Centre d`inertie et matrices d`inertie des volumes simples
Transcription
Centre d`inertie et matrices d`inertie des volumes simples
Géométrie des masses de solides homogènes Corps homogène de masse m Centre d’inertie x O centre y z cylindre creux : rayon R et longueur l x O y centre z cylindre plein : rayon R et longueur l z G G G Matrice d’inertie en (O, x, y , z ) 1 Ê1 mR 2 + ml 2 Á2 12 Á Á 0 Á Á 0 ÁÁ Ë 1 Ê1 mR 2 + ml 2 Á4 12 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë ( O x centre y parallélépipède rectangle : coté a, b, c z O y centre x Ê 1 m b2 + c 2 Á 12 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë 0 1 1 mR 2 + ml 2 2 12 0 ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 1 mR 2 ˜˜ ¯ 2 0 0 1 1 mR 2 + ml 2 4 12 0 ) 0 ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 1 m a 2 + b 2 ˜˜ ¯ 12 0 ( 1 m a2 + c 2 12 Ê2 mR 2 Á3 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 2˜ mR ˜ ˜¯ 0 0 0 ) ( ) ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 2 mR 2 ˜˜ ¯ 3 0 2 mR 2 3 0 sphère creuse : rayon R z O x y centre Ê2 mR 2 Á5 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë 0 ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 2 mR 2 ˜˜ ¯ 5 0 2 mR 2 5 0 sphère pleine : rayon R z zC = O y x cône plein : rayon R , hauteur h 3h 4 Ê 3m Ê R 2 ˆ + h2 ˜ Á Á ¯ Á 5 Ë 4 Á Á 0 Á Á Á 0 Á ÁË 0 ˆ 3m Ê R 2 + h2 ˜ Á 5 Ë 4 ¯ 0 ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 3m R 2 ˜ ˜ 5 2 ˜¯ 0 Centre d’inertie Corps homogène de masse m z zC = x O Matrice d’inertie 1 Ê1 mR 2 + mh 2 Á4 2 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë 2h 3 y ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 1 mR 2 ˜˜ ¯ 2 0 0 1 1 mR 2 + mh 2 4 2 0 cône creux : rayon R , hauteur h Ê2 mR 2 Á3 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë O x zC = z R 2 y ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 2 mR 2 ˜˜ ¯ 3 0 0 2 mR 2 3 0 demi sphère creuse : rayon R z ( Ê1 m b2 + c 2 Á3 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë O x centre y ) 0 ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 1 m a 2 + b 2 ˜˜ ¯ 3 0 ( 1 m a2 + c 2 3 0 ) ( ellipsoïde : axes 2a, 2b, 2c Ê1 ma 2 Á3 Á Á 0 Á Á 0 ÁÁ Ë y O centre x z tige rectiligne : longueur 2a y xC = yC = x 2R p O quart de cercle : rayon R Ê1 mR 2 Á2 Á Á 1 mR 2 Áp Á ÁÁ 0 Ë 0 1 ma 2 3 0 1 mR 2 p 1 mR 2 2 0 ˆ ˜ ˜ 0˜ ˜ 0˜˜ ˜¯ 0 ˆ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 2˜ mR ˜ ˜¯ 0 y x O quart de plaque elliptique : demi-axes a, b 4a 3p 4b yC = 3p xC = Ê 1 mb 2 Á 4 Á Á 1 mab Á 2p Á ÁÁ 0 Ë 1 mab 2p 1 ma 2 4 0 ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 1 2 m (a + b ) ˜˜ ¯ 4 0 ) Centre d’inertie Corps homogène de masse m y x O xC = 2 sin a R a 3 secteur circulaire : rayon R y x O centre rectangle : a et b z O x y centre tore plein : rayons R et a z O centre y x tore creux : rayons R et a z xC = O y x pyramide : a, b, h h 4 Matrice d’inertie Ê1 sin2a ˆ 2Ê Á 4 mR ÁË 1 - 2a ˜¯ Á Á 0 Á Á Á 0 ÁÁ Ë Ê4 mb 2 Á3 Á Á 0 Á Á ÁÁ 0 Ë Ê Ê a 2 5R 2 ˆ + ÁmÁ 8 ˜¯ Á Ë 2 Á Á 0 Á Á Á Á 0 ÁË Ê Ê a 2 5R 2 ˆ + ÁmÁ 4 ˜¯ Á Ë 2 Á Á 0 Á Á Á Á 0 ÁË Ê Ê b2 h2 ˆ + ÁmÁ ˜ Á Ë 20 10 ¯ Á Á 0 Á Á Á 0 Á ÁË ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ ˜ 1 2 mR ˜˜ 2 ¯ 0 0 1 sin2a ˆ Ê mR 2 Á1 + Ë 4 2a ˜¯ 0 0 ˆ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ 4 m a 2 + b 2 ˜˜ ¯ 3 0 4 ma 2 3 0 ( 0 Ê a2 5R 2 ˆ mÁ + 8 ˜¯ Ë 2 0 0 Ê a2 5R 2 ˆ mÁ + 4 ˜¯ Ë 2 0 0 Ê a2 h2 ˆ mÁ + ˜ Ë 20 10 ¯ 0 ) ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ Ê 2 3R 2 ˆ ˜ ˜ m Áa + 4 ˜¯ ˜¯ Ë 0 ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ Ê 2 3R 2 ˆ ˜ ˜ m Áa + 2 ˜¯ ˜¯ Ë 0 ˆ ˜ ˜ ˜ ˜ 0 ˜ ˜ m 2 2 ˜ a +b ˜ 20 ˜¯ 0 ( )