Bruce et Alice apprennent un jeu logique

Bruce et Alice apprennent un jeu logique
Un jour Kara posa la question suivante à Bruce:
"Dans ton pays dans les ècoles, apprend-onl
al
og
i
que
?
”
“
Lal
og
i
que
?
”r
é
pondi
tBr
uc
e
,unpe
usurpris ,“
J
ene crois pas. Je croyais que le mot
logique signifiait pa
r
l
e
rc
or
r
e
c
t
e
me
n
t
.Oui
,c
e
l
as
ef
a
i
tc
he
z nous
,ma
i
snousl
’
a
ppe
l
ons
grammaire.
“
Cen’
e
s
tpa
sl
amême c
hos
e
!
”
,r
e
p
r
i
tKa
r
a
,“
Lag
r
a
mma
i
r
er
è
g
l
e
me
nt
es
e
ul
e
me
ntnot
r
ef
a
çon
de parler ma
i
sl
al
og
i
quei
nt
e
r
vi
e
ntda
n
snospe
ns
é
e
s
,l
al
og
i
quee
s
tl
’
é
t
udedu raisonnement,
i
ls
’
a
g
i
td’
a
ppr
e
ndr
ec
omme
ntt
i
r
e
rde
sc
onc
l
us
i
ons
.
”a
j
out
aKa
r
a
Okto, après avoir entendu cette discussion, essaya der clarifier le problème:
"En Ruritanie on apprend tout à travers des jeux.
Si nous leur montrons quelques jeux l
o
que
s
,i
l
sc
ompr
e
ndr
ontc
edon’
tnouspa
r
l
ons
.
”
"Cela serait amusant", dit Alice, "De combien de joueurs a-t-on besoin pour jouer un jeu
l
og
i
que
?
”
“
I
le
nf
a
udr
ahui
tpourl
e
sj
e
uxs
i
mp
l
e
s
”
,r
é
pondi
tOkt
o.
.
"J
el
’
a
ur
a
i
spus
a
voi
r
!
”
,r
é
pon
di
tAl
i
c
e
,“C’
e
s
tbi
e
ne
vi
de
nt
,c
a
rnouss
omme
sda
nsl
a
pr
ovi
nc
ede
shui
t
s
!
”
"Cherchons les autres et commençonunj
e
u!
”
,di
tGonoa
ve
cf
or
c
e
,“
”J
ouonsunj
e
u
logique pendant notre leçon dema
t
hé
ma
t
i
quea
uj
our
d’
hui
.J
em’
oc
c
upedede
ma
n
d
e
ra
u
professeur de mat
hé
ma
t
i
ques
’
i
le
s
td
’
a
c
c
or
d.
”
Ainsi Gono partit tout de suite et rentra sous peu en disant que le professeur était
d’
a
c
c
or
dp
ourmont
r
e
rà Br
uc
ee
tà Al
i
c
ec
omme
ntj
oue
rà l
al
ogi
que durant la leçon
d’
a
uj
our
d,
hui
.Ens
ui
t
eOkt
odé
c
i
dad’
a
f
f
r
ont
e
rl
epr
oblème en disant:
"Nous aurons besoin de deux rangées de quatre chaises. Chaque joueur aura une chaise
qui sera sa place durant le jeu Onpo
ur
r
af
a
i
r
es
e
mbl
a
ntqu’
i
ls
’
a
g
i
td’
unpe
t
i
ta
ut
obusoùi
ly a
une partie en avant et une partie en arrière. I
lya
ur
aa
us
s
iunepa
r
t
i
equie
s
tl
emi
l
i
e
udel
’
a
ut
obus
et une autre qui consistera des deux extrémités Egalement, il y aura une partie à droite et une
partie à gauche. Ainsi chaque joueur aura trois noms, en avant ou en arrière, au milieu ou à une
extrémité, à droite ou à gauche. Allez-y
,c
he
r
c
he
zvospl
a
c
e
s
!
”
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
Les enfants s
emi
r
e
ntda
nsl
’
a
u
t
obust
e
lqu’i
nduquéda
nsl
edi
a
g
r
a
mmec
i
-dssous
à gauche
Bruce
Alice
Alo
Ata

Unta
Okto
Kara
Gono
à droite
”
Exp
l
i
que
-nousl
e
sr
è
g
l
e
sduj
e
u!
”
,de
ma
ndaAl
i
c
e
.
“
Onc
omme
nc
eoubi
e
na
ve
ct
outl
emondea
s
s
i
s
,oubi
e
navec tout le monde debout.
Durant le jeu, quand nous comptons les gens, nous comptons uniquement les joueurs qui sont
debout. Il y trois coups dans le jeu: AJOUTER, GARDER et ECHANGER. Dans le cas de
c
ha
c
undec
e
sc
oups
,i
lf
a
utpr
é
c
i
s
e
rc
equ’
i
lf
a
utf
a
i
r
ee
nc
ombi
na
ntl
enom duc
oupa
ve
cl
’
unou
l
’
a
ut
r
ede
smots: DEVANT, ARRIERE, MILIEU, EXTREMITE, DROITE, GAUCHE
"Ceux précisés après le nom du coup, doivents
el
e
ve
r
?
”
,de
ma
ndaBr
uc
e
..
“
Ou
i
”
,r
é
pondi
tOkt
o,“
s
inousdi
s
onsAJOUTE DEVANT: alors ceux qui sont en arrière
restent comme ils sont, mais tous ceux qui se trouvent en avant se lèveront, ceux qui sont déjà
debout, restent debout mais ceux qui sont a
s
s
i
sde
vr
onts
el
e
ve
r
.
”
"Est-i
lvr
a
iqu’
a
ve
cGARDER DEVANT” i
nt
e
r
pos
aAl
i
c
e“
seulement les joueurs en avant
seront debout? Tous ceu,x qui sont en avant se lèvent-i
l
s
?
”
"J
eva
i
st
el
’
e
xpl
i
que
r
”
,r
é
pond
i
tOkt
o,“
pa
r
mic
e
uxquis
onte
na
va
nts
e
ul
e
me
ntceux qui
sont déejà debout rersteront debout. On ne peut pas garder ceux qu’
onn’
apa
s
.Etna
t
ur
e
l
l
e
me
nt
,
c
e
uxe
na
r
r
i
è
r
equis
ontde
boutde
vr
onts
’
a
s
s
e
oi
r
”
"
"Supposons que nousvoul
onsqu’Okto, Alo et Kara soient les seuls joueurs debout à la
fin “i
nterposa Ata, ",a
l
or
sa
ve
cunc
oupGARDERDEVANTOkt
ode
vr
as
’
a
s
s
e
oi
rma
i
sAl
oe
t
Kara resteront debout. Egalement Ata et Gono resteront assis car nous ne pouvons pas garder
ceux-là car nous ne les avions pas. . Est-c
equej
’
a
ir
a
i
s
on?
”
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
2
"Tua
sr
a
i
s
on”
, lui répondit Okto "Mainteant je vais préciser le coup ECHANGER.. Par
exemple ECHANGER MILIEU veut dire que tous ceux qui sont debout au milieu doivent
s
’
a
s
s
e
oi
r
,e
t tous ceux qui sont assis au milieu doivent se lever. Ceux qui sont aux extrémités
restentc
ommei
l
ss
ont
,c
a
rc
ec
oupn’
e
s
tpa
spoure
ux.
”
"Al
o
r
si
lnef
a
utpa
sé
c
ha
nge
rc
e
uxa
umi
l
i
e
ua
ve
cc
e
uxquis
onta
uxe
xt
r
é
mi
t
é
s
!
”
,di
t
Unt
a
,“
I
lf
a
uté
c
ha
ng
e
rs
e
ul
e
me
ntc
e
u
xa
umi
l
i
e
u,l
e
sunsa
ve
cl
e
sa
ut
r
e
s
.L’
é
c
ha
ng
en’
e
s
tpa
s
entre le milieu et l
e
se
xt
r
é
mi
t
é
s
,ma
i
se
nt
r
ea
s
s
i
se
tde
bout
!
”
“
Ma
i
nt
e
na
ntonj
ouel
ej
e
udel
ama
ni
è
r
es
ui
va
nt
e
”r
e
pr
i
tOkt
o,“
Nousdé
c
i
donsqui
doi
ve
ntê
t
r
el
e
sj
oue
ur
squis
e
r
ontde
boutàl
af
i
n.Nousde
vonse
s
s
a
y
e
rd’
a
t
t
e
i
ndr
ec
e
t
t
es
i
t
ua
t
i
on
dans un number minimum dec
oups
. Le
sj
oue
ur
se
s
s
a
y
e
nt
,l
’
una
pr
èsl
’
a
ut
r
e
,der
e
s
oudr
el
e
problème, et celui qui le fait dans le nombre moindre de coups e
s
tl
ej
oue
urquig
a
g
nel
ej
e
u
.
”
"Je propose que tous les garçons doivent être debout à la fin et toutes les filles assises,
ainsi nous ne serons pas fatiguée
s
”
,pr
opos
aUnt
a
.
Tousl
e
sj
oue
ur
ss
emi
r
e
ntd’
a
c
c
or
dpoura
f
f
r
ont
e
rc
epr
obl
è
me
.Apr
è
sunt
r
a
va
i
la
s
s
e
z
laborieux, ils trouvèrent une solution qui contenait trois coups. Voici leur solution, dans laquelle
au début tout le monde était debout :
Bruce Alice Alo Ata
Bruce Alice
GARDER GAUCHE 
Unta Okto Kara Gono
assis
assis
Bruce Alice
Alo
Ata
assis
assis
assis
assis
ECHANGER DEVANT 
assis
assis Kara
Bruce assis
ECHANGER MILIEU
Gono
Alo
assis
assis
Gono

assis
Okto
"Maintenant toutes les filles debout!", proposa Bruce. "Mais au début tout le monde
a
s
s
i
s
!
”
Ils découvrirent bientôt que si le premier coup était AJOUTER DROITE, , ils pouvaient
continuer comme avant avec les coups ECHANGER DEVANT et ECHANGER MILIEU.
“
Es
s
a
y
onsdef
i
ni
ra
ve
ct
r
oi
sj
oue
ur
sde
bout
”pr
opos
aAta, "Prenons Bruce, Alice et
Okt
o,a
udé
butt
outl
emondede
bout
”
?"
"De combien de coups aurons-n
ousbe
s
oi
n?
”
de
ma
ndaOkto.
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
3
"Nousn’
a
vonsqu’
àe
s
s
a
y
e
r
!
”di
r
e
ntt
ousl
e
sj
oue
ur
spr
e
s
qu’àl
af
oi
s
. En effet ils
essayèrent. Ils arrivèrent à obtenir les trois joueurs choisis debout après trois coups. Leur solution
consistait des trois coups suivants:
GARDER GAUCHE, AJOUTER MILIEU, GARDER ARRIERE
et seulement Bruce, Alice et Okto étaient debout après le troisième coup.
"Maintenant ceux qui étaient restés debout doivent finir par être assis, et ceux qui étaient
a
s
s
i
sàl
af
i
n
,de
vr
ontma
i
nt
e
na
ntf
i
ni
rpa
rê
t
r
ede
bout
.
”pr
opos
aKara.
"Peut-être il y a un moyen de savoir comment resoudre ce problème en regardant la
s
ol
ut
i
ondupr
obl
è
me“
c
ont
r
a
i
r
e
”quenousve
nonsder
e
s
oudr
e
!
”i
nt
e
r
pos
aAl
i
c
e“
Ma
i
sj
enes
a
i
s
pa
sc
omme
nt
!
”
"Tu as raison”r
é
pondi
tBr
uc
e
,“Nousde
vonsr
e
s
oudr
el
epr
obl
è
mee
te
ns
ui
t
ec
ompa
r
e
r
l
e
sde
uxs
ol
ut
i
ons
!
”
:
Le
sj
oue
ur
ss
emi
r
e
ntd’
a
c
c
o
r
da
ve
cc
equ’
Al
i
c
ea
va
i
tpr
oposé. Ils décidèrent aussi de
commencer avec tout l
emondea
s
s
i
s
,
,c
a
ri
ls
’
a
g
i
s
s
a
i
td’
a
f
f
r
ont
e
rl
epr
obl
è
me“
c
ont
r
a
i
r
e
”
.
Finalement ils réussirent à trouver la solution suivante:
AJOUTER DROITE GARDER
EXTREMITE AJOUTER
DEVANT
C’
é
t
a
i
tl
ar
oute plus rapide pour finir avec Unta, Alo, Ata, Kara et Gono debout.
"J
ec
r
oi
squej
evoi
sque
l
quec
hos
e
!
”
,di
tAl
o,“
Pourpa
s
s
e
rd”
unes
ol
ut
i
onà l
’
a
u
t
r
ei
l
faut échanger GARDER et AJOUTER. Il faut aussi échanger DROITE et GAUCHE, DEVANT
et ARRIERE, MILIEU et EXTREMITE. Voilà le moyen secret de trouver la solution du
“
c
ont
r
a
i
r
e
”d’
unpr
obl
è
me
!
"
"Peut-ê
t
r
e t
u n’
a
s pa
s e
nc
or
e dé
c
ouve
r
t t
out
!
”
,
di
t Okt
o, “
”
Re
g
a
r
de
notre premier problème et son contraire.. Pour que les garçons soient debout à la fin,
nous avions proposé les coups
GARDER GAUCHE ECHANGER DEVANT ECHANGER MILIEU
Quand nous voulions que les filles restent debout à la fin, les coups étaient
AJOUTER DROITE ECHANGER DEVANT ECHANGER MILIEU
où seulement le premier coup doit être changé."
"Oui
,ma
i
sc
’
est seulement le premier coup qui est un GARDERouunAJ
OUTER“di
t
Bruce "I
le
s
tpos
s
i
bl
equ’
a
ve
cECHANGER r
i
e
n nec
ha
ng
e
,d’
a
ut
r
epa
r
t
,da
nsl
ec
a
sde
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
4
GARDER e
tAJ
OUTER,i
lf
a
utl
e
sé
c
ha
ng
e
r
,c
ommea
us
s
il
apa
r
t
i
edel
’
a
ut
obus àl
a
quelle
c
ha
quec
oupe
s
tr
e
l
i
é
.
”
"I
LSEPEUTQUETU AI
ESRAI
SON”
,di
tOkt
o,“Nousde
vr
i
onsr
e
g
a
r
de
runa
ut
r
e
exemple pour voir si ce que tu dis est vrai. Essayons le problème dans lequel Alice et Kara
r
e
s
t
e
ntde
b
o
utàl
af
i
n.
”
Le
se
nf
a
nt
sdé
c
i
dè
r
e
ntd’
a
f
f
r
on
t
e
rc
epr
obl
è
mee
ts
onc
ont
r
aire dans lequel Alice et Kara
seraient les seules à finir assises. Après beaucoup de travail ils finirent joyeusement, ayant trouvé
les solutions suivantes
:
TOUS DEBOUT GARDER DROITE ECHANGER ARRIERE GARDER MILIEU
TOUS ASSIS AJOUTER GAUCHE ECHANGER ARRIERE AJOUTER EXTREMITE
"Tas
uppos
i
t
i
on s
e
mbl
ef
onc
t
i
onne
r
”di
tOkt
o àBruce, mais peut-être nous
de
vr
i
onsvoi
rd’
a
ut
r
e
se
xe
mpl
e
s
.I
le
s
tpos
s
i
b
l
equenousa
y
onse
xa
mi
néde
sc
a
s
s
pé
c
i
a
ux!
”
"Que dites-vous du problème de Bruce, Alice et Kara?", demanda Unta.
Ils trouvèrent une solution qui exigeait quatre coups, et malgré avoir cherché pendant une
période
assez
longue,
ils
ne
réussirent
pas
à
trouver
une
solution
a
ve
cmoi
nsdequa
t
r
ec
oups
.Toutd’
unc
oup,Br
uc
ee
utunei
dé
e
.
"Nous pourrions d’
abor
ddé
t
e
r
mi
ne
rl
ede
r
ni
e
rc
oup,e
ns
ui
t
el
’
a
vant dernier et ainsi de
suite. Voyons! Le dernier coup ne peut pas être AJOUTER car dans un tel cas tous les joueurs
d’
unemoi
t
i
édel
’
a
ut
obusde
vr
a
i
e
ntê
t
r
ede
boutàl
af
i
n,e
tn’
a
vonsquet
r
oi
sj
oue
ur
sde
bo
utàla
fin..Lede
r
ni
e
rc
oupn’
e
s
tpa
sGARDERnonpl
us
,c
a
rda
nsunt
e
lc
a
st
ousl
e
sj
oue
ur
sde
vr
a
i
e
nt
a
ppa
r
t
e
ni
ràl
amê
memoi
t
i
édel
’
a
ut
obus
,e
tc
en’
e
s
tpa
sl
ec
a
s
.Ondé
dui
tquel
ede
r
ni
e
rc
oupe
s
t
ECHANGER”
"Tur
a
i
s
onne
sbi
e
n!
”di
tOkto, "mais quelle moitié a-t-on échangé?"
"Peut-ê
t
r
el
amoi
t
i
équie
s
te
na
r
r
i
è
r
eaé
t
éé
c
ha
ng
é
ec
a
rda
nsc
ec
a
s
,a
va
ntl
’
é
c
ha
nge
,
tous les enfants debout se seraient trouvés dans la moitié droite et cela signifie que le coup avant
celui-là aurait été GARDER DROITE Par conséquent peut-être les enfants du côté gauche
auraient été debout avantl
ec
oupquej
es
uppos
ema
i
nt
e
na
nts
oi
tl
’
a
va
ntde
r
ni
e
r
.
”
!"
"Je compends !", dit Alice, " Et nous pouvons obtenir ces six enfants en
faisant le coup GARDER ARRIERE, suivi de AJOUTER MILIEU ou bien GARDER MILIEU
suivi de AJOUTER ARRIERE. Il me parait que les coups doivent être
:
TOUS DEBOUT GARDER ARRIERE AJOUTER MILIEU GARDER DROITE
ECHANGER ARRIERE
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
5
Pour obtenir les autres cinq enfants debout à la fin, nous devrions alors faire les coups:
TOUS ASSIS AJOUTER DEVANT GARDER EXTREMITES AJOUTER GAUCHE
ECHANGER ARRIERE
Nous devons vérifier les deux solutions proposées pour voir si nous avons raison.?"
En effet ils vérifièrent les deux solutions, en travailant lentement et soigneusement pour
ne pas faire des erreurs. Heureusement tout était correcte! Alice posa cette question à Okto, avec
un sourire:
“
J
’
a
il
’
i
dé
equet
ua
sunea
ut
r
eve
r
s
i
ondec
ej
e
uda
nst
at
ê
t
e
!
”
.
"Tua
sr
a
i
s
on”
,r
é
pondi
tOk
t
o "On peut jouer avec des mots ou avec des nombres.
Comment voulez-vousj
o
ue
r
?
”
"J
ouonsd’
a
bor
da
ve
cl
e
snomb
r
e
s
”
,pr
opos
aBruce.
"Êtes-vouss
ûr
squevouspour
r
e
zf
a
i
r
el
e
sc
a
l
c
ul
se
nba
s
ehui
t
?
”de
ma
ndaOkt
o
"Ce
r
t
a
i
ne
me
nt
!“r
e
pr
i
r
e
ntBr
u
c
ee
tAl
i
c
ee
nmêmet
e
mps
.Nousn’
a
vonsqu’
ài
ma
g
one
r
quenousn’
a
vonsquequa
t
r
edoi
g
t
sa
insi huit doigts signifieraient une personne, neuf doigts une
pe
r
s
onnee
tundoi
g
t
!
”
"Al
o
r
sç
avama
r
c
he
r
”
,r
é
pondi
tOkt
o."Le jeu se joue avec les facteurs de 3-6. ou bien
trente selon la façon de parler de Bruce et Alice. Alice, dis-moi quels sont les facteurs to 3-6 ? “
“
Voy
ons
”
,di
tAl
i
c
et
oute
nr
é
f
l
é
c
hi
s
s
a
nt"Les voici:
1, 2, 3, 5, 6, 1-2, 1-7,
3-6
e
xpr
i
mé
sda
nsvot
r
es
y
s
t
è
medenumé
r
ot
a
g
e
.“
"Quatre parmi eux sont impairs, quatre sont pairs.Vous les reconnaitrez facilement car
nos règles sont les mêmes que vous utilisez en base dix.. Quatre des facteurs sont des multiples
de trois et quatre ne le sont pas. Les nombres 3, 6, 1-7 et 3-6 sont des multiples de 3 mais les
nombres 1, 2, 5, 1-2 ne le sont pas. Quatre de nos facteurs sont des multiples de 5, et quatre ne
le sont pas. Les nombres 5, 1-2, 1-7, 3-6 sont des multiples de 5 mais les nombres 1, 2, 3, 6
ne le sont pas. Les nombres avec deux chifres sont des multiples de 5, comme aussi le nombre 5.
Je dis ça pour vous donner un aide-mé
moi
r
.
”
"Comment jouons-nousa
ve
cc
e
snombr
e
s
?
”
,de
ma
ndaAl
i
c
e
.
"Nous écrirons chaque nombre sur un morceau de papier, et nous devrons procurer une
boîte dans laquelle nous pourrons les poser ou bien de laquelle nous pourrons les enlever. Quand
tous les nombres sont dans la boîte, ça sera la même chose que tout le monde debout dans
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
6
l
’
a
ut
obus
.Qua
ndl
aboî
t
ee
s
tvi
de
,ç
ave
utdi
r
equet
outl
emondee
s
ta
s
s
i
sda
nsl
ej
e
ude
l’
a
ut
obus
.On se sert des mêmes coups. AJOUTER veut dire mettre quelque chose dans la boîte,
GARDER veut dire garder quelque chose dans la boîte, et ECHANGER veut dire échanger une
certaine sorte de nombre entre ceux qui sont dans la boîte et ceux qui ne le sont pas. "
"Je comprends", dit Alo, "Gardons les nombres 1, 2 et 3 dans la boîte, les autres devant
r
e
s
t
e
rde
hor
s
!
”
"Tous les troi
ss
ontunemê
mes
or
t
edenombr
e
”
,r
e
ma
r
quaBr
uc
e.
"Ils me paraissent bien différents!, dit Ata
"Ils sont tous des non-mul
t
i
pl
e
sdec
i
nq!
”
,di
tBr
uc
e
,“
Voi
s
-t
uquepa
r
mie
uxi
ln’
ya
a
uc
unnomb
r
equis
oi
tunmul
t
i
pl
edec
i
nq
?
”
"Et ceux dont avons besoin sont impairs ou des non-multiples de troi
s
!
”a
j
out
aAl
i
c
ea
ve
c
force.
"Dans ce cas, en commençant avec tous les nombres dans la boîte, il faudrait faire les
coups
GARDER IMPAIR AJOUTER NON-3 GARDER NON-5
Le jeu alors se fera de la façon suivante::
[ 1, 2, 3, 5, 6, 12, 17, 36] GARDER IMPAIR [1, 3, 5, 17]
AJOUTER NON-3 [1, 2, 3, 5, 12, 17] et alors
GARDER NON-5 nous donne [1, 2, 3]. Tr
oi
sc
oups
,c
’
e
s
tbi
e
nç
a
,eh?"
"Ma
i
nt
e
na
nte
s
s
a
y
onsdeme
t
t
r
el
’
e
ns
e
mbl
e[5, 6, 12, 17, 36] dans la boîte !", proposa
Bruce.
"Le même artifice que nous avons employé da
nsl
ec
a
sdel
’
a
ut
obus
,va
-t-i
lf
onc
t
i
onne
r
?
”
demanda Kara.
"Essayons!", dit Alice. "Commençons avec la boîte vide et échangeons les coups GARDER et
AJ
OUTERc
ommea
us
s
il
as
or
t
eden
o
mbr
eàl
a
que
l
l
ec
ha
quec
oupe
s
ta
ppl
i
qué
!
”
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
7
Le résultat fut la façon suivante de jouer:
[ ] AJOUTER PAIR [2, 6, 12, 36] GARDER 3 [6, 36] AJOUTER 5 [5, 6, 10, 17, 36]
"Connais-t
uunpr
obl
è
meoùi
lf
a
uts
es
e
r
ve
rduc
oupECHANGER?
”
,de
ma
ndaUn
t
a.
"J
epe
ns
equeoui
”
,r
é
pondi
tOk
t
o,“
Es
s
a
y
onsl
’
e
ns
e
mbl
e{
1,6,1-7}
”
"Ces nombres ne sont pas tous de l
amê
mes
or
t
e
”i
nt
e
r
pos
aBr
uc
e
,“
C’
e
s
tc
ommeç
aque
t
ul
es
a
i
s
,n’
e
s
t
-c
epa
s
?
”
"Oui, naturellement!", répondit Okto, "Mais il y a unepe
t
i
t
es
ur
pr
i
s
eda
nsl
as
ol
ut
i
on’
a
l
l
e
za
f
f
r
ont
e
rl
epr
obl
è
medef
i
ni
ra
ve
cs
e
ul
e
me
ntc
e
st
r
oi
snombr
e
sda
mnsl
aboî
t
e
.
”
I
l
st
r
a
va
i
l
l
è
r
e
nta
s
s
e
zl
o
ng
t
e
mpsa
va
ntd’
obt
e
ni
runes
ol
ut
i
on.I
l
ss
a
va
i
e
ntbi
e
nq
uel
e
dernier coup devait être un ECHANGER, après beaucoup de discussion ils décidèrent que
l
’
a
va
ntde
r
n
i
e
rnepouva
i
tê
t
r
eniunGARDERn
iunAJ
OUTER,a
l
or
sl
as
ol
ut
i
ondevait avoir
de
uxc
oupsECHANGERàl
af
i
n.Sa
n
sdout
ec
’é
t
a
i
tl
as
ur
pr
i
s
edontOkt
oa
va
i
tpa
r
l
é
!
”
Voici la solution trouvée par les enfants:
[All] GARDER NON-5 [1, 2, 3, 6] AJOUTER 3 [1, 2, 3, 6, 17, 36] GARDER even [2, 6, 36]
ensuite ECHANGER 3 [2, 3, 17] ECHANGER NON-5 [1, 6, 17]
Pourme
t
t
r
el
’
e
ns
e
mbl
e[2, 3, 5, 10, 36] dans la boîte, en commançant avec la boîte vide, ils
trouvèrent la solution suivante:
[rien] AJOUTER 5 [5, 12, 17, 36] GARDER NON-3 [5, 12]
AJOUTER IMPAIR [1, 3, 5, 12, 17]
then ECHANGER 3 [1, 5, 6, 12, 36] then ECHANGER NON-5 [2, 3, 5, 12, 36]
"L’
a
r
t
i
f
i
c
ef
onc
t
i
onne
”di
tBruce, "L’
a
s
-tu inventé, Okto?”,demanda Bruce en
s
’
a
ddr
e
s
s
a
n
tàOkt
o.
"J
er
e
g
r
e
t
t
equej
en’
a
i
epa
sc
e
t
t
ehone
ur
!
”r
é
pondi
tOkt
o, "C’
é
t
a
i
tunepe
r
s
onn
equi
s
’
a
ppe
l
a
i
tDeMor
g
a
nquif
utl
epr
e
mi
e
ràdé
c
ouvr
e
rc
e
t
t
er
è
g
l
e
,i
lyat
r
è
sl
ong
t
e
mps
.J
enes
a
i
s
pa
ss
’
i
la
va
i
tj
ouéunj
e
uc
ommec
e
l
u
iquenousve
nonsdej
oue
r
!
”
"Comment peut-on jouer avec des mots?", demanda Gono "Le peut-on jouer avec des
mots quelquonques?"
"Il est mieux de le jouer avec des ensembles de mots ou de phrases qui se divisent
facilement on deux parties de trois manières différentes. Par exemple avec les phrases:
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
8
[je viens, il vient, nous venons, ils viennent, je viendrai, il viendra, nous viendrons, ils viendront]
Alors il y a trois moyens de diviser les huit phrases en deux ensembles de quatre phrases
première et troisième personne, singulier et pluriel, présent et futur
“
J
ec
ompr
e
nds
”
,di
tBr
uc
e
,“
Onpour
r
aGARDERPRESENT, ECHANGER
SINGULIER, ou bien AJOUTER TROISIEME PERSONNE et ainsi de suite. En effet ça serait
le mêmej
e
u.Nousn’
a
ur
onsqu’
àdécider quelles doivent être les phrases dans la boîte à la fin
d’
unj
e
u!
”
“
Cequevoudr
a
i
ss
a
voi
rc
’
e
s
tde reconnaitre quels sont les problèmes les plus difficiles.
J
es
uppos
equ’
unpr
obl
èmedon’
tl
as
ol
ut
i
one
xi
g
ebe
a
uc
oupdec
oupse
s
tpl
usdi
f
f
i
c
i
l
equ’
un
pr
obl
è
mequie
xi
g
nemoi
nsdec
oupspourl
er
e
s
oudr
e
.
”de
ma
ndaAl
i
c
e
.
"Le problème [1, 2, 3] e
s
tl
’
unde
spl
usd
i
fficiles parmi ceux qui admettent une
s
ol
ut
i
on.I
ln’
yapa
sdes
ol
ut
i
ons a
ve
cmoi
nsdec
i
nqc
oups
.
”dit Okto "
“
Ve
u
x-t
udi
r
ewu’
i
lyade
spr
o
bl
è
me
squ’
onnepe
utpa
sr
e
s
oudr
e
?
”
,de
ma
ndaKa
r
a
.
“
Si tu veux finir avec deux éléments dans la boîte différe
nt
sl
’
undel
’
a
ut
r
ede toutes les
trois manières possibles, c
e
l
anes
ef
e
r
aj
a
ma
i
sa
ve
cnosr
è
g
l
e
sduj
e
u”
,r
e
pondi
tOkt
o.
“
Na
t
ur
e
l
l
e
me
nt
,avec l
e
sa
ut
r
e
ss
i
xe
l
e
me
nt
sda
nsl
aboî
t
e
,t
uner
é
us
s
i
r
a
snonpl
us
!
”
“
e
s
t
-ce quec
’
e
s
tl
es
e
ulc
a
si
mpos
s
i
bl
e
?
”demanda Kara
“
Non,i
lyauna
ut
r
emoy
e
ndepos
e
runpr
obl
è
mei
mpos
s
i
bl
e
”
,r
é
pondi
tOkt
o,“
Situ veux finir
avec quatre éléme
nt
st
e
l
squepa
r
mie
uxi
le
xi
s
t
eunquis
oi
tdi
f
f
é
r
e
ntdec
ha
c
unde
sa
ut
r
e
sd’
une
s
e
ul
ema
ni
è
r
e
,t
uner
é
us
s
i
r
a
sj
a
ma
i
s
!
”
"Je pe
uxt
edonne
rune
xe
mpl
e
!
”
,di
tBr
uc
e
,“
L’
e
ns
e
mbl
e{
1,2,3,5}pr
é
s
e
ne
r
a
i
tunc
a
s
impossible, car 1 est different de 2, 2 étant pair et 1 impair, entre 1 et 3 il y a la difference de
multiplicité de 3, et entre 1 et 5 il y a la difference de multiplicité de 5. On ne pourrait jamais
finir avec seulement l
e
spe
t
i
t
snombr
e
s1,2,3e
t5da
nsl
aboî
t
e
!
”
"Les quatre nombres [6, 12, 17, 36]
i
mpos
s
i
bl
e
?
”de
ma
ndaAl
i
c
e
.
fournitaient-ils également un problème
"Onpe
utvoi
rs
iouiounon”i
nt
e
r
pos
aBr
uc
e“
e
nc
he
r
c
ha
ntunnombr
epa
r
mil
es quatre
qui soit différent de chacun des autres d’
unes
e
ul
ema
ni
è
r
e
!
”
"Oui
,na
t
ur
e
l
l
e
me
nt
,i
lf
a
utq
u
’
i
lya
i
tunt
e
lnombr
e
”
,di
tKa
r
at
oute
nr
é
f
l
é
c
hi
s
s
a
nt
,
“
Ma
i
sque
le
s
tl
enombr
equ’
i
lnousf
a
ut
?
”
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
9
"Je crois que je sais duquel des quatre nous avons besoin!
”
,
di
tAlice, "Ça doit être le
nombre 3-6. Entre 3-6 et 1-7 il y a la différence pair-impair. tous les deux sont des multiples de 3
comme aussi de 5. Comme ça nous avons une seule difference. Entre 3-6 et 1-2 il y a la
difference de multiplicité de 3, mais tous les deux sont pairs et tous les deux sont des multiples
de 5.
"Etl
enombr
e6”
,a
j
out
aGon
o,“n’
e
s
tpa
sunmul
t
i
pl
ede5a
uc
ont
r
a
i
r
e3-6 est un
multiple de 5. Tous les deux sont pairs et tous les deux sont des multiples de 3. Ça fait de
nouveau une seule différ
e
nc
e
!
”
"Alors [6, 12, 17, 36] est aussi un ensemble impossible selon nos règles!”dit Alo.
"Comment tout ça est-il relié à la logique?, demanda Alice.
"Regardons un ensemble de mots anglais c
ommel
’
e
ns
e
mbl
es
ui
va
nt
:
[ ban, bat, bin, bit, fan, fat, fin, fit ]
et essayons de trouver le plus grand ensemble où chaque mot avec T est aussi un mot avec A”
proposa Okto "Peux-t
umedi
r
eque
l
ss
ontl
e
smot
squ’
i
lnousf
a
utpourc
ons
r
ui
r
ec
e
te
ns
e
mbl
e
?
’
dit-il e
ns
’
a
dr
e
s
s
a
ntàAlice.
"Que dis-tu de [ bat, fat ] ?", dit Alice sans beaucoup de conviction.
"Bi
e
ns
ûrc
e
sde
uxmot
sdoi
ve
nta
ppa
r
t
e
ni
ràl
’
e
ns
e
mbl
equenousc
he
r
c
hons
,ma
i
st
ous
les mots avec N devraient aussi faire partie del
’
e
ns
e
mbl
e
.Not
r
ee
ns
e
mbl
e
,l
epl
usg
r
a
nd
possible, serait:
[ ban, bat, bin, fan, fat, fin ]
car il reste vrai que tous les mots avec T ont aussi la lettre A, pour cette raison nous devrons
avoir aussi ces mots, ceux avec A comme aussi ceux ave
cI
”expliqua Koto.
Kara voul
a
i
tf
a
i
r
epa
r
t
i
edel
’
e
xpl
i
c
a
t
i
on,a
i
ns
ie
l
l
ei
nt
e
r
vi
nte
ndi
s
a
nt
:
“
Sionve
utf
i
ni
re
xa
c
t
e
me
nta
v
e
cl
e
smot
sba
n ba
tbi
nf
a
nf
a
tf
i
n da
nsl
abo
î
t
e
,de
quels coups aura-t-on be
s
oi
n
?
”
"C’
e
s
tf
a
c
i
l
e
”di
tBruce. "GARDER A, AJOUTER N, Ainsi tous les mots A y seront et
parmi les mots I nous aurons seulement ceux avec N
"Al
o
r
ss
inouspr
e
ni
onsunmo
tTdel
aboî
t
e
,i
ls
e
r
a
i
tc
e
r
t
a
i
ne
me
ntunmotA”pr
ononç
a
Ka
r
as
ac
on
c
l
us
i
onl
og
i
que
”
“
Vois-t
uma
i
nt
e
na
ntqu’
i
lyadela logique dans tout ça, nest-c
epa
s
,Okt
o?
”a
j
out
a
-t-elle..
"C’
e
s
tvr
a
i
”
,r
é
pondi
tOkt
o
"I
le
s
ta
us
s
ivr
a
i
”
,di
tBr
uc
e
,“
ques
ionpr
e
ndunmotI
,i
ls
e
r
at
ouj
our
sunmotN”
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
10
"Tu as trouvé une loi intéressante", dit Okto, "Pense à deux situations différentes.
Appelons-les X et Y mais assure-toi que chaque fois que X a lieu, la situation Y aura lieu aussi,
a
l
or
sonpe
utc
onc
l
ur
eques
iYn’
apa
sl
i
e
u,X n’
a
ura pas lieu, non plus! "
"C’
e
s
tvr
a
i
”
di
tKara, "Nous avons appris cette loi il y a quelques jours. l
epr
of
e
s
s
e
url
’
a
appelée CONTRAPOSITION. Est-c
ej
us
t
e
?
”
“
C’
e
s
tbi
e
nj
us
t
e
”
,di
tOkt
o.
“
Suppos
onsqueX s
i
g
ni
f
i
e“
ETREPARESSEUX”e
tqueY s
i
g
ni
f
i
ePRI
SON”pr
oposa
Al
i
c
e“da
n
sc
ec
a
s
,det
out
ef
a
ç
one
nRur
i
t
a
ni
e
,s
iXal
i
e
u,i
lf
a
uta
l
l
e
re
n prison, ainsi Y a lieu
comme consequence de X. NONYve
utdi
r
equ’
onnevapa
se
npr
i
s
on,da
nsc
ec
a
sNONXa
ur
a
l
i
e
u,c
’
e
s
tàdi
r
e
,onn’
e
s
tpa
spa
r
e
s
s
e
ux.Ma
i
nt
e
na
ntj
evoi
sc
omme
ntç
af
onc
t
i
onne
!
”di
tAl
i
c
e
en souriant.
Il y a une autre chose que nouspouvonsdi
r
edenot
r
ee
ns
e
mbl
e
”di
tOkt
o,Da
ns
l
’
e
ns
e
mbl
e [ba
n,ba
t
,bi
n,f
a
n,f
a
t
,f
i
n] c
ha
quemote
s
touunmotAouunmotN”
"Oubi
e
nt
ousl
e
sde
ux!
”i
nt
e
r
pos
aKara.
“
Me
t
t
ons
-nousd’
a
c
c
or
dquec
ha
quef
oi
snouspa
r
l
onsdec
e
c
iouc
e
l
a
,i
lest entendu que
le ceci et aussi le cela peuvent avoir lieu en même temps. On appelle ça le ou ceci ou cela
inclusif.“dit Okto
“
Al
or
squa
n
dnousa
ppl
i
quonsl
ec
ou
pAJ
OUTER,nousf
or
monsune
ns
e
mbl
eouc
e
c
iouc
e
l
a
.
”
ajouta Kara,“
Que
l
l
es
or
t
ed’
e
ns
e
mbl
eformons-nouse
na
ppl
i
qua
ntl
ec
oupGARDER?
”
“
Onobt
i
e
ndr
a
i
tl
’
e
ns
e
mbl
e[ba
t
,ba
n]s
inousdi
s
i
onsGARDERAe
te
ns
ui
t
eGARDER
B. Dans cet ensemble tous les mots sont en même temps des mots A et des mots B. Ainsi au lieu
d’
obt
e
ni
rune
ns
e
mbl
eouc
e
c
iou cela, on obtient un ensemble en même temps ceci et cela. Le
reste des mots [bin, bit, fan, fat, fin, fit }, nous donnent un ensemble ou ceci ou cela. Chaque mot
dans cet ensemble est ou un mot I ou un mot F. Lets mots I sont les mots NON A et les mots F
s
ontl
e
smo
t
sNONB”
,e
xpl
i
quaOkt
o.
“
C’
e
s
tc
omme l
’
a
r
t
i
f
i
c
e pou
rr
e
s
oudr
e un pr
obl
è
me c
ont
r
a
i
r
e
!
”a
j
out
a Al
i
c
ea
ve
c
e
nt
hous
i
a
s
me
.“Cevi
e
uxbonhommeDeMor
g
a
na
ur
a
i
tdûype
ns
e
re
nr
e
ga
r
da
ntune
ns
e
mbl
e
ouc
e
c
iouc
e
l
ae
tl
’
e
ns
e
mbl
ec
or
r
e
s
ponda
ntqui est un e
nmê
met
e
mpsc
e
c
ie
tc
e
l
a
”
“
I
le
s
tpr
oba
bl
equet
ua
i
e
sr
a
i
s
on!
”r
é
pondi
tOkt
o“Sinousa
ppe
l
onsl
e
smot
sIl
e
smot
s
NON A, et les mots F les mots NON B, nous voyons mieux ce qui se passe. Nous pouvons dire
que
NON (en même temps A et B)
revient à dire ou NON A ou NON B
c
’
e
s
tl
al
oideDeMor
g
a
n,c
equenousde
vonsdi
r
epourr
e
c
onna
i
t
r
equ’
i
lé
t
a
i
tl
epr
e
mi
e
r
~àdé
c
ouvr
i
rc
el
i
e
n”
“
J
en’
a
ur
a
i
spa
sc
r
uqu’
e
nc
omme
nç
a
nta
ve
c des jeux on pourrait apprendre à raisonner
de c
e
t
t
ef
a
ç
on!
”
,s
’
é
c
r
i
aAl
i
c
e
.
© 2003 par Zoltan P. Dienes
http://www.zoltandienes.com
11