Calcul d`un filtre passif passe

Chapitre 10 – Exercice 4
Calcul d’un filtre passif passe-bande
1. En appliquant la transformation Thévenin-Norton, on remplace la source de tension ue par la source de
courant ie = ue /Ra avec l’admittance 1/Ra placée en parallèle de la source.
L’admittance Ya est équivalente aux admittances 1/Ra , jCa v et 1/(jLa v) mises en parallèle :
Ya =
jLa v + Ra (1 − La Ca v2 )
1
1
1
=
=
+ jCa v +
Za
Ra
jLa v
jRa La v
De même, on a pour l’admittance Yb :
jLb v + Rb 1 − Lb Cb v2
1
1
1
=
=
+ jCb v +
Yb =
Zb
Rb
jLb v
jRb Lb v
Enfin, l’impédance Zc , équivalente aux impédances jLb v et 1/(jCc v) mises en série, a pour expression :
Zc = jLb v +
1 − Lb Cc v2
1
=
jCc v
jCc v
2. La pulsation v1 qui annule Zc est donnée par :
1 − Lb Cc v21 = 0 soit
v1 = (Lb Cc )−1/2
et
f1 =
v1
1
≈ 3, 4 MHz
=
2p
2p (Lb Cc )1/2
et
f0 =
v0
1
≈ 2, 8 MHz
=
2p
2p (Lb Cb )1/2
3. L’impédance Za est purement résistive si :
1 − La Ca v2 = 0 soit
v0 = (Lb Cb )−1/2
On en déduit Za (v0 ) = Ra et Zb (v0 ) = Rb .
4. La tension de sortie du réseau a pour expression us = Zb is dans laquelle is est donné par le diviseur de
courant :
Za
ue
ie avec ie =
is =
Za + Zb + Zc
Ra
On a donc :
is =
Za
1/Ya
Yb Yc
1
ie =
ie =
ie =
ie
Za + Zb + Zc
1/Ya + 1/Yb + 1/Yc
Ya Yb + Yb Yc + Ya Yc
Ya /Yc + 1 + Ya /Yb
Si Yb = Ya , cette relation se simplifie selon :
is =
1
ie
Zc Ya + 2
d’où us = Zb is =
1
1
ue =
ue
Ra Yb (Zc Ya + 2)
Ra Ya (Zc Ya + 2)
On en déduit la fonction de transfert :
H(jv) =
1
Ra Ya (Zc Ya + 2)
60
10. Solutions des exercices
5. a) À basse fréquence, l’admittance Ya et l’impédance Zc valent sensiblement :
Ya ≈
1
jLa v
et
Zc ≈
1
jCc v
Par conséquent :
H(jv) =
1
−j Cc La2 v3
≈
Ra Ya (Zc Ya + 2)
Ra (1 − 2Cc La v2 )
Lorsque v tend vers zéro, H(jv) se réduit à −jCc La2 v3 /Ra , ce qui s’écrit :
H(jv) =
3
v
j
v3
avec v3 =
Ra
Cc La2
1/3
et
f3 ≈ 2, 1 MHz
b) Pour des fréquences voisines de f1 et f0 , les dipôles Za et Zb se comportent comme des résistors, de
résistance Ra , alors que l’impédance du dipôle Zc est nulle à la fréquence f1 . Si cette impédance est négligeable
pour les fréquences voisines de f0 et f1 , on peut considérer que le réseau se réduit à la mise en parallèle des deux
impédances Ra , d’où la valeur 1/2 de la fonction de transfert.
c) À haute fréquence, les admittances Ya et Yb sont équivalentes à jCa v , alors que l’impédance Zc est celle
de la bobine, soit Zc = jLc v . On en déduit :
−3
1
v
H(jv) = −
soit
H(jv)
=
j
avec v4 = (Ra Ca2 Lc )−1/3 et f4 ≈ 3, 45 MHz
v4
jRa Ca2 Lc v3
6. Après analyse, le réseau se comporte comme un filtre passe-bande avec une première asymptote à
60 dB · dec−1 à basse fréquence et une seconde asymptote de −60 dB · dec−1 à haute fréquence.