Olympiade Française de Mathématiques Envoi 2 — Exercices d

Olympiade Française de Mathématiques
Envoi 2 — Exercices d’entrainement
Exercice 1
Soit P un polynôme à coefficients entiers. On suppose qu’il existe trois entiers a, b et c tels que
P (a) = b, P (b) = c et P (c) = a. Montrer que a = b = c.
Exercice 2
Construire une fonction f : R → R telle que f ◦ f ◦ f = id et f (0) = 2009.
Exercice 3
Soit P un polynôme de degré 2008 tel que P (k) =
1
k
pour tout k ∈ {1, . . . , 2009}. Calculer P (0).
Exercice 4
Pour n > 3, on considère le polynôme à coefficients réels P (x) = an xn + · · · + a3 x3 + x2 + x + 1.
Prouver que P n’a pas toutes ses racines réelles.
Exercice 5
Montrer que
p
√
xyz(x + y + z + x2 + y 2 + z 2 )
3+ 3
6
(x2 + y 2 + z 2 )(xy + yz + zx)
9
pour tous réels strictement positifs x, y et z.
Exercice 6
Soit (un ) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = un +
u1000 > 45.
1
un
pour tout entier n > 0. Prouver que
Olympiade Française de Mathématiques
Envoi 2 — Exercices à rédiger
Exercice 1
Soient x, y et z des réels vérifiant x3 = 2y − 1, y 3 = 2z − 1 et z 3 = 2x − 1. Prouver que x = y = z.
Exercice 2
Déterminer le plus grand entier positif n pour lequel il existe un polynôme P à coefficients entiers
tel que P (0) = 0 et P (x1 ) = P (x2 ) = . . . = P (xn ) = 2009, les xi étant des entiers deux à deux
distincts.
Exercice 3
On considère une suite de réels définis par a0 arbitraire et ai+1 = [ai ] · {ai }, où [·] est la partie
entière et {x} = x − [x]. Prouver qu’il existe un entier i0 tel que ai+2 = ai pour tout i > i0 .
Exercice 4
Trouver toutes les fonctions f : R → R telles que
f (x) · f (yf (x) − 1) = f (y) · x2 − f (x)
pour tous réels x et y.
Exercice 5
Soient a1 , . . . , an et b1 , . . . , bn des réels tels que ai < bi pour tout i et b1 +· · ·+bn < 1+a1 +· · ·+an .
Prouver qu’il existe un réel c tel que, pour tout i dans {1, . . . , n} et pour tout entier relatif k,
on ait (ai + k − c)(bi + k − c) > 0.
Exercice 6
Prouver que
(x + y + z)
1 1 1
+ +
x y z
>6
x
y
z
+
+
y+z z+x x+y
pour tous réels x, y et z dans [1, 2]. Étudier les cas d’égalité.