Suites numériques III - Les suites géométriques
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Suites numériques III - Les suites géométriques 1. Définition : Une suite de terme général u n est une suite géométrique si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante. Cette constante est alors appelée raison de la suite. u n +1 = u n × q avec q constante (raison de la suite) De même que la suite arithmétique, la suite géométrique est déterminée par la donnée de : - Son premier terme - Sa raison Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut démontrer que le rapport u n +1 est constant un (indépendante de n). Exemples : Ecrire quelques uns des premiers termes des suites géométriques suivantes : 1er terme : 1 1 2 4 1er terme : 1 1 -1 1 8 raison : 2 32 64 16 -1 raison : -1 -1 1… 1 raison : − 1er terme : 1 1 − 1 4 1 16 128… − 1 64 1 256 1 4 − 1 ... 1024 2. Expression du terme général d’une suite géométrique : u0 ×q u1 = u 0 × q ×q ×q u2 = u0 × q ² un = u0 × q n et ×q u3 = u0 × q 3 … u n = u i × q n−i © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 1 sur 6 Exemples : u10 = u 6 × q 4 u15 = u11 × q 4 u 26 = u12 × q 14 … 1er exercice : Les suites suivantes sont géométriques. Exprimer u n en fonction de n dans chacun des cas suivants : 1 1. u 0 = − 2 et la raison est − 2 2. u 0 = − 1 et la raison est − 1 Solution : 1 = −2 − 2 1. u n 2. u n = − 1 (− 1) un = (− 1) n n n +1 2ème exercice : Les suites suivantes, de terme général u n , sont géométriques et de raison b . Déterminer l’entier i dans chacun des cas suivants : 1 1 1. u 0 = 4 , u i = ,b = 4 2 2 8 4 2. u 1 = , u5 = ,ui = 3 243 27 1 3. u 3 = − 1 6 , u 7 = − 1, u i = 8 Solution : 1 = 4 2 1. u n 1 2 1 2i n i 1 1 donc u i = 4 = 4 2 i 1 = 16 1 1 = = 4 16 2 donc 2 i = 2 4 donc i = 4 2. Essayons de déterminer b : u 5 = u 1 × b 4 = 2 8 × b4 = 3 243 © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 2 sur 6 2 8 × b4 = 3 243 Si b = donc b 4 2 8×3 4 = = = 243 × 2 8 1 3 4 donc b = 2 2 ou b = − 3 3 2 : 3 2 2 ui = 3 3 2 donc 3 i −1 = i −1 4 27 2 9 = i −1 2 2 2 = 3 3 donc i − 1 = 2 donc i = 3 On obtiendrait le même résultat en prenant b = − 2 3 3. u 7 = u 3 × b 4 = − 1 6 × b 4 = − 1 1 1 1 donc b = = 4 = 16 2 2 1 1 On a b = ou b = − 2 2 i−7 ui = u7 × b 1 = ( − 1) b i − 7 8 4 4 On étudie les 2 cas : 1 1 1 Si b = : = ( − 1) 2 8 2 1 1 − = 8 2 Si b = − i−7 i−7 1 n’a pas de solution car 2 1 1 1 : = ( − 1) − 2 8 2 3 1 1 1 − = − = − 8 2 2 i−7 est positif. i−7 i− 7 Donc i − 7 = 3 soit i = 1 0 © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 3 sur 6 3. Sommes des termes consécutifs d’une suite géométrique : On cherche : S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n Trouvons la formule : S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q ² + ... + u 0 q n − 1 + u 0 q n S = u 0 (1 + q + q ² + ... + q n − 1 + q n ) et q S = u 0 ( q + q ² + q 3 + ... + q n + q n + 1 ) donc S − q S = u 0 (1 − q n + 1 ) S (1 − q ) = u 0 (1 − q n + 1 ) Si q ≠ 1 , on a : S = u 0 (1 − q n + 1 ) 1− q Formule à retenir : Si u n est le terme général d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 , alors : u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n = u 0 1 − q n +1 1− q ou encore : s o m m e d e s t e r m e s c o n s é c u t if s = 1 e r t e r m e 1 − r a is o n n b d e te r m e s 1 − r a iso n Exercices : Calculer : 1. S = 2 + 4 + 8 + ... + 2 5 6 1 1 1 1 2. S = + + + ... + 2 8 32 128 1 1 1 3. S = 1 + + + ... + 10 100 105 Solutions : 1. S = 2 + 4 + 8 + ... + 2 5 6 S = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 8 C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2. La somme comporte 8 termes. © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 4 sur 6 S = 2 1 − 28 1 − 256 = 2 = 510 1− 2 1− 2 2. S = 1 1 1 1 + + + ... + 2 8 32 128 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = + × + × + ... + × = + × + × + × 2 2 4 2 16 2 64 2 2 4 2 4 2 4 C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 3 1 1 et de raison . La somme 2 4 comporte 4 termes. 4 S = 1 2 S = 2 3 1 1 1− 1− 1 4 = 256 = 1 × 4 × × 1 3 2 2 3 1− 4 4 255 85 × = 256 128 3. S = 1 + S = 1+ 1 1 − 256 1 1 1 + + ... + 10 100 105 1 1 1 + + ... + 2 10 10 105 C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1 . La somme 10 comporte 6 termes. 1 1− 10 S = 1× 1 1− 10 S = 1, 1 1 1 1 1 6 = 1 − 0, 000001 0, 999999 = 0, 9 0, 9 4. Sens de variation d’une suite géométrique : u n + 1 − u n = u 0 q n + 1 − u 0 q n = u 0 q n ( q − 1) Etudions le signe de u n + 1 − u n : © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 5 sur 6 Cas où u 0 est positif : Si q < 0 : q n n’a pas un signe constant, la suite n’est donc pas monotone. Si q > 0 : q n > 0, le signe de u n + 1 − u n est alors le signe de ( q − 1) 0 < q < 1 ⇒ q − 1 < 0 ⇒ u n +1 − u n < 0 La suite est décroissante q > 1 ⇒ q − 1 > 0 ⇒ u n +1 − u n > 0 La suite est croissante q = 1 ⇒ q − 1 = 0 ⇒ u n +1 − u n = 0 La suite est constante Théorème à retenir : Une suite géométrique de premier terme positif et de raison positive est : Croissante si sa raison est strictement supérieure à 1 Décroissante si sa raison est strictement inférieure à 1 Constante si sa raison est égale à 1. Exemples : u n = 2 n , suite de premier terme 1 et de raison 2 ⇒ La suite est croissante n 1 1 u n = , suite de premier terme 1 et de raison ⇒ La suite est décroissante 3 3 © http://www.bacdefrancais.net Suites numériques – III. Les suites géométriques Page 6 sur 6