LE CARRE INFERNAL

Le carré infernal
Guillaume dit à Maud :
« J’ai découpé des petits carrés de carton de 3 cm sur 3cm dans un grand carré de 15 cm sur
15 cm, sans qu’il y ait de chute ! »
Maud réfléchit et lui répond :
« Tu as raison et je sais même combien tu en as découpé et comment tu les as découpés ! »
Retrouve leur solution en t’aidant avec la feuille réponse ci-jointe.
Le rectangle infernal
À son tour, Maud dit à Guillaume :
« J’ai découpé des petits rectangles de carton de 3 cm sur 5 cm dans un grand rectangle de
15 cm sur 22 cm, sans qu’il y ait de chute ! »
Guillaume réfléchit plus longtemps mais il finit par lui répondre :
« Tu as raison et moi aussi je sais même combien tu en as découpé et comment tu les as
découpés ! »
Retrouve leur solution en t’aidant avec la feuille réponse ci-jointe.
Référence
Situation proposée lors du rallye mathématique organisé par l’AD OCCE 36 - épreuves
préliminaires année 2004 - fiche n° 2.
Compte rendu d’expérience
Problèmes
1ère situation : Le carré infernal
2ème situation : Le rectangle infernal
Classe : CE2
Lieu : École élémentaire du Val (ZEP)
à Hérouville-Saint-Clair
Nombre d’élèves : 20
Durée de la séance : 45 à 50 min
Période de l’année : février 2006
Déroulement et consignes
Les deux situations ont été présentées aux enfants l’une à la suite de l’autre : le carré infernal
puis le rectangle infernal.
Chaque situation a été décrite oralement puis les consignes sont lues collectivement.
Afin de faciliter la mise en œuvre des recherches, les découpages nécessaires étaient préparés à
l’avance. Cependant, ils n’ont été distribués aux élèves que suite à leur demande orale.
Les enfants se sont organisés en groupes de 2 ou 3 pour mener leurs recherches.
Procédures utilisées par les élèves
Dès la présentation de la première situation, les enfants repèrent rapidement que le nombre 15
est dans la table de 3.
Dès le départ, deux stratégies sont avancées.
Chaque groupe démarre rapidement sur la stratégie retenue :
- tâtonnement et manipulations des formes après traçage et découpage ;
- recherche par le calcul : les enfants recherchent « avec combien de fois 3 je peux faire 15 »
(pour le carré).
Dans la situation du rectangle, ils se posent la même question « avec combien de fois 5 je peux
faire 15 ». L’idée de rechercher 22 dans les tables 3 et 5 ne surgit pas immédiatement. Ce n’est
qu’après avoir vu les autres groupes mélanger les dispositions des figures (en fonction du petit
côté ou du grand côté) que l’idée vient de mélanger 3 et 5 pour parvenir à 22. Ce nombre ne se
trouvant ni dans la table de 3 ni dans la table de 5, la recherche s’effectue par tâtonnement en
utilisant des décompositions additives.
Commentaires
Au moment de la présentation des situations, l’écoute est intéressée et la lecture collective des
consignes très attentive.
Un élève redemande le rôle des petites figures par rapport à chacune des grandes figures
géométriques.
Une précision est apportée sur le sens de l’expression « sans chute » (différenciation avec une
chute quand on tombe).
Les enfants font preuve de beaucoup d’intérêt et de curiosité. Des rappels sont donnés
collectivement sur les formes géométriques mises en œuvre (carré : mêmes côtés, rectangle : un
petit côté, un grand côté).
Des demandes d’aide sont formulées par certains groupes.
Dans l’activité sur le rectangle, le problème suivant apparaît rapidement : « Je ne peux pas
remplir tout le grand rectangle en mettant tous les petits rectangles dans le même sens ».
Un groupe part sur l’idée de sens différents : les autres s’en inspirent.
La démarche de recherche pratiquée par l’ensemble des groupes est très coopérative.
Pour l’activité sur le rectangle, les recherches démarrent de manière indépendante au sein de
chaque groupe. Devant les difficultés rencontrées pour disposer les figures, des comparaisons
s’établissent entre les différents groupes ce qui permet à certains de réorienter leurs recherches.
On se déplace pour vérifier si les camarades ont les mêmes difficultés (disposition dans le grand
rectangle).
On respecte les essais de l’autre.
À la fin, on vérifie la procédure proposée par le groupe qui a travaillé sur les décompositions
numériques en disposant les figures selon leurs résultats.
Le carre infernal
Le rectangle infernal
Le carré infernal – le rectangle infernal
Situation
Il s’agit de compléter une figure géométrique plane simple par des figures de forme identique et
de dimensions inférieures. La figure à compléter doit être entièrement recouverte par un nombre
entier de petites figures (pas de chutes).
Compétences générales
- Utiliser ses connaissances pour traiter des problèmes
- Engager une démarche par tâtonnements
- Découvrir une procédure experte qui met en œuvre des propriétés sur les nombres
- Contrôler et discuter la pertinence ou la vraisemblance d’une solution
Compétences spécifiques
Espace et géométrie : figures planes
- Reconnaître de manière perceptive une figure plane
- Tracer une figure avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions
- Décomposer une figure en figures plus petites
Connaissance des nombres entiers naturels
- Donner diverses décompositions d’un nombre
- Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres d’usage courant
- Reconnaître des multiples simples
Prolongements possibles
Utiliser des formes prédécoupées de petite taille pour réaliser la plus grande figure possible en
utilisant le maximum de petites figures. Quelles seraient les dimensions des figures ainsi
réalisées ?
Construire un tableau de correspondance : avec x petits rectangles, je peux obtenir un (ou
plusieurs) grand(s) rectangle(s) de telles dimensions.