Centre d`inertie et matrices d`inertie des volumes simples

Centre d`inertie et matrices d`inertie des volumes simples

Géométrie des masses de solides homogènes
Corps homogène de masse m
Centre
d’inertie
x
O
centre
y
z
cylindre creux : rayon R et longueur l
x
O
y
centre
z
cylindre plein : rayon R et longueur l
z
G G G
Matrice d’inertie en (O, x, y , z )
1
Ê1
mR 2 +
ml 2
Á2
12
Á
Á
0
Á
Á
0
ÁÁ
Ë
1
Ê1
mR 2 +
ml 2
Á4
12
Á
Á
0
Á
Á
ÁÁ
0
Ë
(
O
x
centre
y
parallélépipède rectangle : coté a, b, c
z
O
y
centre
x
Ê 1
m b2 + c 2
Á 12
Á
Á
0
Á
Á
ÁÁ
0
Ë
0
1
1
mR 2 +
ml 2
2
12
0
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
˜
1
mR 2 ˜˜
¯
2
0
0
1
1
mR 2 +
ml 2
4
12
0
)
0
ˆ
˜
˜
˜
0
˜
˜
1
m a 2 + b 2 ˜˜
¯
12
0
(
1
m a2 + c 2
12
Ê2
mR 2
Á3
Á
Á 0
Á
Á
ÁÁ 0
Ë
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
2˜
mR ˜
˜¯
0
0
0
)
(
)
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
˜
2
mR 2 ˜˜
¯
3
0
2
mR 2
3
0
sphère creuse : rayon R
z
O
x
y
centre
Ê2
mR 2
Á5
Á
Á 0
Á
Á
ÁÁ 0
Ë
0
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
˜
2
mR 2 ˜˜
¯
5
0
2
mR 2
5
0
sphère pleine : rayon R
z
zC =
O
y
x
cône plein : rayon R , hauteur h
3h
4
Ê 3m Ê R 2
ˆ
+ h2 ˜
Á
Á
¯
Á 5 Ë 4
Á
Á
0
Á
Á
Á
0
Á
ÁË
0
ˆ
3m Ê R 2
+ h2 ˜
Á
5 Ë 4
¯
0
ˆ
˜
˜
˜
0 ˜
˜
˜
3m R 2 ˜
˜
5 2 ˜¯
0
Centre
d’inertie
Corps homogène de masse m
z
zC =
x
O
Matrice d’inertie
1
Ê1
mR 2 + mh 2
Á4
2
Á
Á
0
Á
Á
ÁÁ
0
Ë
2h
3
y
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
˜
1
mR 2 ˜˜
¯
2
0
0
1
1
mR 2 + mh 2
4
2
0
cône creux : rayon R , hauteur h
Ê2
mR 2
Á3
Á
Á 0
Á
Á
ÁÁ 0
Ë
O
x
zC =
z
R
2
y
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
˜
2
mR 2 ˜˜
¯
3
0
0
2
mR 2
3
0
demi sphère creuse : rayon R
z
(
Ê1
m b2 + c 2
Á3
Á
Á
0
Á
Á
ÁÁ
0
Ë
O
x
centre
y
)
0
ˆ
˜
˜
˜
0
˜
˜
1
m a 2 + b 2 ˜˜
¯
3
0
(
1
m a2 + c 2
3
0
)
(
ellipsoïde : axes 2a, 2b, 2c
Ê1
ma 2
Á3
Á
Á 0
Á
Á 0
ÁÁ
Ë
y
O
centre
x
z
tige rectiligne : longueur 2a
y
xC = yC =
x
2R
p
O
quart de cercle : rayon R
Ê1
mR 2
Á2
Á
Á 1 mR 2
Áp
Á
ÁÁ 0
Ë
0
1
ma 2
3
0
1
mR 2
p
1
mR 2
2
0
ˆ
˜
˜
0˜
˜
0˜˜
˜¯
0
ˆ
˜
˜
0 ˜
˜
2˜
mR ˜
˜¯
0
y
x
O
quart de plaque elliptique : demi-axes
a, b
4a
3p
4b
yC =
3p
xC =
Ê 1
mb 2
Á 4
Á
Á 1 mab
Á 2p
Á
ÁÁ
0
Ë
1
mab
2p
1
ma 2
4
0
ˆ
˜
˜
˜
0
˜
˜
1
2
m (a + b ) ˜˜
¯
4
0
)
Centre
d’inertie
Corps homogène de masse m
y
x
O
xC =
2 sin a
R
a
3
secteur circulaire : rayon R
y
x
O
centre
rectangle : a et b
z
O
x
y
centre
tore plein : rayons R et a
z
O
centre
y
x
tore creux : rayons R et a
z
xC =
O
y
x
pyramide : a, b, h
h
4
Matrice d’inertie
Ê1
sin2a ˆ
2Ê
Á 4 mR ÁË 1 - 2a ˜¯
Á
Á
0
Á
Á
Á
0
ÁÁ
Ë
Ê4
mb 2
Á3
Á
Á 0
Á
Á
ÁÁ 0
Ë
Ê Ê a 2 5R 2 ˆ
+
ÁmÁ
8 ˜¯
Á Ë 2
Á
Á
0
Á
Á
Á
Á
0
ÁË
Ê Ê a 2 5R 2 ˆ
+
ÁmÁ
4 ˜¯
Á Ë 2
Á
Á
0
Á
Á
Á
Á
0
ÁË
Ê Ê b2 h2 ˆ
+
ÁmÁ
˜
Á Ë 20 10 ¯
Á
Á
0
Á
Á
Á
0
Á
ÁË
ˆ
˜
˜
˜
0 ˜
˜
˜
1
2
mR ˜˜
2
¯
0
0
1
sin2a ˆ
Ê
mR 2 Á1 +
Ë
4
2a ˜¯
0
0
ˆ
˜
˜
˜
0
˜
˜
4
m a 2 + b 2 ˜˜
¯
3
0
4
ma 2
3
0
(
0
Ê a2 5R 2 ˆ
mÁ
+
8 ˜¯
Ë 2
0
0
Ê a2 5R 2 ˆ
mÁ
+
4 ˜¯
Ë 2
0
0
Ê a2 h2 ˆ
mÁ
+
˜
Ë 20 10 ¯
0
)
ˆ
˜
˜
˜
˜
0
˜
˜
Ê 2 3R 2 ˆ ˜
˜
m Áa +
4 ˜¯ ˜¯
Ë
0
ˆ
˜
˜
˜
˜
0
˜
˜
Ê 2 3R 2 ˆ ˜
˜
m Áa +
2 ˜¯ ˜¯
Ë
0
ˆ
˜
˜
˜
˜
0
˜
˜
m 2
2 ˜
a +b ˜
20
˜¯
0
(
)