Rallye Mathématique Poitou

Rallye Mathématique
Poitou - Charentes
4
Épreuve d'entraînement 2011
Éléments de solutions
1 Zone grisée
O
R
Tournoi de St Michel en l'Herm 1992
3
23
39
D
Une variante du sudoku junior (10 points)
1°) La dame de cœur n'est ni sur la ligne, ni sur la colonne, ni
dans le carré de 2 x 2 qui contiennent la dame de carreaux ( ).
N
4
3
2°) La dame de cœur n'est ni sur la ligne, ni sur la colonne, ni
dans le carré de 2 x 2 qui contiennent l'as de cœur ( ).
2
3°) La dame de cœur est donc en A2.
1
7
e
D
D
D
D
D
D
D
D
V
A
A
A
Dany
Carl
5
2
7
2
4
3
6
3
3
4
5
4
2
5
4
5
1
6
3
4
Le mug et la tasse
V = π R2 h
(5 points)
Le volume d'un cylindre est
proportionnel à sa hauteur
et au carré du rayon de sa
base. La tasse a donc une
contenance double de celle
du mug.
C
MUG
TA SSE
Rx2
hx2
V x 22
Vx2
Le losange de Pascale (10 points)
Ci-contre, le parallélogramme
correspondant à la case 59.
A
D
Remplissage de cubes (10 points)
1 L = 1 dm3 = 1000 cm3. Un petit cube de 2 cm d’arête a un volume de 8 cm3 ; un grand cube de
3 cm d’arête a un volume de 27 cm3.
1000 = 250 x 8. Il faut donc 250 petits cubes pour 1 L. Si on utilise moins de 250 petits cubes,
il faut compléter par des grands cubes. Or 1000 et le volume des petits cubes sont des multiples de 8. Le nombre de grands cubes doit donc être un multiple de 8, car 27 ne l’est pas.
On a donc :
1000 = 125 x 8 : 125 petits cubes.
1000 - 8 x 27 = 784 = 98 x 8 : 8 grands cubes et 98 petits cubes.
1000 - 16 x 27 = 568 = 71 x 8 : 16 grands cubes et 71 petits cubes.
1000 - 24 x 27 = 352 = 44 x 8 : 24 grands cubes et 44 petits cubes.
1000 - 32 x 27 = 136 = 17 x 8 : 32 grands cubes et 17 petits cubes.
40 x 27 = 1080. Les seules solutions sont donc les précédentes.
Impossible
Vx2
1
6
6
Sans arrondir les angles
6
10
10
57
17
59
172
546
10
17
25
44
145
1
A
A
Impossible
15
5
A
V
B
Brice
1
Le nombre d'une case blanche est la somme de tous
les nombres des cases d'un parallélogramme déterminé par la case du nombre cherché et celle de 1.
V
V
A
A
7
Omar
Dressons un tableau à partir des renseignements
donnés. Tous ont au moins une bille. Ils en ont un
nombre différent, ce qui rend impossibles les deux
lignes indiquées.
C’est donc Brice qui a 4 billes.
Pour des raisons de mise en page, les problèmes ne
sont pas nécessairement dans l'ordre de leurs numéros.
23
La partie blanche correspond à l'aire d'un carré
de côté 23.
L'aire de la zone grisée est donc
39 x 39 - 23 x 23 = 1521 - 529 = 992.
6
2 Jeu de billes (10 points)
25
84
202
630
2008
59
Rallye Mathématique Champagne-Ardenne 1992
Dans le triangle ABE, l'angle E mesure 72°
(somme des angles d'un triangle).
Donc a = 72° (angles opposés par le sommet).
Dans le triangle ABC, l'angle C mesure 48°
(somme des angles d'un triangle).
Le triangle ABC est donc isocèle de sommet
principal B.
60°
24°
b
a
48°
12°
c
Mais ABD est un triangle équilatéral (A = B = 60°).
Donc BC = BA = BD. BCD est donc un triangle isocèle de sommet principal B.
Donc c = (180° - 24°)/2 = 78° et donc b = 30°.