Chapitre 2

ème
Licence « Economie Gestion » 3
année – Parcours Magistère
Développement économique
Macrodynamique – Chapitre II – Horizon infini
P. Combes Motel
Table des matières
Chapitre II. ............... L’hypothèse d’un taux d’épargne endogène. Epargne et
croissance optimales dans l’hypothèse d’un horizon temporel infini
I.
LES HYPOTHESES
II.
L’ARBITRAGE ENTRE LA CONSOMMATION ET L’EPARGNE
III.
LA CONVERGENCE
IV.
IMPLICATIONS EMPIRIQUES
V.
L’OPTIMUM SOCIAL
ANNEXE
Table des illustrations
Définition 1. L’élasticité de substitution inter-temporelle de la consommation ...................................................... 1
Encadré 1. Combien un pays doit-il épargner ?....................................................................................................... 1
Encadré 2. Le taux de préférence pure pour le présent indéfendable d’un point de vue éthique............................. 2
Encadré 3. Peut-on repousser les limites de la croissance ? La réponse de Stiglitz ................................................ 8
Encadré 4. Les agents privés exploitent-ils les ressources naturelles trop rapidement ? ......................................... 8
Encadré 5. La soutenabilité faible selon Solow....................................................................................................... 8
Figure 1. La substitution inter-temporelle de la consommation .............................................................................. 1
Figure 2. Diagramme de phases de la consommation.............................................................................................. 2
Figure 3. Le diagramme de phase du capital productif. .......................................................................................... 2
Figure 4. La convergence vers l’état régulier .......................................................................................................... 3
Figure 5. Evolutions de c et k pour différentes valeurs de la consommation initiale............................................... 3
Figure 6. Relation entre le taux d’épargne et le PIB par tête, 1971 – 2005............................................................. 5
Tableau 1. Comparaison des taux d’épargne de la règle d’or dans les modèles de Ramsey et de Solow et
sensibilité à l’élasticité de substitution inter-temporelle ................................................................................ 2
Tableau 2. Vitesse de convergence : accroissement de σ........................................................................................ 3
Tableau 3. Vitesse de convergence : accroissement de ρ........................................................................................ 4
Tableau 4. Vitesse de convergence : diminution de n ............................................................................................. 4
Tableau 5. Vitesse de convergence : accroissement de α........................................................................................ 4
Tableau 6. Epargne et croissance optimales............................................................................................................ 5
Tableau 7. Les modèles de croissance optimale en horizon fini et infini ................................................................ 7
Bibliographie
2006, Stern Review on the Economics of Climate Change
Abraham-Frois, G. & A. Goergen, 2002 « A propos du Principe du Maximum » Revue Economique, vol. 53, n°
1, Janvier, pp. 7-27.
23 nov. 09
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ii
Acemoglu, D. 2007a Introduction to Modern Economic Growth: Parts 1-5. Mimeo: disponible intranet ou ent.
Version officielle : Acemoglu, D. 2009 Introduction to Modern Economic Growth Princeton University Press.
Acemoglu, D. 2007b Introduction to Modern Economic Growth: Parts 6-9. Mimeo: disponible intranet ou ent.
Version officielle : Acemoglu, D. 2009 Introduction to Modern Economic Growth Princeton University Press.
Azam, JP. 1989 Théorie macroéconomique de la croissance, Nathan. Economie.
Barro, R. J. 1974 “Are Government Bonds Net Wealth?” Journal of Political Economy, vol. 82, pp. 379-402.
Barro, R. J. et X. Sala-I-Martin, 1996 La croissance économique, Ediscience et Mac Graw Hill.
Brock, WA. & MS. Taylor, 2004 “The Green Solow Model” NBER Working Paper # 10775, June.
Cass, D. 1965 “Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation” Review of Economic
Studies, vol. 55, n° 4, September, pp. 793-814.
Darreau, P. 2003 Croissance et politique économique, De Boeck. Ouvertures Economiques, Balises.
Dasgupta, PS. & GM. Heal, 1974 “The Optimal Depletion of Exhaustible Resources” The Review of Economic
Studies, vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources, pp. 3-28.
Delattre, F. & A. Veron, 2005 « Taux d’actualisation public et calcul économique » Diagnostics Prévisions et
Analyses
Economiques,
n°
84,
Septembre,
8
pages.
Disponible
en
ligne :
http://www.minefi.gouv.fr/directions_services/dgtpe/dpae/pdf/2005-071-84.pdf
Gollier, C. 2005 « Quel taux d’actualisation pour quel avenir » Revue Française d’Economie, vol. 19, pp. 59-82.
Grossman, GM. & E. Helpman, 1995 Innovation and Growth in the Global Economy, 5th edition, MIT Press.
Hotelling, H. 1931 “The Economics of Exhaustible Resources” Journal of Political Economy, vol. 39, n° 2,
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Koopmans, TJ., PA. Diamond & RE. Williamson, 1960 “Stationary Ordinal Utility and Impatience”
Econometrica, vol. 28, n° 2, 287-309.
Koopmans, TJ. 1965 “On the Concept of Optimal Economic Growth” in The Economic Approach to
Development Planning, North Holland ou bien Cowles Foundation Paper # 238 reprinted from Pontificiae
Academiae
Scientarum
Scripta
Varia,
vol.
28,
n°5.
Disponible
en
ligne :
http://cowles.econ.yale.edu/P/cp/p02a/p0238.pdf
Malinvaud, E. 1965 « Croissances optimales dans un modèle macroéconomique » in The Economic Approach to
Development Planning, North Holland ou bien in Pontificiae Academiae Scientarum Scripta Varia, # 28, Actes
de la semaine d’études sur l’analyse économétrique dans la formulation des plans de développement.
Mankiw, NG., D. Romer and D. Weil, 1992 “A Contribution to the Empirics of Economic Growth” Quarterly
Journal of Economics, vol. 107, may, pp. 407-38.
Meadows, DH., DL. Meadows, J. Randers & WW. Behrens, 1972 Limits to Growth. A Report for the Club of
Rome’s Project on the Predicament of Mankind, Potomac Associates, New York. Version mise à jour: Meadows,
D., J. Randers, & D. Meadows, 2004 Limits to Growth. The 30-year Update, Chelsea Green Publishing.
Lecocq, F. & JC. Hourcade, 2004 « Le taux d’actualisation contre le principe de précaution ? Leçons à partir du
cas des politiques climatiques » L’Actualité Economique, Revue d’Analyse Economique, vol. 80, n°1, mars, pp.
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Léonard, D. & NV. Long 1992 Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics, Cambridge
University Press.
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iii
Ramsey, FP. 1928 “A Mathematical Theory of Saving” Economic Journal, vol. 38, n° 152, December, pp. 54359.
Shell, K. editor, 1967 Essays on the Theory of Optimal Economic Growth, MIT Press.
Solow, RM. 1974a “Intergenerational Equity and Exhaustible Resources” The Review of Economic Studies, vol.
41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources, pp. 29-45.
Stiglitz, JE. 1974b “Growth with Exhaustible Natural Resources: The Competitive Economy” The Review of
Economic Studies, vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources, pp. 139-152.
Stiglitz, JE. 1974a “Growth with Exhaustible Natural Resources: Efficient and Optimal Growth Path” The
Review of Economic Studies, vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources, pp. 123-137.
Tinbergen, J. 1960 “Optimum savings and Utility Maximization over Time” Econometrica, vol. 28, n° 2, April,
pp. 481-489.
Van der Ploeg, F. & C. Withagen, 1991 “Pollution Control and the Ramsey Problem” Environmental and
Resource Economics, vol. 1, n° 2, June, pp. 215-236.
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iv
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Chapitre II.
L’hypothèse d’un taux d’épargne endogène. Epargne et
croissance optimales dans l’hypothèse d’un horizon temporel infini
Encadré 1. Combien un pays doit-il épargner ?
“The first problem I propose to tackle is this: how much of its income should a nation save? To answer this, a
simple rule is obtained valid under conditions of surprising generality; the rule, which will be further elucidated
later, runs as follows. The rate of saving multiplied by the marginal utility of money should always be equal to
the amount by which the total net rate of enjoyment of utility falls short of the maximum possible rate of
enjoyment.”
Source : Ramsey, FP. 1928
“By the problem of optimum savings I refer to the question of what constitutes the best savings programme over
time, starting with a given income. This problem is one which a nation has to solve when making its development
plans. Should the nation save 12% of its national income, or 25%, or some other figure? For long periods the
large western countries have saved about 12 %, averaging over business cycles. The communist countries save
something like 25 % or more. Is it possible, by an econometric device, to find the optimum rate?”
Source : Tinbergen, J. 1960
Figure 1. La substitution inter-temporelle de la consommation
ct+1
U3
U2
U1
ct
La consommation présente est ct et la consommation future est ct+1 . U1 : l’utilité marginale est linéaire l’élasticité
de substitution est infinie et la préférence pour une consommation lissée nulle ; U3 : l’élasticité de substitution est
nulle c’est dire qu’il devient infiniment difficile de substituer la consommation présente à la consommation
future, par conséquent, la préférence pour une consommation lissée est infinie ; U2 : l’élasticité n’est ni nulle ni
infinie, si le rapport de la consommation future à la consommation présente augmente de 1% alors le rapport de
l’utilité présente à l’utilité future augmente de σ(.)% où σ(.) est l’élasticité de substitution inter-temporelle de la
consommation
Définition 1. L’élasticité de substitution inter-temporelle de la consommation
σ(.) mesure l’élasticité de ct+1/ct par rapport au prix relatif de la consommation présente par rapport à la
consommation future (u’t+1/u’t). Une augmentation de (u’t+1/u’t) de 1% entraîne une diminution de ct+1/ct de
σ(.)% : un renchérissement relatif de la consommation future de 1% entraîne une diminution relative de la
consommation future de σ(.)%.
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1
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Encadré 2. Le taux de préférence pure pour le présent indéfendable d’un point de vue éthique
“[…] it is assumed that we do not discount later enjoyments in comparison with earlier ones, a practice which is
ethically indefensible […]”
Source: Ramsey, FP. 1928, p. 543
Figure 2. Diagramme de phases de la consommation
c& = 0
c
k
k*
Figure 3. Le diagramme de phase du capital productif.
c
k& = 0
k
kor
Tableau 1. Comparaison des taux d’épargne de la règle d’or dans les modèles de Ramsey et de Solow et
sensibilité à l’élasticité de substitution inter-temporelle
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
5%
2%
0,5
1%
30%
2%
sor modifié
sor Phelps
21,8%
30,0%
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Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
5%
2%
1
1%
30%
2%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
5%
2%
1,5
1%
30%
2%
sor modifié
26,7%
sor modifié
28,8%
sor Phelps
30,0%
sor Phelps
30,0%
La condition ρ–n–x(1–1/σ) > 0 est vérifiée
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
5%
2%
1,75
1%
30%
2%
sor modifié
sor Phelps
29,5%
30,0%
2
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Figure 4. La convergence vers l’état régulier
c& = 0
c
E
c*
k& = 0
k*
k
kor
Figure 5. Evolutions de c et k pour différentes valeurs de la consommation initiale
c B0
c& = 0
B
D
k& = 0
E
c D0
c E0
c A0
A
k0
k*
k
Tableau 2. Vitesse de convergence : accroissement de σ
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
5%
2%
0,059
1%
30%
2%
5,9%
30,0%
5,62%
5,60%
33,00%
0,00%
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Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
5%
2%
0,100
1%
30%
2%
8,9%
30,0%
6,16%
5,60%
19,00%
0,00%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
5%
2%
0,500
1%
30%
2%
21,8%
30,0%
9,11%
5,60%
3,00%
0,00%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
5%
2%
1,000
1%
30%
2%
26,7%
30,0%
11,28%
5,60%
1,00%
0,00%
3
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Tableau 3. Vitesse de convergence : accroissement de ρ
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
5%
2%
1,000
1%
30%
2%
26,7%
30,0%
11,28%
5,60%
1,00%
0,00%
Paramètres
Paramètres
Paramètres
5% ε
5% ε
5%
ε
ρ
3% ρ
5% ρ
10%
1,000 σ
1,000 σ
1,000
σ
n
1% n
1% n
1%
30% α
30% α
30%
α
x
2% x
2% x
2%
sor modifié
24,0% sor modifié
20,0% sor modifié
14,1%
sor Phelps
30,0% sor Phelps
30,0% sor Phelps
30,0%
β Ramsey
12,35% β Ramsey
14,52% β Ramsey
19,98%
β Solow
5,60% β Solow
5,60% β Solow
5,60%
f ' (k*) -(ε+n+x)
f ' (k*) -(ε+n+x)
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
2,00% Ramsey
4,00% Ramsey
9,00%
f ' (k*)-(ε+n+x)
f ' (k*)-(ε+n+x)
f ' (k*)-(ε+n+x)
Solow
0,00% Solow
0,00% Solow
0,00%
Tableau 4. Vitesse de convergence : diminution de n
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x) Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x) Solow
5%
2%
1,000
2%
30%
2%
30,0%
30,0%
11,50%
6,30%
0,00%
0,00%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x) Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x) Solow
5%
2%
1,000
1%
30%
2%
26,7%
30,0%
11,28%
5,60%
1,00%
0,00%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x) Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x) Solow
5%
2%
1,000
0%
30%
2%
23,3%
30,0%
11,08%
4,90%
2,00%
0,00%
Tableau 5. Vitesse de convergence : accroissement de α
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x) Solow
5%
2%
1,000
1,0%
30%
2%
26,7%
30,0%
11,28%
5,60%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
1,00% Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
0,00% Solow
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5%
2%
1,000
1,0%
40%
2%
35,6%
40,0%
8,36%
4,80%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
1,00% Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
0,00% Solow
5%
2%
1,000
1,0%
50%
2%
Paramètres
ε
ρ
σ
n
α
x
5%
2%
1,000
1,0%
70%
2%
44,4%
50,0%
6,23%
4,00%
sor modifié
sor Phelps
β Ramsey
β Solow
f ' (k*) -(ε+n+x)
1,00% Ramsey
f ' (k*)-(ε+n+x)
0,00% Solow
62,2%
70,0%
3,16%
2,40%
1,00%
0,00%
4
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Figure 6. Relation entre le taux d’épargne et le PIB par tête, 1971 – 2005
60000
50000
PIB par tête 2005 (USD 2000)
40000
30000
20000
10000
0
-20
-10
0
10
20
30
40
50
-10000
Taux d'épargne moyen 1971 2005 (%)
Source : WBI, 2007
Tableau 6. Epargne et croissance optimales
Préférences : somme
actualisée des utilisées
instantanées
Economie décentralisée
Optimum
Le ménage représentatif maximise la
Le PC maximise le BE inter-temporel défini
somme actualisée de ses utilités instantanées comme la somme des utilités interT
temporelles individuelles. Dans l’hypothèse
de l’agent représentatif, cela revient à
U ≡ u cˆ t e − (ρ − n )(t − t 0 )dt
multiplier les utilités par la taille de la
t0
∫ ( ( ))
T
population :
U = ∫ u (cˆ(t ))e − (ρ − n )(t − t 0 )dt ;
t0
Accumulation
Evolution de la richesse (par unité efficace
de travail) :
w&ˆ (t ) = (r (t ) − n )wˆ (t ) + s(t ) − cˆ(t )
Condition de KR
CTV
1 c&ˆ
+ρ = r
σ cˆ
w(T )e − (r (T )− n )(t −t 0 ) = 0 avec
t
1
r (t ) =
r (τ)dτ
t − t 0 t∫
0
Evolution du capital productif (par unité
efficace de travail) :
cˆ(t )
k&(t ) = f (k (t )) − (ε + n + x )k (t ) −
A(t )
1 c&ˆ
+ ρ = f ' (k ) − ε
σ cˆ
lim k (T )e − R (T ) = 0 avec
T →∞
t
− R(t ) = − ∫ ( f ' (k (τ )) − (ε + n + x ))dτ
t0
vérifiée en k*
Adapté de Azam, JP. 1989, p. 48
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Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
ANNEXE
( )
max U ≡ u c0 +
c0 ,c1 , k1
1
u c sous
1+ ρ 1
( )
La contrainte budgétaire en t = 0 : k1 − k0 = f (k0 ) − c0 − (ε + n + x )k0 ;
La contrainte budgétaire en t = 1 : k2 − k1 = f (k1 ) − c1 − (ε + n + x )k1
Les contraintes de non négativité des variables de choix : c0 ≥ 0 ; c1 ≥ 0 et k1 ≥ 0 ;
k0 et k2 sont des données
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Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néo-classique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Tableau 7. Les modèles de croissance optimale en horizon fini et infini
Méthode de Lagrange
Problème posé
T
max U ≡ ∑
Contrôle optimal
u (cˆ(t ))
∞
sous
)(t −t0 )
t =t (1 + ρ
k (t + 1) = f (k (t )) + (1 − (ε + n + x )k (t )) − cˆ(t ) ; Condition
0
initiale : k(t0) = k0
max U = ∫ u (cˆ(t )) ⋅ e
(
− (ρ − n )⋅ t −t0
)dt sous
t0
k&(t ) = f (k (t )) − (ε + n + x ) ⋅ k (t ) − cˆ(t ) ; Condition
initiale : k(t0) = k0
Condition de
transversalité :
k (T + 1) connu : valeur présente du capital de long terme ŵ(T ) connu : respect de la contrainte budgétaire interégale à 0
temporelle
Variables de choix
ĉ(t ) , t = t0, …, T ; k(t), t = t1, …, T
Fonction à maximiser
l c t 0 , L , c(T ), k t1 , L , k (T ), λ t1 , L , λ (T ) ≡
(( )
T
()
u (cˆ(t ))
()
ĉ(t ) , t = t0, …, T
)
T
∑ (1 + ρ)(t −t ) + ∑ λ(t + 1) f (k (t )) + (ε + n + x )k (t ) − cˆ(t )
0
t =t 0
( )( )
−ρ(t −t0 )
Η (cˆ(t ), wˆ (t ), π(t ), t ) ≡ u(cˆ(t ))e
+
π(t )( f (k (t )) − (ε + n + x ) ⋅ k (t ) − cˆ(t ))
t =t0
T
+ λ t1 k t 0 + ∑ (λ (t + 1) − λ (t ))k (t ) − λ(T + 1)k (T + 1)
t =t1
Conditions nécessaires du
1er ordre
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∂l *
= 0 ; cˆ * (t ) > 0 ; t = t0, …, T
∂cˆ(t )
∂Η *
= 0 ; cˆ * (t ) > 0 ; t = t0, …, T
∂cˆ(t )
∂l *
= 0 ; t = t1, …, T
∂k (t )
∂Η *
+ π& (t ) = 0 ; t = t0, …, T
∂k (t )
∂l *
= 0 ; λ*(t) > 0 ; t = t1, …, T
∂λ (t )
∂Η *
= k&(t )
∂π(t )
7
Macro-économie dynamique. Première partie : La neutralisation des rendements décroissants : l’analyse néoclassique de la croissance; le modèle de Ramsey.
Encadré 3. Peut-on repousser les limites de la croissance ? La réponse de Stiglitz
“The Proposition that limited natural resources provide a limit to growth an to the sustainable size of the
population is an old one. The natural resource that was the centre of the discussion is Malthus’ day was land;
more recently, some concern has been expressed over the limitations imposed by the supplies of oil, or more
generally, energy sources, of phosphorus, and for other materials required for production. Those who predicted
imminent doom in the 19th century were obviously wrong. Were they simply wrong about the immediacy of the
catastrophe, or did they leave out something fundamental from their calculations?
The proposition that limited natural resources provide a limit to growth and to the sustainable size of population
is an old one. The natural resource that was a the centre of the discussion in Malthus’ day was land; more
recently, some concern has been expressed over the limitations imposed by the supplies of oil, or more generally,
energy sources, of phosphorus, and of other materials required for production. Those who predicted imminent
doom in the 19th century were obviously wrong. Were they simply wrong about the immediacy of catastrophe, or
did they leave out something fundamental from their calculations. There are at least three economic forces
offsetting the limitations imposed by natural resources: technical change, the substitution of man-made factors of
production (capital) for natural resources, and return to scale.”
Source: Stiglitz, JE. 1974a
Encadré 4. Les agents privés exploitent-ils les ressources naturelles trop rapidement ?
“Is there any reason to believe that the competitive economy will exploit the resources at the socially desirable
rate? Is there for instance, any basis to the belief, often expressed in the popular press (and occasionally even
expressed by some economists), that we are using up our resources ‘too quickly’?”
Source: Stiglitz, JE. 1974b
Encadré 5. La soutenabilité faible selon Solow
“The finite pool of resources […] should be used up optimally according to the optimal rules that govern the use
of reproducible assets. In particular, earlier generations are entitled to draw down the pool (optimally of course!)
so long as they add (optimally of course!) to the stock of reproducible capital.”
Source: Solow, RM. 1974a
23 nov. 09
© P. Combes Motel
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