D e vo ir su rve illé de ma thém atique s.

Déterminer a et b sachant que la tangente
à C en A(0; 2) coupe l’axe des abscisses au
point B d’abscisse 2.
On donne ci-contre la courbe représentative C d’une fonction f définie sur R par
f (x) = ax + b + x ex .
Exercice 3.
−2
−1
1
2
3
4
0
A
1
5. Dériver la fonction g définie sur R par g (x) = (3x + 2) e4x−1
1. Simplifier les expressions suivantes :
¡
¢3
¡ x+3
¢
e−3x+5 × ex+2
−2x−2 2
A= e
×e
B=
e−2x−6
2. Montrer que pour tout réel x,
ex − 4
7
ex
1
a)
=
1
−
b)
=
x
x
x
e +3
e +3
e + 1 1 + e−x
3. Résoudre les équations suivantes :
1
2
a) e−4x−1 = 1
b) ex −12 = x
e
4. Résoudre les inéquations suivantes :
a) e−3x−9 ≤ e27
b) (−2x + 3) e−x−2 > 0
Exercice 1.
On suppose connus les résultats suivants :
• e0 = 1
• Pour tous réels x et y, ex × e y = ex+y
1
Démontrer que pour tout réel x, e−x = x
e
Exercice 2.
C
2
B
Calculatrice autorisée, il sera tenu compte du soin et de la rédaction dans
l’appréciation de la copie.
Devoir surveillé de mathématiques.
x +3
et
1 − ex
Exercice 6.
Dans un lycée, 48 élèves se sont inscrits dans les clubs photo et théâtre ; on en
compte 32 dans le club théâtre et 24 dans le club photo.
On sort au hasard une fiche d’un élève inscrit.
Les événements T : « l’élève choisi est adhérent au club théâtre » et F : « l’élève choisi
est adhérent au club photo » sont-ils indépendants ?
4. Sachant que la pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit
défectueuse. ( arrondir à 10−4 ) ;
3. Montrer que la probabilité que la pièce soit éliminées à tort est gale à 0,004 9.
2. Calculer la probabilité que la pièce soit éliminée.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
Exercice 5.
Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces
défectueuses fabriquées est égale à 2%. Pour éliminer les pièces défectueuses, un
test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants :
– le test élimine 98% des pièces défectueuses.
– le test élimine 0,5% des pièces non défectueuses.
On tire une pièce au hasard. On note D l’événement « la pièce tirée est défectueuse »
et T l’événement « le teste élimine la pièce ».
3. Étudier les variations de la fonction f (penser à vous aider des résultats précédents).
2. En déduire le signe de g .
1. Étudier le sens de variation de g
g (x) = x ex + 2 ex + 1.
Soient f et g les fonctions définies sur ] − ∞; 0[ par : f (x) =
Exercice 4. Avec une fonction auxiliaire.
Corrigé du devoir du 8 octobre.
Exercice 1.
On suppose connus les résultats suivants :
• e0 = 1
• Pour tous réels x et y, ex × e y = ex+y
1
Démontrer que pour tout réel x, e−x = x
e
Pour tout réel x,
ex × e−x = ex−x
d’après le deuxième point
= e0
= 1 d’après le premier point
De cette égalité, il vient ex 6= 0 (sinon, le produit serait égale à 0 et non à 1) , on peut donc diviser par ex ce qui donne
1
e−x = x .
e
Exercice 2.
1. Simplifier les expressions suivantes :
¡
¢2 ¡
¢2 ¡
¢2
A = ex+3 × e−2x−2 = ex+3−2x−2 = e−x+1 = e2(−x+1) = e−2x+2
¡
¢3
e−3x+5 × ex+2
e−3x+5 × e3x+6
e11
=
=
= e11−(−2x−6) = e2x+17
B=
e−2x−6
e−2x−6
e−2x−6
2. Montrer que pour tout réel x,
ex − 4
7
a)
= 1− x
x
e +3
e +3
7
ex + 3
7
ex + 3 − 7 ex − 4
Pour tout réel x, 1 − x
= x
− x
=
= x
e +3 e +3 e +3
ex + 3
e +3
1
ex
=
b)
ex + 1 1 + e−x
ex
ex
ex
1
¶
µ
Pour tout réel x,
=
=
=
x
x
−x
1
e +1
e (1 + e ) 1 + e−x
ex 1 + x
e
3. Résoudre les équations suivantes :
a)
e−4x−1 = 1 ⇐⇒ −4x − 1 = 0 ⇐⇒ x = −
1
4
1
2
⇐⇒ ex −12 = e−x ⇐⇒ x 2 − 12 = −x ⇐⇒ x 2 + x − 12 = 0.
x
e
On reconnait une équation du second degré qui a deux solutions : 3 et -4 .
b)
ex
2
−12
=
4. Résoudre les inéquations suivantes :
a)
e−3x−9 ≤ e27 ⇐⇒ −3x − 9 É 27 ⇐⇒ x Ê −12.
−x−2
b) (−2x + 3) e
x
>0
3
2
−∞
+∞
e−x−2
+
−2x + 3
+
0
−
(−2x + 3) e−x−2
+
0
−
+
¸
·
3
D’après ce tableau de signes, S = −∞;
2
S = [−12; +∞[.
5. Dériver la fonction g définie sur R par g (x) = (3x + 2) e4x−1
Pour tout réel x, g 0 (x) = 3 e4x−1 + (3x − 2) × 4 e4x−1 = e4x−1 (3 + 4(3x + 2)) = e4x−1 (12x + 11)
Exercice 3.
C
4
On donne ci-contre la courbe représentative C d’une fonction f définie sur R par f (x) = ax + b + x ex .
3
2
Déterminer a et b sachant que la tangente à C en A(0; 2)
coupe l’axe des abscisses au point B d’abscisse 2.
A
1
B
−2
0
−1
1
2
A(0; 2) ∈ C signifie que f (0) = 2 c’est-à-dire a × 0 + b + 0 e0 = 2 c’est-à-dire b = 2 .
f 0 (x) = a + 0 + 1 ex + x ex = a + ex (1 + x)
f est dérivable sur R et pour tout réel x,
Le coefficient directeur de la droite (AB) est −1. Comme (AB) est une tangente à C au point d’abscisse 0 alors f 0 (0) = −1.
Cela équivaut à a + e0 (1 + 0) = −1 c’est-à-dire a + 1 = −1 c’est-à-dire a = −2 .
Exercice 4. Avec une fonction auxiliaire.
Soient f et g les fonctions définies sur ] − ∞; 0[ par : f (x) =
g (x) = x ex + 2 ex + 1.
x +3
et
1 − ex
1. Étudier le sens de variation de g
g est dérivable sur ] − ∞; 0[ et pour tout réel x,
x
g 0 (x) = 1 ex + x ex + 2 ex = ex (1 + x + 2) = ex (x + 3)
−∞
0
−3
ex
+
x +3
−
0
+
g 0 (x)
−
0
+
+
On déduit du tableau de signes que la fonction g est strictement décroissante sur ] − ∞; −3] et strictement
croissante sur [−3; 0[.
2. En déduire le signe de g .
x
−∞
−3
+∞
g (x)
g (−3) > 0
g (−3) = − e−3 + 1 donc g (−3) > 0.
Le minimum de g est strictement positif donc g est strictement positive sur ] − ∞; 0[.
3. Étudier les variations de la fonction f (penser à vous aider des résultats précédents).
f 0 (x) =
1(1 − ex ) − (x + 3)(− ex ) 1 − ex + x ex + 3 ex x ex + 2 ex + 1
g (x)
=
=
=
x
2
x
2
x
2
(1 − e )
(1 − e )
(1 − e )
(1 − ex )2
x
−∞
0
g (x)
+
(1 − ex )2
+
f 0 (x)
+
0
f (x)
Exercice 5.
Dans une entreprise, une étude statistique a montré que le pourcentage de pièces défectueuses fabriquées est égale à 2%.
Pour éliminer les pièces défectueuses, un test de qualité est mis en place dont les résultats sont les suivants :
– le test élimine 98% des pièces défectueuses.
– le test élimine 0,5% des pièces non défectueuses.
On tire une pièce au hasard. On note D l’événement « la pièce tirée est défectueuse » et T l’événement « le teste élimine la
pièce ».
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
T
0, 98
D
0, 02
0, 02
T
0, 98
T
0, 005
D
0, 995
T
2. Calculer la probabilité que la pièce soit éliminée.
p(T ) = p(D ∩ T ) + p(D ∩ T ) = 0, 02 × 0, 98 + 0, 98 × 0, 005 = 0, 0245 .
3. Montrer que la probabilité que la pièce soit éliminée à tort est égale à 0,004 9.
p(D ∩ T ) = p(D) × p D (T ) = 0, 98 × 0, 005 = 0, 0049 .
4. Sachant que la pièce n’est pas éliminée, calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. ( arrondir à 10−4 ).
p T (D) =
p(T ∩ D)
p(T )
=
0, 02 × 0, 02
≈ 0, 0004 .
1 − 0, 0245
Exercice 6.
Dans un lycée, 48 élèves se sont inscrits dans les clubs photo et théâtre ; on en compte 32 dans le club théâtre et 24 dans le
club photo.
On sort au hasard une fiche d’un élève inscrit.
Les événements T : « l’élève choisi est adhérent au club théâtre » et F : « l’élève choisi est adhérent au club photo » sont-ils
indépendants ?
Il faut d’abord bien comprendre la situation : il y a forcément des élèves qui sont inscrits dans les deux ateliers à la fois,
en effet 32 + 24 = 56 qui est supérieur aux 48 élèves inscrits. Plus précisément, il y a 56 − 48 = 8 élèves inscrits aux deux
ateliers.
32 2
24 1
1
= et p(F ) =
= donc p(T ) × p(F ) =
48 3
48 2
3
8
1
Par ailleurs, p(T ∩ F ) =
=
48 6
Comme p(T ∩ F ) 6= p(T ) × p(F ) alors les deux événements ne sont pas indépendants.
On a donc p(T ) =