Démontrer que des points sont alignés en utilisant une relation

VECTEURS
Démontrer que des points sont alignés en utilisant une relation vectorielle
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Théorème : A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Pour démontrer que des points sont alignés en utilisant une relation vectorielle, il faut donc
savoir démontrer que deux vecteurs sont colinéaires par calcul vectoriel.
Exemple :
Soient dans un repère orthonormé les points A(–5 ; –3), B(–4 ; –1), C(1 ; 5) et D(0 ; 7)
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Les coordonnées AB et AC de sont : AB (1 ; 2) et AC (6 ; 8)
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Det( AB , AC ) = 1×8 – 2×6 = –4 donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires donc
les points A, B et C ne sont pas alignés.
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Les coordonnées AB et AD de sont : AB (1 ; 2) et AD (5 ; 10)
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Det( AB , AD ) = 1×10 – 2×5 = 0 donc les vecteurs AB et AD sont colinéaires donc les points
A, B et D sont alignés.
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Remarque : Si on remarque, avec les coordonnées, que AD = 5 AB , on n’est pas obligé de
calculer le déterminant.
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Démontrer que des points sont alignés en utilisant une relation vectorielle
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Démontrer que des points sont alignés en utilisant une relation vectorielle
Exercice 1
Dans un repère orthonormé (O ;
et D(–1 ;2).
1. A, B et C sont-ils alignés ?
2. B, C et D ?
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i , j ) on considère les points A(1 ; 1), B(–2 ; 3), C(4 ; –1)
N’hésitez pas à faire un dessin pour avoir une conjecture juste.
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Exercice 2
Dans un repère orthonormé (O ;
D(–38 ;–27).
1. A, B et C sont-ils alignés ?
2. A, B et D ?
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i , j ) on considère les points A(–2 ; 0), B(2 ; 3), C(0 ; 2) et
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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Corrigé 1
Dans un repère orthonormé (O ;
et D(–1 ;2).
1. A, B et C sont-ils alignés ?
2. B, C et D ?
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i , j ) on considère les points A(1 ; 1), B(–2 ; 3), C(4 ; –1)
Le dessin nous permet de conjecturer que A, B et C
sont alignés mais pas B, C et D.
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1. AB (–3 ; 2), AC (3 ; –2)
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On a AB =–1× AC donc les vecteurs AB et
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AC sont colinéaires, donc A, B et C sont
alignés
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2. BC (6 ; –4), BD (1 ; –1).
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Det( BC , BD ) = 6×(–1) – 1×(–4) = –2,
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donc les vecteurs BC et BD ne sont pas
colinéaires, donc B, C et D ne sont pas
alignés.
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Corrigé 2
Dans un repère orthonormé (O ;
D(–38 ;–27).
1. A, B et C sont-ils alignés ?
2. A, B et D ?
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i , j ) on considère les points A(–2 ; 0), B(2 ; 3), C(0 ; 2) et
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1. AB (4 ; 3), AC (2 ; 2)
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Det( AB , AC ) = 4×2 – 2×3 = 2, donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires,
donc A, B et C ne sont pas alignés.
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2. AB (4 ; 3), AD (–36 ; –27).
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Det( AB , AD ) = 4×(–27) – (–36)×3 = 0, donc les vecteurs AB et AD sont colinéaires,
donc A, B et D sont alignés.
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