Chapitre 5 Proportionnalité et quotients

Chapitre 5
Proportionnalité et quotients
I
Situation problème : Le puzzle
ère
1 séance : confection du puzzle initial, recherche individuelle
2ème séance : groupe :affiche
3ème séance :
Institutionnalisation :
Le but est d’agrandir ce puzzle. Pour que ce puzzle soit bien agrandi (que
les pièces restent les mêmes, mais plus grandes), il faut que les pièces de
départ et celles du puzzle agrandies soient proportionnelles.
Ainsi, pour répondre à la question on aurait pu faire le tableau de
proportionnalité suivant :
Pièces du départ
Pièces agrandies
4
6
2
5
6
7
9
× 1,5
On peut ainsi, avec ces nouvelles mesures, tracer le puzzle agrandi.
Le donner comme travail à faire chez eux.
II
Résolution de problèmes
Activité 1
Titeuf prend le train pour rejoindre Manu à la fête foraine.
Le train, qui roule toujours à la même vitesse, parcourt 27 Km
en 9 mn.
Quelle distance Titeuf aura-t-il parcouru en 10 mn ?
Consigne : Commence par trier les données dans un tableau :
temps en mn
9
distance en Km
27
10
× ....3........
10 x 3 = 30
Il aura parcouru 30 Km en 10mn.
1
Activité 2
Titeuf affirme que son équipe de Basket de rue a perdu seulement 20% des
matchs.
C’est-à-dire que s’ils avaient joué 100 matchs, ils en auraient perdu 20.
En réalité, cette saison l’équipe a perdu 3 matchs.
Combien de rencontres y a-t-il eu cette année ?
matchs perdus
20
3
× ....5........
matchs
100
3x5=15
L’équipe de Titeuf a joué 15 fois cette année.
Activité 3
Dans la classe de Titeuf, la maîtresse a dit qu’il y avait 20% de filles.
Titeuf a compté 6 filles.
Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ?
Activité 4
Pour faire des rideaux la maman de Titeuf achète du tissu.
5 mètres de tissu coutent 35 €.
Elle en achète 6 mètres. Combien va-t-elle payer ?
Activité 5
Pour son anniversaire, Titeuf invite ses copains et Nadia.
Il veut faire 55 crêpes.
Dans la recette, pour 10 crêpes il faut 120 g de farine.
Quelle quantité de farine lui faudra-t-il ?
Feuille 1
2
III
Quotients
III.1 Activités
Situation problème : le puzzle
« la division de 9 par 7 ne se termine jamais ». On ne peut pas écrire 9 :
9
7 sous forme décimale : on l’écrit donc sous forme fractionnaire :
7
« ce sont des nouveaux nombres »
compléter sur l’activité et le marquer dans le cours :
3×
7
=7
3
7
est le nombre qui multiplié par 3 donne 7.
3
Remarque :
•
Il existe d’autres nombres que les nombres décimaux.
7
n’est pas un
3
nombre décimal.
•
Le quotient de 16 par 5 peut s’écrire 3,2 ou
16
.
5
16
est le nombre qui multiplié par 5 donne 16.
5
III.2 Définition
a
est le nombre qui multiplié par b donne a
b
a
est le quotient de a par b.
b
Exemples :
• Trouver le coefficient de proportionnalité sous forme fractionnaire (le
1er)et sous forme décimale si possible (le deuxième)
7
×........
×........
84
En donner un autre qui n’a pas d’écriture
•
Complète :
3
5 × ……. = 4
2
× 5 = ………..
5
3,5 × ….. = 8
Vocabulaire :
NUMERATEUR
3
2
DENOMINATEU
Exemples :
Trouver le coefficient de proportionnalité sous forme fractionnaire (le 1er)et
sous forme décimale si possible (le deuxième)
×........
7
×........
84
84
=12
7
En faire un autre qui n’ait pas d’écriture décimale.
Coefficient :
Définition :
On appelle écriture décimale d’un quotient, le résultat (s’il existe) de la division.
Exemples :
5
= 2,5
2
2
=0,4
5
1035
= 103,5
10
145
= 1,45
100
mais
2
n’a pas d’écriture décimale
3
Feuille 2 (facultative)
Feuille 3
IV
Différentes écritures fractionnaires d’un quotient
IV.1 Règle
Activité 10
Peter Pan va acheter des bonbons pour les enfants perdus et lit que pour 100g il
faut payer 2€.
Comme il a très faim il va acheter 200g.
Il paiera donc 4€.
Retrouve les deux coefficients de proportionnalité.
x ….
100
200
x ….
4
2
4
2
......
=
.
100 .......
Donc
Propriété fondamentale :
Un nombre en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie (ou on divise)
le numérateur ET le dénominateur par un même nombre.
Exemple :
3
=
2
15
10
Feuille 4
IV.2 Application
Activité
Parmi les nombres suivants, trouve :
732
•
ceux qui sont divisibles par 2
•
ceux qui sont divisibles par 3
•
ceux qui sont divisibles par 5
•
ceux qui sont divisibles par 7
•
ceux qui sont divisibles par 9.
;
595
;
1418
;
1789
;
607 ;
104
; 733 ;
9000.
Critères de divisibilité :
•
Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Autrement dit les nombres divisibles par 2 sont les entiers pairs.
•
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Autrement dit un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans
la table de 3.
5
•
Un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
•
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
•
Un entier est divisible par 10 si sont chiffre des unités est 0.
Exemples : 405 ;205 ;212 ;306…..
Simplification de quotients
Pour simplifier un quotient, on divise le numérateur et le dénominateur
par un même nombre.
Exemples
20 45 18 72
;
;
;
25 18 14 27
On dit qu’on a simplifié le quotient par 5
Feuille 5
V
Multiplication d’un quotient par un nombre entier
Multiplication par un nombre entier (Exemples):
3
5×3
15
=
=
2
2
2
3
2×3
6
2×
=
=
2
2
2
5×
Feuille 6 (sauf 5 ?)
6