le cas d’un
d
canal M
MIMO, elle est définie par
p :
1
A partir
p
de
toutte
trransmission.
suitt une loi de Rayleigh, sa densité dde
Où, Ω = E x
du
urant
,
̅
vérifie la
̅
relaation définiee par :
=
max
:
=
; (39)
(40)
(333)
7.. Résultats
De plus,
p
= Pr
_
On
O observe qu’à travers
rs l’étude analytique
a
d la
de
(334)
caapacité du canal
c
radio, les techniq
ques de diveersité
_
_
=
=
f
(335)
am
méliore co
onsidérablem
ment la qualité dee la
trransmission.
(336)
107
Suivantt
la
Figure
1.02,, elle
MADA-ETI, ISSN 2220-0673, Vol.1, 2013, www.madarevues.gov.mg
augmente progressivement, suivant le nombre
9. Références
d’antenne utilisé.
[1]
H. Khaleghi Bizaki, «Mimo systems,
Concernant l’écart de la capacité entre la valeur
theory and applications», InTech, Mar.
théorique et la décomposition suivant les valeurs
2011.
singulières, on observe qu’elle augmente suivant
[2]
le nombre d’antennes utilisés. Suivant la Figure
1.03, elle est maximale pour
=
J. Casse, T. Horel., « Débit théorique
maximal de la communication MIMO »,
= 5.
2009.
D’autres part, la décomposition de la matrice du
canal radio à travers ses valeurs singulières permet
d’observer que seulement une partie des différents
canaux emprunter par le signal transporte des
[3]
M. Perraudin, « Matrice », 2004.
[4]
A. Goldsmith, S. A. Jafar, N. Jindal, S.
informations car le reste est inexploitable due au
Vishwanath, «Fundamental Capacity of
fait qu’ils sont trop exposé au bruit. Suivant la
MIMO Channels», Nov. 2002.
Figure 1.04, la capacité du canal augmente
suivant le nombre de ses valeurs singulières.
[5]
J. Pardonche, « Systèmes de transmission
Suivant les Figure 1.05, Figure 1.06 et Figure
sans fil multi-émetteurs, multi-récepteurs
1.07 lorsque l’on fixe le nombre de valeur
pour des applications transports. Etude
singulière du canal, on observe que suivant le
des modèles de canal de propagation»,
SNR et plus il y a d’antennes d’émission ou de
Thèse,
réception, meilleur est la capacité du système.
Technologies de Lille, Fév. 2004.
Université
des
Sciences
et
8. Conclusion
[6]
On observe qu’à travers l’étude analytique de la
vatoire National des Arts et Métiers, 2006.
capacité du canal radio, les techniques de diversité
améliore considérablement la qualité de la
transmission. A travers l’utilisation de plusieurs
antennes à l’émission ou à la réception, seulement
une partie des canaux créés participent réellement
à la transmission. Il également faut noter que du
côté de la réception il existe également des
techniques qui permettent de combiner les
différentes
versions
du
signal
de
M. Terré, «Propagation», Cours, Conser-
manière
optimale.
108