TD: Statique des fluides Exercice 1: Atmosphère à gradient de

TD: Statique des fluides
Exercice 1: Atmosphère à gradient de température
La température de l'air, considéré comme un gaz parfait de masse molaire 29g, décroît lorsque
l'altitude augmente selon une loi approximativement linéaire. La température au niveau de la mer
est de 20°C, et au sommet de l'Everest (8807m) elle est de -40°C.
1. Etablir la loi de variation de la pression avec l'altitude, et en déduire la pression moyenne au
sommet de l'Everest. Comparer cette expression à celle du modèle de l'atmosphère
isotherme.
2. Donner la loi de variation de la masse volumique µ (z) en fonction de l’altitude z.
Exercice 2: Plongeurs sous-marins
1. Avant une remontée rapide vers la surface, les plongeurs –sous marins vident leurs poumons
de l’air qu’ils contiennent. Pourquoi ?
2. En supposant que l’air contenu dans les poumons est à la température du corps (37°C) et que
son volume est de 3L à 10m de profondeur, calculer son volume à la surface. La pression à la
surface est P0 =1 bar, la masse volumique de l’eau est ! = 103 kg/m. On prendra g=9.8ms-2.
Exercice 3 : Comparaison de différents modèles :fluide incompressible et fluide à " T =constant
1. Quelle est la pression dans une fosse océanique à 10 km de profondeur, en supposant que
l’eau de mer est incompressible, de masse volumique 1,03 103 kgm-3 et que la pression à la
surface de l’eau est P0=1bar. On prendra g= 9.8ms-2.
2. On considère maintenant que l’eau a une masse volumique à la surface de l’eau de !0=1,03 103
kgm-3 et un coefficient de compressibilité isotherme "T = constante =4.5 10-5 bar-1.
2.1. Exprimer "T en fonction de la masse volumique !
2.2. A partir de l’équation fondamentale de la statique, établir l’équation différentielle
vérifiée par !. Déterminer ! en fonction de z.
3. En déduire l’équation différentielle vérifiée par la pression P et la résoudre. Calculer la
pression à la profondeur de 10 km. Comparer avec le modèle du fluide incompressible.
Exercice 4: Manomètre à deux liquides
Le manomètre de la figure 1 contient deux liquides non miscibles de masses volumiques µ1 et µ2.
Les deux réservoirs ont la même section S et le tube a pour section s1.
1. La pression P étant la même à la surface des deux liquides, établir une relation entre les
hauteurs h1 et h2.
2. En faisant varier de #P la pression au dessus du réservoir 1, on provoque un déplacement x de
la surface de séparation entre les deux liquides. Exprimer x et déterminer la sensibilité du
manomètre, c'est à dire le rapport x/#P.
• Données numériques: µ1 = 998 kgm-3 (eau); µ2 = 1022 kgm-3 (aniline); S = 100 cm2; s1 = 1 cm2
Exercice 5: Equilibre d'un index de mercure dans un tube scellé.
Un gaz parfait est enfermé dans un tube scellé de section S et de hauteur 2L+h partagé en deux
compartiments A et B par un index de mercure de masse volumique µ et de hauteur h (fig.2).
Dans la position initiale, le compartiment A est en haut et les deux compartiments ont le même
volume V. Le gaz est en équilibre à la température T et la pression dans le compartiment A,
mesurée en hauteur de mercure, est HA. On retourne le tube bout pour bout, sans modifier la
température, et on attend que l'équilibre soit rétabli.
1. Expliquer pourquoi l'index s'est déplacé et préciser dans quel sens.
2. Calculer le déplacement x de l'index pour L=50cm; h=2cm et HA=76cmHg.
Exercice 6: Poussée d'Archimède
Un solide de masse volumique µ1, de forme cylindrique, flotte verticalement dans l'eau, de masse
volumique µ2>µ1. On pose $ = µ1/µ2. Le cylindre a pour section s et hauteur H. On orientera l'axe
suivant la verticale descendante.
1. Calculer la hauteur h de ce cylindre hors de l'eau dans l'état d'équilibre.
2. A partir de cette position d'équilibre, on enfonce le cylindre dans l'eau d'une hauteur a<h et
on abandonne sans vitesse initiale. Le cylindre reste toujours vertical. Déterminer les forces
qui s'exercent sur lui lorsqu'il est enfoncé d'une hauteur verticale x par rapport à sa position
d'équilibre et en déduire la loi de son mouvement.
Exercice 7: Force s’exerçant sur un barrage
Le barrage hémicylindrique de rayon R (fig.3) est rempli d'eau sur une hauteur h. Déterminer la
résultante des forces exercées par l'air et l'eau sur le barrage.
A.N.:R=100m; µ = 103kgm-3; g = 10ms-2; h = 100m
Exercice 8: Aérostat dans l’atmosphère isotherme
On considère un aérostat, c'est-à-dire un ballon libre, dont l'enveloppe a un volume maximal V'.
Cette enveloppe est ouverte à la partie inférieur; initialement, elle est partiellement gonflée à
l'hélium, ce qui lui donne le volume V0 <V'. La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des
passagers est de M0 et leur volume propre est négligeable devant V.
L'hélium sera considéré comme un gaz parfait de masse molaire 4g, constamment en équilibre
avec l'air atmosphérique, considéré lui aussi comme un gaz parfait de masse molaire 29g. On
notera $ le rapport de la masse molaire de l'air à celle de l'hélium. L'atmosphère est supposé en
équilibre isotherme à la température T.
1. Calculer la force ascensionnelle qu'il subit dans le cas où V<V'.
2. Le volume du ballon ne peut dépasser V' sans que celui-ci n'éclate. Montrer que cela implique
l'existence d'une altitude maximale atteinte par le ballon, Z1, que l'on calculera.
3. En fait le ballon possède une soupape qui lui permet, au-delà de l'altitude Z1, d'évacuer du gaz
à volume V' constant. Exprimer la force ascensionnelle. En déduire le plafond d'altitude ZP
atteint par le ballon.
4. Pour redescendre, les passagers ouvrent une soupape à l'extrémité supérieur du ballon, et la
referment lorsqu'un dixième de l'hélium a été remplacé par de l'air. Quelle est la force qui
s'exerce alors sur le ballon?
A.N.:V'=800m3, V0=600m3, M0=500kg, T=300K, P=1bar; R=8.314Jmol-1K-1
Eléments de réponse :
Ex.1 :
Ex.2 :1. Si on remonte rapidement avec l’air dans les poumons, en arrivant à la surface il va s’établir un
équilibre entre la pression des poumons et la pression extérieure P0, PV=nRT=constante, la pression des
poumons va diminuer et donc le volume des poumons augmente et ils peuvent se déchirer, il faut donc vider
les poumons avant de remonter.
2. Vo=5.94L à la surface : le volume des poumons doublent !!! Il faut donc respirer dans les bouteilles pour
renouveler l’air des poumons et la mettre à la pression correspondant à l’altitude z.
Ex.3 : 1.
2.
Ex.4 : 1.
.
Equation fondamentale de la statique :
2. On écrit que les fluides sont incompressibles, donc les volumes sont invariables.
Ex.5 : 1. Comme PB est plus grand que PA, l’index va se déplacer vers les x positifs. 2. On écrit l’équilibre de
l’index de mercure dans les deux positions :
Dans les deux compartiments, les systèmes sont fermés : nombre de moles =cte=PV/RT, la température
etant constante, donc PV=cte=P xSxhauteur= (µ g H) x S x hauteur donc :
. Des quatre équations, on obtient une équation de second degré en x
que l’on résout pour obtenir la valeur de x.
Ex.6 :
. On oriente l’axe vers la verticale descendante ux, l’origine est prise lorsque la hauteur du
cylindre hors de l’eau est h et x est la hauteur dont le cylindre est enfoncé par rapport à l’équilibre h. On
obtient l’équation différentielle :
.
On peut traiter l’exercice en orientant l’axe suivant la verticale ascendante uZ et repérer la hauteur du
cylindre hors de l’eau par z., on obtient l’équation différentielle alors :
.
Ex.7 : La force élémentaire dF qui s’exerce sur la surface élémentaire dS=Rd%dz est
On intègre % entre &/2 et 3&/2 et z entre 0 et h :
Ex.8 :1.
.
.
.tant que V(z) < V’ l’enveloppe peut se gonfler et la masse de l’hélium est
constante, donc la force ascensionnelle est constante F=996.5 N (On calcule !He=0.16kgm-3 et M0=96.27kg).
2. Comme l’atmosphère est supposée isotherme et que la quantité d’hélium est constante dans l’enveloppe tant
que V < V’, le produit P(z) V(z)= nHe RT = constante = P(0) V(0)=P0V0 . L’atmosphère isotherme, on a :
3. Lorsque le volume maximal V’ est atteint, le ballon continue de monter, la pression P(z) diminue, le volume
de l’enveloppe est V’=constante, donc le nombre de moles d’hélium va diminuer, une partie de l’hélium
s’échappe
4. 1/10 de l’hélium est remplacé par de l’air. Tout se passe donc comme si l’enveloppe n’avait plus qu’un volume de
0.9V’, la force est donc F’ :
L’aérostat descend doucement car la force F’(zp) est très inférieure au poids de l’aérostat (Poids'5000N).