DM : Puissance d`un point par rapport à un cercle
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DM : Puissance d`un point par rapport à un cercle
DM : Puissance d’un point par rapport à un cercle Partie A #» #» # » #» #» #» #» 2 2 1. Pour tout diamètre [I J ] du cercle, O est le milieu ³ OI + O´J = 0 et OI • O J = −OI = −R ³ de [I J ]´, ainsi # » # » # » #» Alors, pour tout point M du plan, M I • M J = MO + OI • MO + O J # » # » # » # » # » ³ # » # »´ # » # » M I • M J = MO • MO + MO • OI + O J + OI • O J # » # » # » #» M I • M J = MO 2 + MO • 0 − R 2 # » # » M I • M J = MO 2 − R 2 # » # » Pour tout point M du plan, M I • M J = MO 2 − R 2 C est le cercle de centre O et de rayon R b C bb M F B A b −3R 2 f(M)=0 4 f (M) = b I b O b b J A0 b 2. a. Pour tout point M du plan, f (M) = 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = 0 f (M) = 0 ⇐⇒ MO 2 = R 2 On en déduit, une distance étant un réel positif, f (M) = 0 ⇐⇒ M0 = R D’où f (M) = 0 ⇐⇒ M ∈ C L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = 0 est le cercle C b. Pour tout point M du plan, f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = −R 2 f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO 2 = 0 f (M) = −R 2 ⇐⇒ MO = 0 f (M) = −R 2 ⇐⇒ M = O D’où L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = −R 2 est constitué du seul point O c. Pour tout point M du plan, 3R 2 3R 2 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = − 4 4 3R 2 R2 2 f (M) = − ⇐⇒ MO = 4 4 f (M) = − On en déduit, une distance étant un réel positif, f (M) = − D’où : L’ensemble des points M du plan tels que f (M) = − R 3R 2 ⇐⇒ M0 = 4 2 3R 2 R est le cercle de centre O et de rayon 4 2 3. Soit A 0 le symétrique du point A par rapport à O , ainsi [A A 0 ] est un diamètre de C et les droites (A A 0 ) et (M A) sont perpendiculaires en B , ou encore B est le projeté orthogonal de A 0 sur la droite (M A), et, # » # » # » # » M A • M A 0 = M A • MB # » # » Or, [A A 0 ] étant un diamètre de C , d’après la question 1, M A • M A 0 = MO 2 − R 2 # » # » On en déduit, M A • MB = MO 2 − R 2 # » # » # » # » D’où M A • MB = M I • M J 4. Dans le cas où l’on peut tracer par le point M une droite qui coupe le cercle C en deux points A et B , on a : # » # » • M A • MB > 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 > 0 # » # » M A • MB > 0 ⇐⇒ MO 2 > R 2 # » # » Et, une distance étant un réel positif, M A • MB > 0 ⇐⇒ MO > R # » # » D’où, M A • MB > 0 ⇐⇒ M est à l’extérieur du cercle C (au sens strict) # » # » • M A • MB < 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 < 0 # » # » M A • MB < 0 ⇐⇒ MO 2 < R 2 # » # » Et, une distance étant un réel positif, M A • MB < 0 ⇐⇒ MO < R # » # » D’où, M A • MB < 0 ⇐⇒ M est à l’intérieur du cercle C (au sens strict) # » # » • M A • MB = 0 ⇐⇒ MO 2 − R 2 = 0 # » # » • M A • MB = 0 ⇐⇒ MO 2 = R 2 # » # » Et, une distance étant un réel positif, M A • MB = 0 ⇐⇒ MO = R # » # » D’où, M A • MB = 0 ⇐⇒ M est un point du cercle C Si M est En résumé, à l’intérieur de C sur C à l’extérieur de C + 0 + # » # » Le signe de M A • MB est Partie B 1. Pour tout réel x et tout réel y , x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = (x 2 − 4x + 4) + (y 2 − 2y + 1) − 4 − 1 − 11 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 Ainsi x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 = 0 ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 16 Or, (x − 2)2 + (y − 1)2 = 16 est une équation cartésienne du cercle C de centre Ω(2 ; 1) et de rayon 4. # » # » 2. f (M) = M I • ¡M J = MO 2 − R 2 d’après la partie A ¢ D’où f (M) = (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 f (M) = x 2 + y 2 − 4x − 2y − 11 3. a. Soit E a l’ensemble des points M tels que f (M) = 16 M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = 16 M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 32 ³ p ´2 M ∈ E a ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 2 p D’où E a est le cercle de centre Ω et de rayon 4 2 b. Soit E b l’ensemble des points M tels que f (M) = −16 M ∈ E b ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = −16 M ∈ E b ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 0 M ∈ E b ⇐⇒ ΩM 2 = 0 M ∈ E b ⇐⇒ M = Ω D’où E b est constitué du seul point Ω c. Soit E c l’ensemble des points M tels que f (M) = 9 M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 − 16 = 9 M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25 M ∈ E c ⇐⇒ (x − 2)2 + (y − 1)2 = 52 D’où E c est le cercle de centre Ω et de rayon 5 6 Ea c Ec 4 2 b −4 2 −2 −2 −4 Ω 4 6 8