ae - produit de convolution

AE - PRODUIT DE CONVOLUTION
Notations
Si K est une partie de Rn et si p appartient à [ 0, ∞ [ , nous noterons Lp (K) l’espace vectoriel des
fonctions mesurables de puissance p−ième intégrable, semi-normé par

kf k p,K = 
Z
K
1/p
|f (x)|p dx
.
Lorsque K = Rn , on notera simplement
kf k p =
Z
p
|f (x)| dx
1/p
.
L’ensemble Lploc est l’espace vectoriel des fonctions qui appartiennent à Lp (K) pour tout compact K de
Rn . Les semi-normes kf k p,K , lorsque K décrit l’ensemble des compacts de K, définissent la topologie
de cet espace.
L’ensemble L∞ est l’espace vectoriel des fonctions bornées, normé par
kf k ∞ = sup |f (x)| .
x∈Rn
Soit f et g deux fonctions mesurables de Rn dans C. Pour x dans Rn , on pose
Z
f ∗ g(x) = f (t)g(x − t) dt .
si la fonction t 7→ f (t)g(x − t) est intégrable sur Rn .
On remarque que le changement de variable
x−t=u
donne
f ∗ g(x) =
Z
f (t)g(x − t) dt =
Z
f (x − u)g(u) du = g ∗ f (x)
donc f ∗ g et g ∗ f existent simultanément et sont égales.
On suppose désormais que f ∗ g(x) existe pour tout x de Rn . Alors f ∗ g est une fonction mesurable.
Dans ce qui suit on s’intéresse à l’appartenance de la fonction f ∗ g à un des espaces Lp ou Lploc .
AE 2
Nous allons démontrer le théorème suivant.
Théorème
Soit p, q, r trois nombres de [ 1, +∞ ] , tels que
1 1
1
+ =1+ .
p q
r
I) Si f est une fonction à support compact K de Lp (Rn ), et si g appartient à Lqloc (Rn ), alors f ∗ g
appartient à Lrloc (Rn ), et l’on a, pour tout compact C de Rn , en posant T = C + (−K), la
majoration
kf ∗ gk r,C ≤ kf k p kgk q,T .
Lorsque r = +∞, la fonction f ∗ g est continue. Si de plus g tend vers zéro à l’infini, il en est de
même de f ∗ g qui appartient donc à L∞ (Rn ).
II) Si f appartient à Lp (Rn ) et g à Lq (Rn ), alors f ∗ g appartient à Lr (Rn ), et l’on a l’inégalité
kf ∗ gk r ≤ kf k p kgk q .
On a égalité si p = q = r = 1 pour des fonctions f et g positives.
Lorsque r = +∞, la fonction f ∗ g est uniformément continue, et, si de plus p et q appartiennent
à ] 1, +∞ [ , elle tend vers zéro à l’infini.
Nous commençons par démontrer quelques lemmes préliminaires.
Lemme 1 Le support de f ∗ g est inclus dans l’adhérence de la somme des supports de f et g.
Si t appartient au support de f , et x − t au support de g, alors x appartient à supp f + supp g. Donc,
si t n’appartient pas à cet ensemble, ou bien t n’est pas dans supp f et f (t) est nul, ou bien x − t n’est
pas dans supp g et g(x − t) est nul. Il en résulte que f ∗ g(x) est nul, d’où
Rn \ (supp f + supp g) ⊂ (f ∗ g)−1 ({0}) .
On en déduit, en passant au complémentaire, que
{x ∈ Rn | f ∗ g(x) 6= 0} ⊂ supp f + supp g ,
et en prenant l’adhérence, que
supp f ∗ g ⊂ supp f + supp g ,
d’où le résultat.
Remarque : Si f ou g est à support compact, l’ensemble supp f + supp g est fermé. Si f et g sont
à support compact, l’ensemble supp f + supp g est compact. Cela résulte du fait que la somme d’un
AE 3
compact et d’un fermé est fermée, et que la somme de deux compacts est compacte.
Dans la suite, si f est mesurable, et si t est dans Rn , on posera
ft (x) = f (x + t) .
On définit ainsi une fonction mesurable qui appartient au même espace que f .
Lemme 2 Si f est continue, alors ft tend vers f dans Lploc (Rn ) lorsque t tend vers 0. Si f est
continue à support compact, la convergence a lieu dans Lp (Rn ).
Soit K un compact. On pose
K ′ = K + B(0, 1) .
La fonction f est uniformément continue sur K ′ . Donc, pour tout ε > 0, il existe η > 0, tel que, quels
que soient x et y dans K ′ vérifiant
|x − y| < η ,
on ait
|f (x) − f (y)| < ε .
En particulier, si x est dans K, et |t| < η < 1, alors x + t et x sont dans K ′ , donc
|f (x + t) − f (x)| < ε .
On en déduit que
kft − f k ∞,K ≤ ε ,
et donc kft − f k ∞,K tend vers 0 avec t. Mais on a
kft − f k p,K ≤ |K|1/p kft − f k ∞,K ,
où |K| désigne la mesure du compact K.
Cela montre que ft tend vers f dans Lp (K) pour tout compact K, donc dans Lploc (Rn ).
Si f est à support compact, et si |t| ≤ 1, les fonctions ft sont à support dans K ′ . Alors
kft − f k p,K ′ = kft − f k p ,
et la convergence a lieu dans Lp (Rn ).
AE 4
Lemme 3 Soit f dans Lp (Rn ) et g dans Lq (Rn ), avec
1 1
+ = 1,
p q
alors f ∗ g est uniformément continue sur Rn et bornée, et l’on a
kf ∗ gk ∞ ≤ kf k p kgk q .
L’inégalité précédente résulte de l’inégalité de Hölder et montre que f ∗ g est bornée. Quitte à échanger
les rôles de p et q, on peut supposer que p est fini. Soit h une fonction continue à support compact. En
remarquant que
(f ∗ g)t = ft ∗ g
on a
kf ∗ g − (f ∗ g)t k ∞ = k(f − ft ) ∗ gk ∞
≤ k(f − ft ) ∗ g − (h − ht ) ∗ gk ∞ + k(h − ht ) ∗ gk ∞
≤ kgk q (kf − hk p + kft − ht k p ) + kgk q kh − ht k p
≤ 2 kgk q (kf − hk p + kh − ht k p ) ,
car
kf − hk p = kft − ht k p .
Si l’on fait tendre t vers 0, on a
lim kf ∗ g − (f ∗ g)t k ∞ ≤ 2 kgk q kf − hk p ,
t→0
puisque d’après le lemme 2, on a ht qui tend vers h dans Lp (Rn ). Comme cette égalité a lieu pour
toute fonction continue à support compact h, et que l’ensemble de ces fonctions est dense dans Lp (Rn ),
la limite supérieure est nulle. Donc (f ∗ g)t tend vers f ∗ g dans L∞ (Rn ), ce qui montre que f ∗ g est
uniformément continue.
Lemme 4 Soit p et q dans ] 1, +∞ [ tels que
1 1
+ = 1.
p q
Soit f dans Lp (Rn ) et g dans Lq (Rn ), alors f ∗ g tend vers zéro à l’infini.
Soit h et k continues à support compact. Il en est de même de h ∗ k, et l’on a
|f ∗ g(x) − h ∗ k(x)| ≤ kf k p kg − kk q + kgk q kf − hk p + kf − hk p kg − kk q .
AE 5
Pour |x| assez grand, h ∗ k(x) est nul. Il en résulte que lim |f ∗ g(x)| est encore majorée par le membre
x→∞
de droite.
En utilisant alors la densité dans Lp (Rn ) et Lq (Rn ) de l’ensemble des fonctions continues à support
compact, on en déduit que cette limite supérieure est nulle, et donc que f ∗ g tend vers zéro à l’infini.
Démonstration du théorème dans le cas général
a) On suppose p, q, r finis et r différent de 1
Soit p′ , q ′ , r ′ définis par les relations
1
1
1
1
1
1
+ ′ = + ′ = + ′ = 1.
p p
q q
r r
On désigne par C un compact de Rn si g est dans Lqloc (Rn ), et Rn si g est dans Lq (Rn ).
Si K est un compact, on désigne par T le compact C + (−K) si g est dans Lqloc (Rn ) , et Rn si g est
dans Lq (Rn ), la fonction f étant à support dans K dans le premier cas, et quelconque dans Lp (Rn )
dans le second. Enfin on désigne par 1lB la fonction caractéristique d’un borélien B.
′
Soit h dans Lr (C). Considérons l’intégrale
I=
Z
|f ∗ g(y)h(y)| dy .
C
On a alors
I≤
ZZ
|f (y − x)g(x)h(y)| 1l C (y) dxdy .
Mais on peut remarquer que, si x n’est pas dans T , et si y est dans C, alors y − x n’est pas dans K,
donc f (y − x) est nul. Il suffit donc d’intégrer sur T en x dans le cas où f est à support dans K.
Remarquons aussi que l’on a les relations
p
p
q
q
r′ r′
1
1
1
+ ′ = + ′ = ′ + ′ = ′ + ′ + = 1,
r q
r p
q
p
p
q
r
ce qui permet d’écrire
′
′
′
′
′
′
|f (y − x)g(x)h(y)| = (|f (y − x)p/r |g(x)|q/r )(|f (y − x)|p/q |h(y)|r /q )(|g(x)|q/p |h(y)|r /p ) .
Désignons par dM la mesure 1lC (y) 1lT (x)dxdy. En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient
I≤
Z Z
p
q
|f (y − x)| |g(x)| dM
1/r Z Z
p
r′
|f (y − x)| |h(y)| dM
1/q′ Z Z
q
r′
|g(x)| |h(y)| dM
1/p′
.
AE 6
Chacune des trois intégrales du membre de droite se majore en utilisant le théorème de Fubini. Par
exemple, pour la première
ZZ
p
q
|f (y − x)| |g(x)| dM
=
≤
Z
ZT
T
q
|g(x)|
Z
p
|f (y − x)| dy
C
dx
|g(x)|q kf k pp dx
≤ kf k pp kgk qq,T .
On obtient finalement
r ′ /p′
q/r ′
r ′ /q ′
q/r
p/q ′
,
khk
kgk
kf
k
khk
I ≤ kf k p/r
kgk
′
′
p
p
q,T
q,T
r ,C
r ,C
soit
I ≤ kf k p kgk q,T khk r′ ,C .
R
′
Cela signifie que l’application qui à h dans Lr (C) fait correspondre h(x)f ∗ g(x) dx est une forme
linéaire continue dont la norme est majorée par kf k p kgk q,T . Ceci prouve que f ∗ g est dans Lr (C), et
que
kf ∗ gk r,C ≤ kf k p kgk q,T .
Cela donne bien le résultat dans ce cas.
b) On suppose r = 1
L’égalité
1 1
+ =2
p q
implique que p et q sont égaux à 1. Alors, avec les mêmes notations que dans a), on obtient
ZZ
Z
|f ∗ g(y)| dy ≤
|f (y − x)g(x)| dM ≤ kf k 1 kgk 1,T .
C
L1 (Rn )
Si f et g sont dans
et positifs, on a
Z
Z
ZZ
Z
f ∗ g(y) dy =
f (y − x)g(x) dxdy = g(x)
f (y − x) dy dx
Z
Z
Z
Z
f (y) dy ,
g(x) dx
f (y) dy dx =
=
g(x)
donc
kf ∗ gk 1 = kf k 1 kgk 1 .
c) On suppose r = +∞, et 1/p + 1/q = 1 avec p et q finis
Si y est dans C, on a
|f ∗ g(y)| ≤
Z
T
|f (y − x)g(x)| dx ,
AE 7
d’où
|f ∗ g(y)| ≤
Z
|f (y − x)|p dx
1/p
1/q

Z
 |g(x)|q dx ≤ kf k p kgk q,T .
T
d) On suppose p = r = +∞, et q = 1
Si y est dans C, on a
|f ∗ g(y)| ≤ kf k ∞
Z
|g(x)| dx = kf k ∞ kgk 1,T .
T
e) On suppose q = r = +∞, et p = 1
Si y est dans C, on a
|f ∗ g(y)| ≤ kgk ∞,T
Z
|f (y − x)| dx = kgk ∞,T kf k 1 .
T
Les lemmes 3 et 4 donnent les cas particuliers de II. Il reste à étudier ceux de I.
Lemme 5 Toute fonction v de Lp (Rn ) à support compact K peut être approchée dans Lp (Rn ) par
des fonctions continues à support dans un voisinage arbitraire de K.
Nous allons démontrer que si Φ est une fonction continue positive à support dans B(0, 1) et telle que
Z
Φ(t) dt = 1 ,
alors, en posant
Φε = ε−n Φ(x/ε) ,
les fonctions Φε ∗ v répondent à la question.
D’après ce qui précède, Φε ∗ v est une fonction continue à support compact. Le support de Φε étant
inclus dans B(0, ε), celui de Φε ∗ v sera inclus dans K + B(0, ε) qui se trouve inclus dans un voisinage
arbitraire de K pour ε assez petit. Remarquons aussi que
Z
Φε (t) dt = 1 .
D’après le théorème précédent
kΦε ∗ vk p ≤ kΦε k 1 kvk p = kvk p .
Si w est une fonction continue à support compact, on a
kΦε ∗ v − vk p ≤ kΦε ∗ (v − w)k p + kΦε ∗ w − wk p + kw − vk p
≤ 2 kw − vk p + kΦε ∗ w − wk p .
AE 8
Si l’on montre le résultat pour les fonctions continues à support compact, on aura
lim kΦε ∗ v − vk p ≤ 2 kw − vk p
ε→0
pour tout w, et à cause de la densité, on en déduira que Φε ∗ v tend vers v dans Lp (Rn ).
Or
|(Φε ∗ w − w)(x)| ≤
Z
Φε (t)|w(x − t) − w(x)| dt ≤ sup |w(x − t) − w(x)| .
|t|≤ε
Mais w est uniformément continue sur Rn , donc le membre de droite tend vers 0 avec ε. Lorsque
0 < ε < 1, la fonction Φε ∗ w a son support inclus dans le compact supp w + B(0, 1), on en déduit que
kΦε ∗ w − wk p ≤ M kΦε ∗ w − wk ∞ ≤ M sup{|w(x − t) − w(x) | |t| ≤ ε, x ∈ Rn } ,
et toutes ces quantités tendent vers zéro.
Démonstration du cas particulier de I
Soit f dans Lp (Rn ) à support compact, et g dans Lqloc (Rn ), avec
1 1
+ = 1.
p q
Soit C un compact, K un compact assez grand pour contenir les supports des fonctions ft , pour |t| ≤ 1,
ainsi que ceux de (Φε ∗ f )t , pour t et ε assez petits, et
T = C + (−K) .
On a alors, par une méthode analogue à celle du lemme 3, la majoration
kf ∗ g − (f ∗ g)t k ∞,C ≤ 2 kgk q,T (kf − hk p + kh − ht k p ) ,
où h est une fonction Φε ∗ f . On conclut alors comme dans le lemme 3 que (f ∗ g)t tend vers f ∗ g dans
L∞ (C), ce qui montre que pour tout compact C, la fonction f ∗ g est continue sur C donc sur Rn .
Si g tend vers zéro à l’infini, et si Tx désigne {x} + (−K), on a
|f ∗ g(x)| ≤ kf k p kgk q,Tx .
Or
kgk q,Tx ≤ |Tx |1/q kgk ∞,Tx .
Donc, puisque
|Tx | = |K| ,
on a
|f ∗ g(x)| ≤ |K|1/q kgk ∞,Tx .
Si l’on pose
Rx = d(0, Tx ) ,
AE 9
on a
Rx = inf |x − u| = d(x, K) ,
u∈K
et donc
|f ∗ g(x)| ≤ |K|1/q kgk ∞,Rn \B(O,Rx ) .
Il en résulte que kgk ∞,Rn \B(O,Rx ) puis f ∗ g(x) tendent vers 0 lorsque x tend vers l’infini.
Le théorème précédent se généralise à un produit de m fonctions de la façon suivante :
Théorème
Soit p1 , . . . , pm , p, dans [ 1, +∞ ] tels que
1
1
1
+ ... +
=m−1+ .
p1
pm
p
Si, pour tout i, la fonction fi est une fonction de Lpi (Rn ), alors tous les produits de convolution partiels existent. Les calculs peuvent être effectués dans n’importe quel ordre, et la fonction p1 ∗ · · · ∗ pm
appartient à Lp (Rn ). La norme du produit est majorée par le produit des normes de chaque facteur.
i
De même, on peut supposer qu’un des termes appartient à Lploc
(Rn ), à condition que tous les autres
p
soient à support compact. Le produit appartient alors à Lloc (Rn ). De plus, on a une majoration de
la norme du produit sur un compact, par le produit des normes des facteurs, la norme du facteur
qui n’est pas à support compact étant prise sur un compact dépendant du compact initial et du
support des autres termes.
La démonstration de ce résultat nécessite une récurrence fastidieuse. Etudions pour simplifier ce qui
se passe pour m = 3.
Soit p, q, r, s dans [ 1, +∞ ] , avec
1 1 1
1
+ + =2+ ,
p q r
s
et soit f, g, h trois fonctions dans Lp (Rn ), Lq (Rn ) et Lr (Rn ) respectivement.
On a
1 1
1
1 1
+ −1=1+ − =
p q
s r
t
où t appartient à [ 1, +∞ ] . Le produit f ∗ g appartient à Lt (Rn ). Mais on a
1 1
1
+ =1+ ,
t
r
s
donc le produit (f ∗ g) ∗ h appartient à Ls (Rn ), ainsi que (|f | ∗ |g|) ∗ |h|. En procédant de manière
analogue, on voit que f ∗ (g ∗ h) est aussi dans Ls (Rn ). Enfin
k(f ∗ g) ∗ hk s ≤ kf ∗ gk t khk r ≤ kf k p kgk q khk r .
AE 10
Reste à montrer l’associativité. Considérons, pour z fixé, la fonction H définie par
H(x, y) = f (x)g(z − x − y)h(y) .
En utilisant le théorème de Fubini, on obtient.
ZZ
|H(x, y)| dxdy = (|f | ∗ |g|) ∗ |h|(z) .
s
n
On définit ainsi une fonction ϕ de
RRla variable z qui se trouve dans L (R ). On peut donc appliquer le
théorème de Fubini à l’intégrale
H(x, y) dxdy pour presque tout z, et l’on obtient l’associativité.