Semi-conducteur intrinsèque

Semi-conducteur intrinsèque
Introduction
On dit qu’un semi-conducteur est intrinsèque quand il ne contient aucune impureté
délibérément introduite lors de sa fabrication. Par exemple, on suppose qu’un cristal de
silicium intrinsèque est un cristal ne contenant que des atomes de silicium. En pratique, ce cas
idéal n’est bien sûr pas réalisé et il existe toujours une concentration d’impuretés résiduelles
que l’on s’attache à minimiser lors de l’élaboration. Dans la suite, nous considérerons le cas
idéal.
La description du fonctionnement des dispositifs à semi-conducteurs nécessite la
connaissance de la densité de porteurs libres (électrons en bande de conduction, trous en
bande de valence). Pour un semi-conducteur intrinsèque, ces porteurs libres ne proviennent
que de transitions électroniques de la bande de valence vers la bande de conduction sous
l’effet d’excitations extérieures, optiques ou thermiques par exemple. Ainsi, un semi
conducteur intrinsèque est un isolant à 0K mais devient progressivement conducteur quand sa
température augmente car le nombre de porteurs libres (nul à 0K) augmente avec la
température (cf. figure 1)
Figure 1 : concentration intrinsèque de
porteurs en fonction de l’inverse de la
température dans Si, Ge et GaAs
Pour calculer la densité de porteurs libres, il faut connaître la densité d’états en bande
de conduction et en bande de valence et la probabilité d’occupation de ces états.
La densité d’états se calcule à partir de la structure de bandes qui, dans le cas général,
est complexe (cf. figure 2). Cependant, les variations de la densité de porteurs libres se
produisent essentiellement au voisinage du sommet de la bande de valence et du minimum de
la bande de conduction et ce sont donc ces domaines de la structure de bandes qui jouent un
r
rôle primordial. Dès lors, pour ces 2 régions, on va approximer les courbes E (k ) de la
structure de bandes par des paraboles, soit :
r
h 2k 2
pour la bande de conduction
(1.1)
E (k ) = Ec +
2me*
r
h2k 2
pour la bande de valence
(1.2)
et
E (k ) = Ev −
2mh*
avec me* et mh* les masses effectives respectivement des électrons en bas de bande de
conduction et des trous en haut de bande de valence. Cette approximation revient à considérer
les porteurs au voisinage des extrema des bandes comme des électrons (trous) libres mais
avec une masse effective m * différente de la masse de l’électron (trou) dans le vide m0 . Le
calcul de la densité d’états est alors le même que pour un gaz d’électrons (trous) libres en
remplaçant m0 par m * .
Figure 2 : Structures de bandes de Ge, Si et GaAs, où Eg est le gap. Les signes (+) et (-)
représentent des trous en bande de valence et des électrons en bande de conduction
respectivement. (D’après Chelikowsky et Cohen)
La probabilité d’occupation des états est donnée par la statistique de Fermi :
1
f (E) =
E − EF
1 + exp(
)
kT
A) Cas de bandes isotropes et non dégénérées
1) Déterminer l’expression de la densité d’états pour une bande de conduction et une bande
de valence décrites par les expressions (1.1) et (1.2).
2) Ecrire les équations donnant la densité d’électrons libres en bande de conduction (n) et de
trous libres en bande de valence (p).
3) Dans le cas où E F est distant de plusieurs kT de E c et E v (semi-conducteur non
dégénéré), calculer n et p. Montrer qu’ils peuvent se mettre sous la forme :
E F − Ec
)
kT
E − EF
p = N v exp( v
)
kT
n = N c exp(
avec
avec
2πme* kT 3 / 2
)
h2
2πmh* kT 3 / 2
)
N v = 2(
h2
N c = 2(
Dans l’expression de N c et N v , seule intervient la masse effective comme paramètre de la
structure de bandes.
4) En considérant l’électroneutralité du système, déterminer la position du niveau de Fermi
en fonction de la température.
5) Calculer la concentration en porteurs libres du semi-conducteur intrinsèque ni.
B) Applications aux semi-conducteurs usuels
Les expressions ci-dessus sont dérivées pour le cas où la masse effective est isotrope,
c’est-à-dire que les surfaces d’énergie constante sont des sphères. Dans le cas de semiconducteurs réels, ce n’est pas toujours le cas. On peut alors se ramener aux expressions
précédentes en utilisant une masse effective apparente ma* .
Dans le cas d’une bande de valence réelle (Ge, Si ou GaAs, fig.2), le sommet de la
bande se divise en 2 bandes isotropes vérifiant la relation de dispersion (1.2) avec les masses
2/3
3/ 2
3/ 2
*
(‘heavy holes’). Dans ce cas, m *a =  m *lh + m *hh  .
effectives mlh* (‘light holes’) et mhh


Dans le cas d’une bande de conduction réelle, il peut exister plusieurs minima
équivalents (Ge ou Si, figure 3) vérifiant la relation de dispersion :
r
h 2 k12 k 22 k 32
E (k ) = E c +
(
+
+
)
2 m1* m2* m3*
Les indices 1,2,3 se rapportent à 3 directions orthogonales constituant les axes principaux
d’une ellipsoïde d’énergie constante. On a alors ma* = (m1* m2* m3* )1 / 3 . En général, m1* = ml*
(masse effective longitudinale suivant le grand axe de l’ellipsoïde) et m2* = m3* = mt* (masse
effective transverse). Enfin, la densité d’états est à multiplier par le nombre de minima
équivalents de la bande de conduction (8 pour Ge, 6 pour Si).
Figure 3 : Surfaces d’énergie constante au voisinage du minimum de la bande de conduction
pour Ge, Si et GaAs représentées dans l’espace réciproque. Pour Ge, il existe 8 ellipsoïdes de
révolution le long des axes [111]. Pour Si, il y a 6 ellipsoïdes le long des axes [100]. Pour
GaAs, la surface est sphérique au centre de la zone de Brillouin.
Semiconducteur
Si
Ge
GaAs
InAs
bande interdite
(eV)
300K
0K
1.12
1.17
0.66
0.74
1.42
1.52
0.36
0.42
m*e/m0
électrons
m*l
m*t
0.98
0.19
1.64
0.082
0.067
0.067
0.026
0.026
m*e/m0
trous
m*lh
m*hh
0.16
0.49
0.044
0.28
0.082
0.45
0.025
0.41
mobilité à 300K
(cm2/V.s)
électrons Trous
1500
450
3900
1900
8500
400
33000
460
Tableau 4 : Propriétés de quelques semi-conducteurs
1) A partir des données fournies dans le tableau 4, calculer la concentration intrinsèque de
porteurs libres pour Si, Ge, GaAs et InAs à 300K. Comparer à un métal.
2) La conductivité σ d’un semi-conducteur est donnée par :
σ = nµne + pµpe
où n (p) et µn (µp) sont respectivement la concentration et la mobilité des électrons (des trous)
en bande de conduction (de valence).
Calculer la conductivité intrinsèque des 4 semi-conducteurs précédents à 300K.
Eléments de réponse
V
A.1) bande de conduction : Dc(E) =
4π 2
V
Bande de valence : Dv(E) =
4π 2
3/ 2
3/ 2
(E − Ec )1 / 2
(Ev − E )1 / 2
à x2 pour tenir compte du spin
à x2 pour tenir compte du spin
Ev
∞
A.2) n = ∫ D c (E) f (E, T )dE
p = ∫ D v (E) [1 - f (E, T)]dE
-∞
Ec
A.4) E F =
 2mh* 
 2 
 h 


 2me* 
 2 
 h 


E C + E v kT
N
E + E v 3kT
m*
+
Ln ( v ) = C
+
Ln( h )
2
2
Nc
2
4
m *e
A.5) n i = N c N v exp(−
Eg
2kT
)
B.1)
Semi-conducteur
ni à 300K (cm-3)
Si
7.6 109
Ge
2.8 1013
GaAs
2.6 106
InAs
8.3 1014
Semi-conducteur
σ à 300K (Ω-1cm-1)
Si
2.4 10-6
Ge
2.6 10-2
GaAs
4 10-9
InAs
4.4
B.2)