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1 MathSupMPSI SPH NDG-MAUBEUGE EXERCICES trouvés sur le net Oscillations d'un chariot « OSCILATEUK HARMONIQUE» 4 Piège électrostatique Un électron de masse m—9.11.10~3lkg et de charge q=-1.6l.lO~19C est piégé à l'intérieur d'un dispositif tel que son énergie potentielle est Ep = |^02oû V 0 ~ -5.00 V et d = 6.00 mm. Déterminer la fréquence des oscillations de l'électron selon l'axe Oz. •ni in 5 Mouvement oscillatoire non sinusoïdal Montrer que le mouvement du piston de la Pig. 5.1 est oscillatoire; mais qu'il n'est pas sinusoïdal. Figure 1.1: Chariot et deux ressorts Le chariot de la Fig, 1.1 a une masse de 1.00 kg. On le déplace de 5,00 cm vers la droite avec une force horizontale de 10.0 N. 1. En supposant qu'il n'y a aucun frottement, quelle est la période d'oscillation quand on a lâché le chariot ? 2. Où sera-t-il au bout de 0.200 s ? 3. Que sera la constante d'élasticité du système si l'un des deux ressorts est supprimé ? Figure 5.1: Piston 4. Déterminer alors la nouvelle fréquence. 2 6 Ressort vertical Corps sur une plate-forme vibrante. Un corps de masse m est placé sur une plate-forme qui vibre verticalement avec une amplitude de 10 cm et. une fréquence réglable. A quelle fréquence le corps risque-t-il de tressauter sur la surface et de faire du bruit ? 3 Analyse dimensîonnelle Soit un pendule simple de longueur L, de masse m, soumis à la pesanteur. Par analyse dimensionnelle, montrer que la période du pendule est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur et indépendante de sa masse. 1. Soit: un ressort vertical, de raideur k et longueur à vide 10) auquel on suspend une masse m. Déterminer l'allongement du ressort à l'équilibre et déterminer l'équation différentielle du mouvement autour de l'équilibre. 2. Un ressort hélicoïdal vertical en acier s'allonge de 50,0 cm s'il porte un sac de bonbons de 2.00 kg. Le sac est alors à 1.00 m au-dessus de la tête d'un enfant. Le sac est tiré vers le bas de 25,0 cm puis lâché. Combien de temps faut-il pour qu'il revienne à la même hauteur de 1.00 m au-dessus de l'enfant ? 3. Un objet lourd est placé sur un coussin de caoutchouc utilisé comme amortisseur. Cet objet écrase le coussin de 1.0 cm. Si l'on donne à l'objet un l/l choc vertical, il oscille. Les oscillations sont amorties, mais nous négligeons ici l'amortissement. Estimer la fréquence d'oscillation, 4. Aller sur la simulation: http://resaources.univlemans.fr/AcoesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/ressort.htmL • On travaille tout d'abord avec un ressort de masse nulle. Déterminer la constante de raideur du ressort de deux manières différentes (en mode statique et en mode dynamique). • Vérifier que si l'on tient compte de la maase mo^ 50 g du ressort, la période est la, même qu'avec un ressort sans masse et une masse suspendue de (m + 7 I x (t) = XQCOS (uit) y (t) = Yosin dans les cas suivants: u/a = u?i, wj = S ™ 3Wi, W2 ~ Tj^) Wj — 2. Dans chacun des cas, donner le nombre de périodes de y(t) pendant une période de x(t) et le vérifier sur la courbe. 11 Mesure d'un déphasage à l'oscilloscope 1. Des deux courbes représentées, laquelle est en retard sur l'autre ? 2. Déterminer le déphasage de C^par rapport à Ça- Deux ressorts en série ou en parallèle Aller sur la simulation: http://res8ources.univlemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/OS/meca/ressort.html. 1. Choisir le mode "Ressorts en parallèle". Démontrer que dans une telle configuration, l'ensemble est équivalent à un ressort unique de raideur fc = k± + k%. Le vérifier à l'aide de la simulation. 2. Choisir le mode "Ressorts en série". Démontrer que dans une telle configuration, l'ensemble est équivalent à un ressort unique de raideur k telle que = • - -f -. Le vérifier à l'aide de la simulation. 8 Signal sans fondamental On considère le signal s (t) — 10 sîn (SQirt) + 5 sin (12Q7rt + 0.6fl-)oû le temps est exprimé en secondes. Quelle est la fréquence de s(t) ? 9 Représentation de Fresnel 1. En utilisant sa représentation de Fresnel, déterminer l'amplitude et, la phase à l'origine du signal suivant: s ( t ) = 5\/3cos (2.01037rt) - 5sm (2.01037rt). Quelle est sa fréquence ? Représenter les variations de s(t) sur un graphe. 2. Vérifier par un calcul. 10 Courbes de Lissajous 1. A l'aide du programme python COURBE PARAMETREE.py que voua modifierez, tra«r la courbe paramétrée Figure 11.1: Courbes déphasées 12 Analyse de Fourier d'une impulsion créneaux répétée périodiquement. en Soit une impulsion en créneau, répétée périodiquement. La durée T de l'impulsion est brève devant la période T de répétition. • f(t) = 1 pour kT < t < kT + T • f(t) = 0 pour kT + T <t<(k + l)T 1. Représenter ce signal puisé. 2. Calculer la valeur moyenne de ce signal. On donne l'amplitude de l'harmonique de rang n: Cn = ^l*"Wi (^f1) !• ^n donne le graphe de la fonction "sinus cardinal": sinc(x) = ~^ (Fig 10.1). Représenter le spectre du signal en amplitude. Montrer que les premières harmoniques ont des amplitudes très proches et que les amplitudes sont grandes sur une bande de fréquence de Tordre de /m<Mt ~ ^. Cette relation entre la durée d'un signal et la largeur de son spectre est tout-à-fait générale.