Les vecteurs I-Définition des vecteurs - Pagesperso

Seconde
Les vecteurs
Introduction :
Les vecteurs sont fondamentaux :
– En Mathématiques : Le calcul vectoriel est un outil très puissant apparu à la fin du 19 ième
siècle pour effectuer des démonstrations en Géométrie ( alignement, parallélisme...)
– En Physique : Galilée « La Nature est écrite en langage mathématique ». Les vecteurs
permettent de décrire des grandeurs cinématiques comme la vitesse et l'accélération et les
forces ( Gravitationnelles et électromagnétiques). La deuxième loi de Newton traduit une
relation entre grandeurs vectorielles : f =m×
a
Comme son lien avec la Physique le laisse supposer, les vecteurs permettent d'introduire la notion
de mouvement dans la Géométrie.
I-Définition des vecteurs
1-La translation
Définition : Soient A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout
point C l'unique point D tel que [BC] et [AD] aient le même milieu.
Important : Pour construire D, on peut tracer le parallélogramme ABDC
Vocabulaire : D est appelé l'image de C par la translation qui transforme A en B.
1/8
Seconde
Cas particulier :
A,B, et C sont alignés ( parallélogramme aplati)
La translation est une transformation du plan, comme la symétrie centrale, la symétrie axiale.
Elle conserve les milieux, l'alignement, les distances, les angles.
C'est une isométrie (distances) et même un déplacement (distances et angles)
2-Les vecteurs
Définition :
Soient deux points A et B donnés, D l'image de C par la translation qui transforme A en B. Les
points A et B pris dans cet ordre, et les points C et D, pris dans cet ordre, représentent le même
u:
vecteur 
 CD

u = AB=

u , car on peut le tracer en
Remarque : Il existe une infinité de façon de représenter le vecteur 
chaque point du plan.
2/8
Seconde
Exemple : force gravitationnelle qui existe en plusieurs points. Cas de la surface terrestre.

Vocabulaire : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB
 on trace le segment [AB] puis on dessine une flèche en B
A savoir : Pour dessiner un vecteur AB
 0
Cas particulier : AA=
Propriétés : Égalité de deux vecteurs
(1)
 CD
 ⇔ [AD] et [BC] ont le même milieu
AB=
(2)
 CD
 ⇔ ABDC est un parallélogramme
AB=
(3)
 =CD
 ⇒ (AB) est parallèle à (CD) , AB=CD , et AB et CD sont dans le même ordre.
AB
Remarque : Si les points ABCD sont tels que  AB∥CD e AB=CD et AB et CD n'ont pas le même sens,
les vecteurs AB et CD sont opposés.
Définition :
Deux vecteurs opposés ont même direction, même longueur, et sont des sens opposés.
Exemple :
3/8
Seconde


BA=−
AB


Soit I milieu du segment [AB], on a : IA=−
IB
Théorème:
 ⇔ AC
 = BD

 CD
AB=
Démonstration:
 ⇔ ABDC parallélogramme ACDB parallélogramme AC

 CD
 = BD
AB=
4/8
Seconde
II-Coordonnées d'un vecteur
Définition :
Le plan est muni d'un repère (O;I,J)
u dans un repère (O;I;J) sont les coordonnées du point M tel que :
Les coordonnées d'un vecteur 

OM = 
u
Notation : Soit M(x;y) le point du plan tel que :
 =
OM
u , on note :
ux ; y

 1 ; 0 , OJ
 0 ;1 et u −1 ;4 
Exemple : OI
Propriété 1:
u  x ; y =
v  x ' y ' ⇔ x=x ' et y= y '
Propriété 2:
Soit A '  x A ' ; y A ' l'image de A x A ; y A  par la translation de vecteur u
x ; y
On a :
x A ' =x Ax
y A '=y A y
 =
Démonstration : On considère M tel que OM
u et on considère que les segments [AM] et [OA']
ont même milieu.
x A x M x Ox A '
Or x M=x d'après la définition des coordonnées d'un vecteur et x O=0 car O
=
2
2
est l'origine du repère.
x A x 0x A '
=
⇒ x A '=x Ax
2
2
u , c'est « se déplacer de x » sur l'axe des
Pour mémoire : Effectuer la translation de vecteur 
abscisses puis « de y » sur l'axe des ordonnées.
Propriété 3:
Soient deux points du plan A x A ; y A  et B  x B ; y B  , alors on a :
  x B −x A ; y B − y A
AB
5/8
Seconde
Démonstration :
On peut utiliser directement le résultat précédent, ou utiliser la même méthode que dans la
démonstration précédente.
[AM] et [OB] ont même milieu donc :
x A x x B 0
=
⇔ x A x=x B ⇔ x=x B−x A
2
2
Retenir : coordonnées du deuxième point – coordonnées du premier point.
Cas particuliers :
–
–
–
–
  sont (x;y)
Soit M(x;y) et O l'origine du repère alors les coordonnées du vecteur OM
Les coordonnées du vecteur nul sont (0;0)
u a ;0 avec a un réel non nul, alors 
u est parallèle à l'axe des abscisses
Soit 
u
0
;
a
Soit 
avec a un réel non nul, alors u est parallèle à l'axe des ordonnées
On dit que deux vecteurs qui ont même direction sont colinéaires
6/8
Seconde
III-Somme de vecteurs
Définition :
La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur s résultant de l'enchaînement des
u et t' de vecteur v .
translations t de vecteur 
On écrit :
u v
s=
Conséquence : Si t envoie A en B et si t' envoie B en C, alors l'enchaînement de t et de t' envoie A
en C, d'où la première des propriétés suivantes:
Propriétés
Relation de Chasles. Du nom du mathématicien français Michel Chasles (1793-1880)
 BC
 = AC

(1) AB
(2) Soit
 u et AC
 =v
AB=
Le point D tel que
parallélogramme
 =
AD
u  v est l'unique point du plan qui vérifie : ABDC est un
 = BD

Démonstration : On construit le point D tel que AC
Figure.
Somme des forces appliquées à une boule sur une pente. Gravité et Réaction.
Propriétés :
u  x ; y et 
v  x ' ; y '  alors 
u v a pour coordonnées (x + x'; y + y')
(1) Soit 
 =
 '=v . Les
Démonstration : On considère le point M tel que OM
u et le point M' tel que MM
coordonnées de M sont (x;y) par définition des coordonnées d'un vecteur. Et les coordonnées de M'
sont (x+x';y+y') car M' est l'image de M par la translation de vecteur v . Par définition des
u v sont celles du point M'
coordonnées d'un vecteur les coordonnées de 
u v =v  
u
(2) 
Démonstration : on peut utiliser les coordonnées
7/8
Seconde
Définition :
u et v est :
La différence des vecteurs 
u – v =u −v 

Exemple : Calculer
 AC

AB−
IV-Colinéarité
1-Multiplication d'un vecteur par un réel.
2-Vecteurs colinéaires.
3-Propriétés importantes.
Points alignés
Droites parallèles.
8/8