4 Circuits magnétiques i H C

Notes personnelles
4
Circuits magnétiques
4.1
Notion de Réluctance
Un circuit magnétique (CM) est un parcours fermé en
matériau de très grande perméabilité qui canalise le
champ magnétique.
Dans le cas idéal, le champ est entièrement confiné
dans le circuit qui constitue alors un tube de champ.
Le flux tout le long du circuit est alors constant.
La magnétisation peut être obtenue par un aimant ou
par une bobine de N spires parcourue par un courant
I.
Un cas simple de CM est celui d’un anneau homogène
de section rectangulaire. Les lignes de champ sont
des cercles concentriques.
ϕ3
ϕ2
N
i
ϕ1
ϕ1 = ϕ2 =ϕ3
C
H
fibre moyenne
Afin de déterminer le flux
ϕ au travers d’une section
du CM, appliquons le
théorème d’Ampère le long
du cercle C de rayon r. Le
long de ce parcours le
champ est tangentiel,
l’angle entre le champ et
l’élément de parcours est
toujours nul. De plus, H ne
dépendant que de la
distance au centre, il est
donc constant le long de C.
Ainsi
∫
∫ H.dl
= H. 2 π r = H.
C
H.dl = H
C
∫
dl
C
l
Ce parcours enlace les N spires donc :
H. = N.i ce qui permet d’écrire H = Ni
l
En supposant le matériau non saturé, B s’obtient par
B = µ H = µ0 µr H.
Le champ dépend de r, il est un peu plus fort à la
corde qu’à l’extérieur. Pour le calcul du flux, il
faudrait donc faire une intégrale. Cependant on peut
trouver une ligne de champ pour laquelle le champ est
égal à la « moyenne ». Cette ligne de champ est
appelée « fibre moyenne » (voit TD).
Cet artifice permet d’accéder simplement au flux
par :
ϕ = Bmoy.S
soit encore
ϕ = µ Hmoy.S = µ Ni S
lmoy
l
M. GARNERO
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magnetisme2
∫ H.dl = ∫
C
B
A
H1.dl1 +
∫ H.dl = H l
1 1
C
H1 =
ϕ
+ H2
∫
C
B
∫
H3.dl3
C
l2 + H3 l3 = N.i = ε
ϕ
H2 =
µ1l1
H2.dl2 +
En notant ε la force magnétomotrice de la bobine ε =
Ni le flux au travers du CM s’obtient par :
ϕ=µ S ε
lmoy
En posant
µ S = 1
soit encore
lmoy
ℜ
lmoy
ℜ = 1
ℜ est la réluctance du circuit
µ S
A
H3 =
µ2l2
avec
ϕ
µ3l3
magnétique, elle se mesure en ampère-tour par
weber [A.tr/Wb]
cela donne :
ϕ = 1 ε
ℜ
1 . l1 ϕ + 1 . l2 ϕ + 1 . l3 ϕ = ε
µ1 S1
µ2 S2
µ3 S3
Ainsi :
ℜ1 ϕ + ℜ2 ϕ +ℜ3 ϕ = ε = ℜeq ε
ce qui donne ℜeq = ℜ1 + ℜ2 +ℜ3
On peut généraliser en disant que la réluctance de n
tronçons successifs formant un circuit magnétique
est égale à la somme des réluctances de chaque
tronçon pris séparément. Ce qui est analogue à la loi
d’addition des résistances pour les circuits
électriques.
Cette équation porte le nom de loi d’Hopkinson
Elle est à rapprocher de la célèbre loi d’ohm :
i = 1 e où i est le courant, R la résistance et e la
R
force électromotrice.
Nous voyons qu’il y a une certaine similitude entre les
circuits électriques et les circuits magnétiques. Cela
est mis à profit en faisant une analogie entre les
problèmes :
Tronçons bifurqués (en dérivation)
ϕ3
A
ϕ2
Circuit électrique
Circuit magnétique
Flux ϕ
ϕ1
Courant i
Réluctance
Résistance
ℜ = 1 lmoy
R = 1 lmoy
σ S
µ S
l3
B
µ3
S3
l2
⇔
µ2
S2
ϕ2
ϕ3
La réluctance est donc au CM ce qu’est la résistance
aux circuits électrique. De même, les circuits
magnétiques canalisent le flux alors que les
conducteurs canalisent le courant électrique.
ϕ1
R1
R3
e Force électromotrice
ε = Ni Force magnéto-motrice
R2
4.2
ε
Circuits magnétiques composites
Tronçons successifs (en série)
l1
µ1
S1
Si on entoure la bifurcation par une surface fermée,
le flux total au travers de cette surface est nul
(conservation du flux)
Le flux entrant est donc égal à la somme des flux
sortants
ϕ1 = ϕ2 + ϕ3
cette loi est l ‘équivalent de la loi des nœuds pour les
circuits électriques.
Entre les points A et B la différence de potentiel
magnétique εAB vaut :
εAB = R2 ϕ2 en passant à droite ou
εAB = R3 ϕ3 en passant par la gauche.
M. GARNERO
Page :
A
⇔
B
l3
µ3
S3
C
l2
ε
ϕ
R1
R2
R3
µ2
S2
La perméabilité de chaque tronçon est très grande, il
n’y a donc aucune ligne de champ qui sort du CM. Le
flux est donc constant le long du circuit. ϕ = cte → ϕ
= B1 S1 = B2 S2 = B3 S3
ϕ = µ1 H1 S1 = µ2 H2 S2 = µ3 H3 S3
10
magnetisme2
Notes personnelles
Si l’on veut remplacer les deux tronçons bifurqués
par un seul tronçon équivalent il faudra que εAB = Req
ϕ1
ce qui donne :
ε
AB
ε
AB
ϕ1 =
ϕ2 =
ϕ3 = εAB
ℜeq
ℜ2
ℜ3
ε
AB
ε
AB
ε
AB
ϕ1 = ϕ2 + ϕ3 →
=
+
soit
ℜeq
ℜ2
ℜ3
1 = 1 + 1
ℜeq
ℜ2 ℜ3
Expression que l’on peut généraliser à n tronçons
bifurqués. Là encore, on trouve une analogie avec les
circuits électriques.
4.3
Inductance de la bobine :
Si on s’intéresse à la bobine qui crée la force
magnéto-motrice, nous pouvons écrire :
ε = R ϕ = Ni
si la réluctance du circuit magnétique est notée R. et
ϕ le flux au travers du CM.
ϕ
L
R
Ce qui donne : ϕ = Ni
ℜ
Le flux total au travers des N spires de la bobine
vaudra
Φ = Nϕ
Le flux total est proportionnel au courant Φ = Li
Le coefficient de proportionnalité étant l’inductance
de la bobine.
2
2
Li = N i ce qui donne :
L= N
ℜ
ℜ
En rajoutant à une bobine un circuit magnétique de
très faible réluctance on augmente considérablement
son inductance.
Attention cependant, au-delà d’une certaine valeur,
le matériau magnétique se sature :
B
Bsat
H
L’expression précédente n’est vraie que pour
i < Isat = Φsat = N.Bsat.S
L
L
Au-delà de Isat le flux de la bobine n’augmente plus,
elle n’oppose donc plus de force électromotrice
induite aux variations de courant ce qui fait que son
inductance est nulle ;
M. GARNERO
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magnetisme2
dφ
=0
dt
Ce phénomène est considéré, la plupart du temps
comme un défaut ; par exemple dans le
transformateur d’impulsions.
Cependant, il y a quelques cas où
on peut le mettre à profit en
réalisant une inductance saturable
Inductance saturable
(p.e. dans les
régulateurs magnétiques de tension). Le symbole
représentant une telle inductance est surmonté
d’une ligne brisée qui rappelle cette propriété :
Si Φ = cte = Φsat alors
5
5.1
Conventions de notation
Soit un circuit magnétique de réluctance ℜ sur lequel
sont bobinées n spires.
La bobine est soumise à la tension v délivrée par une
source variable.
La tension provoque un courant i. Le courant crée, au
travers du circuit magnétique, un flux ϕ dont les
variations induisent une f.e.m. e qui suit la loi de
Faraday.
La bobine est orientée suivant la convention
Récepteur.
Le point repère la « borne d’entrée ». : un courant
entrant par la borne repérée crée un flux positif.
Un autre phénomène est également à prendre en
compte, il s’agit des fuites magnétiques :
ϕP
Flux de fuites
Bobines à noyau de fer
ϕT
ϕF
i
Source
G
Circuit magnétique
ϕ+
+
v e
ℜ = 1 lmoy
n spires
µ S
Flux principal
Certaines lignes de champ se referment dans l’air et
non dans le CM car les spires ne sont pas « collées »
au CM, de plus il est fréquent qu’il y en ait plusieurs
couches.
Ainsi, peut-on considérer le flux total ΦT comme la
somme du flux principal ΦP et du flux de fuites ΦF :
ΦT = ΦP + ΦF = N ϕP + NϕF = L i
L’inductance totale est donc la somme de deux
NϕP NϕT
inductances
L = ΦT =
+
= LP + F
i
i
i
La résistance du fil de la bobine, notée r, est
considérée comme négligeable. Ainsi :
v = - e + r.i ≈ - e
i
r
v
e+
l
Le générateur est une source de
tension parfaite.
Schéma électrique équivalent au
montage.
Le flux total de la bobine est noté φ, il est égal à la
2
2
avec LP = N et F = N pour lesquelles RP et RF
ℜP
ℜF
sont les réluctances principales et de fuites.
Si l’inductance principale risque de se saturer
puisque sa réluctance est due au matériau
magnétique, il n’en est pas de même pour l’inductance
de fuites dont le circuit magnétique se referme dans
l’air.
l
somme du flux de chaque spire. φ = n.ϕ
Il est directement proportionnel au courant i :
φ = Li où L est le coefficient d’auto-induction de la
2
bobine (inductance L =
5.2
n )
ℜ
Régime permanent sinusoïdal
La source impose une tension de la forme :
2 Veff cosωt
Comme v = -e et que e = - dΦ cela donne :
dt
dΦ = 2 Veff cosωt soit et en régime permanent
dt
2 V sinωt ce qui donne pour
sinusoïdal établi : φ =
ω eff
v(t) =
ϕ une variation de la forme :
M. GARNERO
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magnetisme2
ϕ=
2 V sinωt
ω.n eff
v
ϕ ou i
Le circuit magnétique fonctionne donc à flux
sinusoïdal forcé par la source de tension.
La densité de flux B varie suivant l’équation :
B(t) =
t
0
ϕ
2 V sinωt
=
S ω.n.S eff
La valeur maximale atteinte par B(t) est :
Bmax =
2 V=
2 V
2π.f.n.S eff
ω.n.S
Nous pouvons tirer de cette équation une formule
liant la valeur efficace de la tension à la valeur
maximale de la densité de flux :
Veff =
5.3
Influence de la saturation
La saturation étant un phénomène non linéaire, nous
pouvons établir l’allure du courant absorbé par la
bobine en utilisant la courbe de première
aimantation. Il est alors nécessaire d’établir une
construction graphique donnant i(t). à partir de
l’évolution de B(t) qui elle est imposée par la source.
2π
π .f.n.Bmax.S = 4,44 f.n.Bmax.S
2
dite « Formule de Boucherot »
Par ailleurs, le courant i se déduit par i = φ/L
i(t) =
2 V sinωt
Lω eff
Bmax=
Vmax
2π.f.n.S
B (T)
ou ϕ
saturation
B
Vmax
1ère aimantation
v
0
t
H (A/m)
ou i
v
0
i
La bobine fonctionne à flux forcé.
La tension maximale Vmax impose au champ
magnétique d’atteindre la valeur Bmax
Dans le coude de saturation, le courant Imax
nécessaire pour atteindre Bmax est bien
supérieur à la valeur qu’il atteindrait si la
magnétisation était linéaire.
θ = π/2
Fondamental de i
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magnetisme2
5.4
Influence de l’hystérésis magnétique
A cause de l’hystérésis, lorsque le champ diminue, le courant nécessaire diminue encore plus vite. Par
contre, lorsque le champ augmente, il faut un courant qui augmente encore plus.
Le fondamental de courant est légèrement en avance par rapport au cas précédent. Ainsi le déphasage
de ce dernier sur la tension devient-il légèrement inférieur à π .
2
B (T)
ou ϕ
Hystérésis
B
Vmax
v
t
0
H (A/m)
ou i
v
0
i
5.5
Pertes ferromagnétiques
θ < π/2
Pertes par hystérésis
Elles sont dues au manque de linéarité existant entre
les variations de B et celles de H ainsi qu’au
phénomène d’hystérésis magnétique (retard à la
désaimantation)
P H = kH f
Bmax2
Fondamental de i
KH = 0,6
Pertes par courants de Foucault
La variation de flux donne naissance, dans toute la masse métallique, à une force
électromotrice induite qui engendre des courants.
Moins la masse métallique est épaisse, plus faibles sont les pertes. Les masses métalliques
importantes sont constituées de tôles peu épaisses, empilées isolées les unes par rapport aux
autres.
PF = kF (e f Bmax)2
e = épaisseur du matériau ,
f = fréquence, Bmax = valeur maximale du champ. KF = 0,2
½h
B
B
dx
h
A
i
-½ e
½e
Y
e
x
-½ h
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π2 V
PF =
. .(e.f .B max ) 2
6 ρ
magnetisme2