TD: Influence d`une charge ponctuelle sur une sph`ere

TD: Influence d’une charge ponctuelle sur une sphère
1 Position du problème
On considère une sphère métallique, de centre O, de rayon R, au potentiel nul et une charge ponctuelle
+Q située en B, sur l’axe (Ox), à une distance d = OB > R.
1. Montrer qu’il apparait par influence une charge −q sur la sphère métallique avec q = Q. R
d.
2. La sphère métallique crée le même potentiel que la charge −q placée en A sur (Ox). Montrer que OA =
2
X = Rd .
3. Calculer le potentiel créé, en tout point M de l’espace, par la charge −q en A et la charge +Q en B. On
établira ce résultat en coordonnées cartesiennes M (x, y) et en coordonnées polaires M (r, θ).
4. Calculer, à partir de l’expression du potentiel en coordonnées polaires, la densité surfacique de charges σ
qui apparaı̂t sur la sphère.
R
Vérifier avec le logiciel de calcul formel que σ.dS = −q.
5. Tracer les équipotentielles et les lignes de champ.
Solution
1. La sphère est reliée à la Terre. La charge +Q, en B, attire des charges négatives de la Terre vers la sphère;
la sphère se charge par influence et il apparaı̂t une charge −q sur la sphère.
L’état réel est donc le suivant:
sphère charge ponctuelle
charge
−q
+Q
potentiel
0
V
On imagine l’état suivant:
sphère
charge
potentiel
charge ponctuelle
q10
V10
=
+Q
q10
1
V20
4.π.ε0 . R
q10 × 0 + 0 × V
0
=
q1
1
4.π.ε0 . d
Q.V 0
q 0 /d
D’après l’identité de Gauss: −q.V10 + Q.V20 =
= 0. On en déduit: q = V 0 2 = Q. q01/R = Q. R
d.
1
1
2. La charge −q n’est pas répartie uniformément à la surface de la sphère. Mais tout se passe comme
si elle
−q
1
était concentrée au point A. Pour un point P à la surface de la sphère, on a: V = 4.π.ε0 . P A + PQB .
Comme le potentiel est nul sur la sphère, on a: PqA = PQB .
On prend comme cas particulier le point N à l’intersection de la sphère et de la droite (AB), entre A et B.
q
Q
On a: V (N ) = 0 ⇒ R−X
= d−R
(1).
On prend comme cas particulier le point M à l’intersection de la sphère et de la droite (AB), en dehors du
q
Q
segment [AB]. On a: V (M ) = 0 ⇒ R+X
= d+R
(2).
q
q
q
R+X
R−X
En résolvant (1) et (2), on a: Q = d+R = d−R ⇒ X = Q
.(d + R) − R = − Q
.(d − R) + R
q
R
=
(ce
qui
est
conforme
à
la
question
1.)
q
⇒ Q
.(R + d + d − R) = 2.R ⇒ Q Rd
2
x = d .(R + d) − R = Rd
Q
−q
1
3. On a: V (M ) = 4.π.ε
. AM
+ BM
avec AM = ((x − X)2 + y 2 )1/2 = (x2 + y 2 + X 2 − 2.X.x)1/2 et
0
BM = ((x − d)2 + y 2 )1/2 = (x2 + y 2 + d2 − 2.d.x)1/2 .
En polaire, on a: AM = (r2 + X 2 − 2.X.r. cos θ)1/2 et BM = (r2 + d2 − 2.d.r. cos θ)1/2
−
→
~ int = ~0 mais sur la surface: E
~ ext = − ∂V
4. À l’intérieur de la sphère métallique, E
∂r r=R .ur =
∂V
le théorème de Gauss). On en déduit: σ = −ε0 . ∂r r=R .
cos θ−r)
a.(x. cos θ−r)
1
D’où: σ = − 4.π
. (r2 +dQ.(d.
−
2 −2.d.r. cos θ)3/2
(r 2 +X 2 −2.X.r. cos θ)3/2
r=R
1
σ −
→
ε0 .ur
(d’après
ISEN-Brest. Kany.
TD: Influence d’une charge ponctuelle sur une sphère
Q.(R−d. cos θ)
a.(R−x. cos θ)
1
⇒ σ = 4.π
. (R2 +d
.
2 −2.d.R. cos θ)3/2 − (R2 +X 2 −2.X.R. cos θ)3/2
R
R π R 2.π
Il faut calculer σ.dS = θ=0 ϕ=0 σ.R.dθ.R. sin θ.dϕ.
2 Code avec Mathematica
Influence d’une charge ponctuelle sur une sphère au potentiel nul
Constantes
In[1]:= epsilon0=10^(-9)/36 Pi; K=1/(4 Pi epsilon0);
Charge ponctuelle en B
In[3]:= Q=.;d=.;
Sphère au potentiel nul
In[4]:= R=.;q=Q R / d; X=R^2/d;
Potentiel de la sphère
In[5]:= Vpolaire[r ,theta ]:=K (Q (r^2+d^2-2 r d Cos[theta])^(-1/2)
-q (r^2+X^2-2 X r Cos[theta])^(-1/2))
In[6]:= Vcartesienne[x ,y ]:=K (Q (x^2+y^2+d^2-2 x d)^(-1/2)
-q (x^2+y^2+X^2-2 x X)^(-1/2))
Charge de la sphère
In[7]:= Sigma[theta ]:=Simplify[-epsilon0 D[Vpolaire[r,theta],r] /.{r->R}]
In[8]:= Sigma[theta]
Out[8]=
Q (-R + d Cos[theta])
Q R (d - R^2 Cos[theta])
-(---------------------------------- + ------------------------------------------)
(d^2+ R^2- 2 d R Cos[theta])^(3/2)
R^2 (d^2+ R^2- 2 d R Cos[theta])
d^2 (-------------------------------)^(3/2)
d^2
---------------------------------------------------------------------------4 Pi
In[9]:= dS= 2 Pi R^2 Sin[theta];
In[10]:= charge=Integrate[Sigma[theta] dS,{theta,0,Pi}]
Out[10]=
(d-R)^2 R^2
R^2 (d+R)^2
Q Sqrt[-----------]
Q Sqrt[-----------]
-(Q (d - R))
d^2
Q (d + R)
d^2
---------------- - ------------------- + ---------------- - ------------------2 Sqrt[(d - R)^2]
2 (d - R)
2 Sqrt[(d + R)^2]
2 (d + R)
In[11]:= charge/.{((d-R)^2)^(-1/2)->1/(d-R),Sqrt[(d-R)^2 R^2/d^2]-> (d-R) R/d,
Sqrt[R^2 (d+R)^2/d^2]-> R (d+R)/d, ((d+R)^2)^(-1/2)->1/(d+R)}
2
ISEN-Brest. Kany.
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Out[11]= - Q R / d
Potentiel total
In[12]:= Potentiel[x ,y ]:=N[Vcartesienne[x,y]];
In[13]:= d=0.35;Q=1000*1.6 10^(-19);R=0.1;
Graph1=ContourPlot[Potentiel[x,y],{x,-.6,.6},{y,-.6,.6},
ContourShading->False,Frame->True,Contours->20,PlotPoints->{20,20}]
In[15]:= Graph2=Graphics[{Disk[{0,0},R],Disk[{d,0},0.01]}]
In[16]:= Show[Graph1,Graph2,PlotRange->{{-.6,.6},{-.6,.6}}]
Out[16]= -Graphics-
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Lignes de champ
In[17]:= xmax2=.6;ymax2=.6; lambda=10^-3;d0=0.003;
Identite:={Point[{x,y}]};
SymAxeX :={Point[{x,y}],Point[{x,-y}]};
SymAxeY :={Point[{x,y}],Point[{-x,y}]};
SymCentreO:={Point[{x,y}],Point[{-x,y}], Point[{x,-y}],Point[{-x,-y}]};
Incrementation[distribution ,symetrie ]:=( x=xy[[1]];y=xy[[2]];
Norme=lambda/Sqrt[Ex^2+Ey^2]; If[Norme<10^-5,condition2=False;Print["Probleme !"];];
xy=xy+Norme*{Ex,Ey}; Dessin=Join[Dessin,symetrie];)
In[25]:= LigneChamp[distribution ,origine ,thetamin ,thetamax ,symetrie ]:=(
Dessin={Point[{0,0}]};i=.;Ex=.;Ey=.;Norme=.;condition=.;
If[symetrie==Identite,
condition:=xy[[1]]<xmax2 && xy[[1]]>-xmax2 && xy[[2]]<ymax2 && xy[[2]]>-ymax2];
If[symetrie==SymAxeX,
condition:=xy[[1]]<xmax2 && xy[[1]]>-xmax2 && xy[[2]]<ymax2 && xy[[2]]>0];
If[symetrie==SymAxeY,
condition:=xy[[1]]<xmax2 && xy[[1]]>0 && xy[[2]]<ymax2 && xy[[2]]>-ymax2];
If[symetrie==SymCentreO,
condition:=xy[[1]]<xmax2 && xy[[1]]>0 && xy[[2]]<ymax2 && xy[[2]]>0];
3
ISEN-Brest. Kany.
TD: Influence d’une charge ponctuelle sur une sphère
imax=15; Ex=-D[distribution,x];Ey=-D[distribution,y];
For[i=0,i<=imax,i++,
condition2=True;
theta=N[thetamin+(thetamax-thetamin)*i/imax];
xy=origine+{d0 Cos[theta],d0 Sin[theta]};
While[condition && condition2,Incrementation[distribution,symetrie]]];
Graph3=Show[Graphics[Dessin],Axes->True,AspectRatio->1,
PlotRange->{{-xmax2,xmax2},{-ymax2,ymax2}}])
In[26]:= x=.;y=.;distribution=Potentiel[x,y];
LigneChamp[distribution,{d,0},0,Pi,SymAxeX];
In[28]:= Show[Graph3,Graph2]
Out[28]= -Graphics-
3 Code avec Python
Équipotentielles et lignes de champ.
# -*- coding: utf-8 -*import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import *
Equipotentielles
0.000009310
0.4
0.000008276
0.000007241
0.2
0.000006207
0.000005172
0.0
0.000004138
0.2
0.000003103
0.000002069
0.4
0.000001034
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.000000000
4
ISEN-Brest. Kany.
TD: Influence d’une charge ponctuelle sur une sphère
par la fonction gradient
par l’expression littérale
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