Bac Blanc avril 2015

BACCALAUREAT
BLANC
Session avril 2015
Série : S
Épreuve : Mathématiques ( candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité )
Durée de l'épreuve : 4 heures
coefficient : 7
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE :
Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6
Terminale S – non spé maths – Bac Blanc d’avril 2015 – page 1/6
Exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats
Sur le graphique en annexe 1, on a tracé, dans un repère orthonormé ; , , une courbe et la
droite où et sont les points de coordonnées respectives 0 ; 1 et −1 ; 3.
On désigne par la fonction dérivable sur ℝ dont la courbe représentative est .
On suppose, de plus, qu’il existe un réel tel que pour tout réel ,
= + 1 + 1. a. Justifier que la courbe passe par le point .
b. Déterminer le coefficient directeur de la droite .
c. Démontrer que pour tout réel ,
= 1 − 2 − 1 d. On suppose que la droite est tangente à la courbe au point .
Déterminer la valeur du réel .
Dans les questions suivantes, on prendra :
Pour tout réel ,
= + 1 − 3 et
= 1 + 32 − 1 2.
a. Démontrer que pour tout réel de l’intervalle −1 ; 0, > 0.
b. Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à −1, > 0.
"
c. Démontrer qu’il existe un unique réel de l’intervalle !− ; −1# tel que = 0.
Justifier que
3
< − + 2 × 10 .
2
3. On désigne par 0 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par :
≤≤0
et
0 ≤ 2 ≤ a. Hachurer ce domaine sur l’annexe 1 puis écrire 0 sous la forme d’une intégrale.
?
3. On admet que l’intégrale = = > @ est une valeur approchée de 0 à 10" près.
"
Calculer la valeur exacte de l’intégrale =.
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Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats
Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle 1 ; +∞[ par =
ln Sur l’annexe 2 jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction
ainsi que la droite M d’équation 2 = 1. Calculer les limites de la fonction en +∞ et en 1.
2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle 1 ; +∞[.
3. En déduire que si ≥ alors ≥ .
Partie B : étude d’une suite récurrente
1. On considère la suite OP définie par :
Q
O? = 5
pour tout entier naturel S, OPTU = OP Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe et la droite M, placer les points
? , U et d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives O? , OU et O . On laissera apparents les traits
de construction.
Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite OP ?
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel S, on a : OP ≥ .
b. Déterminer le sens de variation de la suite OP .
c. En déduire que la suite OP est convergente.
3. On donne l’algorithme suivant :
V est une variable réelle ; W est une variable entière
Affecter 5 à X
Affecter 0 à W
Tant que V > 2,72 faire
Affecter V/ ln V à V
Affecter W + 1 à W
Fin de Tant que
Afficher W
A l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
S
OP
0
1
2
3
4
5
5
3,106 674 672 8
2,740 652 532 3
2,718 372 634 6
2,718 281 830 01
2,718 281 828 5
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Exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre
réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est
enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ; O
Z , [.
Soit \ un nombre complexe de la forme + ]2, où et 2 sont des réels.
1. Soit \ le nombre complexe d’affixe 1 + ]^ . L’écriture exponentielle de \ est :
a. √2 `a
b. 4 `a
c
c. √2 ` d
c
d. 4 ` d
2. L’ensemble des points e du plan d’affixe \ = + ]2 tels que |\ − 1 + ]| = g√3 − ]g a pour
équation :
a. − 1 + 2 + 1 = 2
b. + 1 + 2 − 1 = 2
c. − 1 + 2 + 1 = 4
d. 2 = +
√"U
3. On considère la suite de nombres complexes \P définie pour tout entier naturel S par
\? = 1 + ] et \PTU =
UT`
\P . On note eP le point du plan d’affixe \P .
a. Pour tout entier naturel S, le point eP appartient au cercle de centre O et de rayon √2.
b. Pour tout entier naturel S, le triangle eP ePTU est équilatéral.
c. La suite OP définie par OP = |\P | est convergente.
\PTU − \P
j
est
h. Pour tout entier naturel S, un argument de
\P
2
4. Soit , , k trois points du plan complexe d’affixes respectives :
\l = −1 − ]
On pose :
\=
\n − \l
\m − \l
;
\m = 2 − 2]
et
\n = 1 + 5].
a. \ est un nombre réel.
b. Le triangle k est isocèle en .
c. Le triangle k est rectangle en .
d. Le point e d’affixe \ appartient à la médiatrice du segment [k.
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Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de
fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé «temps de
fonctionnement». Soit V la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.
On admet que V suit une loi exponentielle de paramètre p. Le paramètre p est un réel strictement
positif.
s
On rappelle que, pour tout réel q ≥ 0, rV ≤ q = > p t @.
?
1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à
0,6.
Montrer qu’une valeur approchée de p à 10" près est 0,131.
Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur de u et les résultats seront
donnés à vwx près.
2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit
supérieur à 5 heures est égale à 0,52.
3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il
n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.
4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.
5. Déterminer le temps moyen de fonctionnement, en arrondissant à la demi-heure.
6. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants.
Soit W la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de
fonctionnement supérieurs ou égaux à 5 heures.
a. Quelle est la loi suivie par W ?
b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.
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Nom, Prénom :
Annexe à rendre avec la copie
Annexe 1 - Exercice 1
Annexe 2 - Exercice 2
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