MAT431 2016-2017 Devoir `a la maison

MAT431
2016-2017
Devoir à la maison
Ce problème constitue une suite à l’exercice 4 de la feuille 1 (Calcul des variationsEquation d’Euler-Lagrange). Rappelons le contexte et les résultats obtenus.
Soit V un espace de Hilbert de dimension finie. Soit E = C 1 ([0; 1]; V ), muni de la norme
||γ||E = sup ||γ(t)||V + sup ||γ 0 (t)||V .
t∈[0;1]
t∈[0;1]
Soit I un intervalle ouvert contenant [0, 1] et
L : I × V × V −→ R,
(u, q, v) 7→ L(u, q, v)
une application de classe C 2 . (On a changé le nom des variables pour se rapprocher des
notations des physiciens ; on peut penser à la variable q comme à une position, et à la
variable v comme une vitesse. Les physiciens, qui n’ont peur de rien, utilisent même la
notation q̇ pour cette variable).
On fixe a, b dans V et l’on note Ea,b le sous-espace des γ ∈ E tel que γ(0) = a, γ(1) = b
(espaces des courbes à extrémités fixées a et b dans V ). C’est un sous-espace affine de E,
l’espace vectoriel sous-jacent étant E0,0 .
On définit
Z
1
L̂ : E → R,
L(t, γ(t), γ 0 (t)) dt
L̂(γ) =
0
On a montré que L̂ est de classe C et on a calculé
Z 1
∂L
∂L
0
0
0
dL̂γ (h) =
(t, γ(t), γ (t)) · h(t) +
(t, γ(t), γ (t)) · h (t) dt.
∂q
∂v
0
1
On a montré que si γ est un point critique de la restriction de L̂ à Ea,b , c’est-à-dire si
dL̂γ (h) = 0 pour tout h ∈ E0,0 , alors γ vérifie l’équation d’Euler-Lagrange (E.L) : pour
tout t ∈ [0; 1],
∂L
∂L
d
0
t 7→
(t, γ(t), γ (t)) =
(t, γ(t), γ 0 (t)).
(E.L)
dt
∂v
∂q
Nous supposerons dans ce problème que les solutions γ de l’équation d’Euler-Lagrange
que nous considérons sont de classe C 2 . Lorsque le Lagrangien est régulier (voir préambule
de la question (7) pour la définition de cette notion), ceci est toujours le cas.
***************************************************************************
(1) On suppose ici V = Rn muni du produit scalaire usuel et de la norme qui en découle.
On suppose que L = T − U , où T ne dépend que de v, T (v) = 21 ||v||2 (on reconnaı̂t
l’énergie cinétique), et U ne dépend que de q (c’est un potentiel ). Montrer que
l’équation d’Euler-Lagrange (E.L) est alors l’équation de Newton
γ 00 (t) = −∇U (γ(t)),
où ∇U désigne le gradient de U .
Correction. On a pour tout h ∈ Rn , ∂L
(u, q, v) · h = hv, hi et ∂L
(u, q, v) · h = −dUq (h) =
∂v
∂q
−h∇U (q), hi. Ainsi l’équation d’Euler-Lagrange devient
d
[t 7→ hγ 0 (t), hi] = hγ 00 (t), hi = −h∇U (γ(t)), hi,
dt
1
2
et comme ceci est vrai pour tout h ∈ Rn , on en déduit γ 00 (t) = −∇U (γ(t)).
On voudrait tout d’abord reformuler les résultats du préambule dans le cas où le Lagrangien L n’est pas défini sur I × V × V , mais sur une partie de la forme I × U1 × U2 , où
U1 et U2 sont des ouverts de V . Par exemple, avec les notations de la première question,
1
on voudrait autoriser un potentiel U (q) = ||q||
défini seulement sur V \ {0}.
On veut donc imposer aux courbes γ ∈ E de vérifier : pour tout t ∈ [0; 1], γ(t) ∈ U1 ,
γ 0 (t) ∈ U2 (les courbes restent confinées dans U1 , et leurs vecteurs tangents dans U2 ).
Notons E(U1 , U2 ) (respectivement Ea,b (U1 , U2 )) l’ensemble des γ ∈ E (respectivement
γ ∈ Ea,b ) vérifiant ces conditions. Commençons par une question préliminaire de topologie.
(2) Soient K et U respectivement un compact et un ouvert d’un espace métrique X (on
note d la distance). On suppose K ⊂ U. Pour tout > 0, on note
[
K =
B(x, ).
x∈K
C’est l’ensemble des points à distance plus petite que de K. On veut montrer que
pour assez petit, on a K ⊂ U. Introduisons le complémentaire F de U dans X.
Montrer en raisonnant par l’absurde que l’inf de la fonction
d : K × F → R,
(x, y) 7→ d(x, y)
est strictement positif et conclure.
Correction. Supposons le contraire. Comme d est à valeurs > 0, ceci signifie que
inf
d(x, y) = 0,
(x,y)∈K×F
et donc il existe une suite (xn )n dans K et une suite (yn )n dans F telles que d(xn , yn )
tend vers 0. Quitte à extraire une sous-suite, on peut par compacité de K, supposer que
(xn )n tend vers une limite x ∈ K, et on a
0 6 d(x, yn ) 6 d(x, xn ) + d(xn , yn )
donc d(x, yn ) tend vers 0. Mais x ∈ K ⊂ U, et on obtient une contradiction avec le fait
que U est ouvert : il existe une boule de centre x qui reste contenue dans U, et yn étant
dans F ne peut rentrer dans cette boule.
On pose donc = inf (x,y)∈K×F d(x, y) > 0. On voit alors immédiatement que K ∈ U.
(3) En déduire que E(U1 , U2 ) et Ea,b (U1 , U2 ) sont ouverts respectivement dans E et Ea,b
que les résultats de l’exercice rappelés ci-dessus restent valides. On pourra fixer γ0
dans l’un de ces espaces, et appliquer la question précédente aux compacts K =
{γ0 (t)| t ∈ [0; 1]} et K 0 = {γ00 (t)| t ∈ [0; 1]}
Correction.
On ne fait la démonstration que pour E(U1 , U2 ), celle pour Ea,b (U1 , U2 ) étant identique.
Il s’agit de montrer que pour assez petit, la boule BE (γ0 , ) dans E de centre γ0 et de
rayon est contenue dans E(U1 , U2 ). Soit γ dans cette boule, c’est-à-dire ||γ0 − γ||E 6 ,
ou encore, autrement dit
∀t ∈ [0; 1],
||γ0 (t) − γ(t)||V + ||γ00 (t) − γ 0 (t)||V 6 Les ensembles K et K 0 sont compacts, car ils sont images par une application continue
de l’intervalle compact [0; 1]. On trouve donc d’après la question précédente > 0 tel
que K ⊂ U1 et K0 ⊂ U2 . Pour ce choix de , l’inégalité ci-dessus montre que pour tout
t ∈ [0; 1], γ(t) ∈ BV (γ0 (t), ) ⊂ K ⊂ U1 , et de même γ 0 (t) ∈ BV (γ00 (t), ) ⊂ K0 ⊂ U2 .
3
Le cadre général du calcul différentiel est celui des fonctions définis sur des ouverts
d’espaces de Banach à valeurs dans des espaces de Banach. On peut donc remplacer
l’espace de Banach E du préambule par l’ouvert E(U1 , U2 ). Idem pour Ea,b (U1 , U2 ) qui est
un ouvert du sous-espace affine Ea,b .
On s’intéresse maintenant à savoir ce qu’il advient de l’équation d’Euler-Lagrange lorsqu’on effectue un changement de variables. Supposons donc que L soit défini sur I ×U ×V
où U est un ouvert de V , et soit φ : V → U un difféomorphisme (au moins C 2 ) d’un ouvert
V de V sur U. Posons
L1 : I × V × V → R,
(u, q1 , v1 ) 7→ L(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )).
(4) Montrer que si β = φ ◦ γ vérifie l’équation d’Euler-Lagrange pour L, où γ : [0; 1] → V,
alors γ vérifie l’équation d’Euler-Lagrange pour L1 .
Correction. On y va en finesse : pour tout h ∈ V :
∂L1
∂
(u, q1 , v1 ) · h =
L(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )) · h
∂q1
∂q1
=
∂L
∂L
(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )) ◦ dφq1 (h) +
(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )) ◦ d2 φq1 (h, v1 ),
∂q
∂v
∂L1
∂
∂L
(u, q1 , v1 ) · h =
L(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )) · h =
(u, φ(q1 ), dφq1 (v1 )) ◦ dφq1 (h).
∂v1
∂v1
∂v
On en déduit
d
∂L1
∂L
d
0
0
(t, γ(t), γ (t)) · h =
(t, φ(γ(t)), dφγ(t) (γ (t))) ◦ dφγ(t) (h).
t 7→
t 7→
dt
∂v1
dt
∂v
d
∂L
0
(t, β(t), β (t)) ◦ dφγ(t) (h).
=
t 7→
dt
∂v
d
∂L
∂L
0
=
(t, β(t), β (t)) ◦ dφγ(t) (h) +
(t, β(t), β 0 (t)) ◦ d2 φγ(t) (γ 0 (t), h).
t 7→
dt
∂v
∂v
Comme L vérifie l’équation d’Euler-Lagrange par hypothèse, ceci est égal à
=
∂L
∂L
(t, β(t), β 0 (t)) ◦ dφγ(t) (h) +
(t, β(t), β 0 (t)) ◦ d2 φγ(t) (γ 0 (t), h).
∂q
∂v
Or d’après ce qui est écrit ci-dessus, ceci est bien égal à
∂L1
(t, γ(t), γ 0 (t)) · h
∂q1
∂L
∂L
(t, φ(γ(t)), dφγ(t) (γ 0 (t))) ◦ dφγ(t) (h) +
(t, φ(γ(t)), dφγ(t) (γ 0 (t))) ◦ d2 φγ(t) (h, γ 0 (t)).
∂q
∂v
∂L
∂L
=
(t, β(t), β 0 (t)) ◦ dφγ(t) (h) +
(t, β(t), β 0 (t)) ◦ d2 φγ(t) (h, γ 0 (t)).
∂q
∂v
On remarque que l’on a utilisé le lemme de Schwarz : d2 φγ(t) (h, γ 0 (t)) = d2 φγ(t) (γ 0 (t), h).
=
Dans la suite, on suppose le Lagrangien L défini sur I × U × V . Soit X un champ
de vecteurs C ∞ sur U ne dépendant pas du temps. On note (s, x) 7→ F (s, x) = Fs (x)
son flot, que l’on suppose défini sur R × U. Rappelons que pour tout s ∈ R, Fs est un
difféomorphisme de U dans lui-même, et que Fs1 ◦ Fs2 = Fs1 +s2 On suppose que L est
4
invariant sous l’action du groupe à un paramètre de difféomorphismes (Fs )s∈R , c’est-à-dire
que pour tout s ∈ R, pour tout (u, q, v) ∈ I × U × V ,
L(u, Fs (q), d(Fs )q (v)) = L(u, q, v).
(5) Différencier cette identité par rapport à s, et évaluer en s = 0.
(6) Soit γ une courbe dans U vérifiant l’équation d’Euler-Lagrange. En se servant de la
question précédente,montrer que la fonction
∂F
∂L
0
(t, γ(t), γ (t)) ·
(s, γ(t))
t 7→ Q(t) =
∂v
∂s
|s=0
est constante.
Remarque. Ce résultat fondamental est le théorème de Noether : si le Lagrangien est
invariant sous l’action d’un groupe à un paramètre de difféomorphismes, on peut associer
une quantité conservée. C’est par exemple le fondement de la physique des particules
(modèle standard, etc). A titre d’exemple, les plus courageux pourront reprendre le Lagrangien de la première question dans le cas où V = R3 et où le potentiel U admet une
1
symétrie sphérique, U (q) = ||q||
par exemple, et déduire de l’invariance du Lagrangien par
rotation l’invariance du moment cinétique .
(s, q). On a donc
Correction. On remarque que d(Fs )q = ∂F
∂x
0=
d
[s 7→ L(u, Fs (q), d(Fs )q (v))]
ds
∂L
∂F
∂L
∂ 2F
(u, Fs (q), d(Fs )q (v)) ·
(s, q) +
(u, Fs (q), d(Fs )q (v)) ·
(s, q)(v).
∂q
∂s
∂v
∂s∂x
En s = 0, comme F0 est l’identité de U, on obtient
2
∂L
∂F
∂L
∂ F
0=
(u, q, v) ·
(s, q)
+
(u, q, v) ·
(s, q)(v)
.
∂q
∂s
∂v
∂s∂x
|s=0
|s=0
=
Calculons maintenant Q0 (t) :
"
#
d
∂L
∂F
Q0 (t) =
t 7→
(t, γ(t), γ 0 (t)) ·
(s, γ(t))
dt
∂v
∂s
|s=0
"
"
##
d
∂F
∂L
∂F
∂L
d
=
(t, γ(t), γ 0 (t)) ·
(s, γ(t))
+ (t, γ(t), γ 0 (t))·
t 7→
(s, γ(t))
t 7→
dt
∂v
∂s
dt
∂s
|s=0 ∂v
|s=0
On utilise l’équation d’Euler-Lagrange pour réécrire le premier terme
" "
##
∂L
∂F
∂L
d
∂F
t 7→
Q0 (t) =
(t, γ(t), γ 0 (t))·
(s, γ(t))
+ (t, γ(t), γ 0 (t))·
(s, γ(t))
∂q
∂s
dt
∂s
|s=0 ∂v
|s=0
D’autre part
"
# 2
d
∂F
∂ F
0
t 7→
=
(s, γ(t))
(s, γ(t)) · γ (t)
.
dt
∂s
∂x∂s
|s=0
|s=0
On a donc
2
∂L
∂F
∂L
∂ F
0
0
0
0
(t, γ(t), γ (t)) ·
(s, γ(t))
+
(t, γ(t), γ (t)) ·
(s, γ(t)) · γ (t)
Q t) =
∂q
∂s
∂v
∂x∂s
|s=0
|s=0
5
Réécrivons ensuite l’identité obtenue à la question précédente avec (u, q, v) = (t, γ(t), γ 0 (t)) :
2
∂F
∂L
∂ F
∂L
0
0
0
(t, γ(t), γ (t)) ·
(s, γ(t))
+
(t, γ(t), γ (t)) ·
(s, γ(t)) · γ (t)
.
0=
∂q
∂s
∂v
∂s∂x
|s=0
|s=0
On a bien obtenu Q0 (t) = 0. Remarquons que l’on a encore utilisé le lemme de Schwarz :
∂2F
∂2F
= ∂s∂x
.
∂x∂s
Nous revenons maintenant à l’équation d’Euler-Lagrange pour une courbe γ, et nous
aimerions transformer celle-ci en une équation différentielle du second ordre vérifiant les
hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. Pour cela, il faut faire certaines hypothèses.
Tout d’abord, on suppose le Lagrangien défini sur I ×V ×V (pour simplifier les notations)
2
et γ de classe C 2 . Rappelons que pour tout (u, q, v) ∈ I × V × V , ∂∂vL2 (u, q, v) est une
forme bilinéaire symétrique sur V :
(`1 , `2 ) ∈ V × V 7→
∂ 2L
(u, q, v) · (`1 , `2 ).
∂v 2
On peut voir
∂ 2L
(u, q, v) · (`1 , . )
∂v 2
comme une application linéaire de V à valeurs dans L(V ; R). L’hypothèse supplémentaire
que l’on fait dans la suite est que cette application linéaire est un isomorphisme de V sur
L(V ; R). On dit alors que le Lagrangien est régulier.
`1 ∈ V 7→
(7) On pose
∂L
(u, q, v)).
∂v
Montrer qu’en tout point (u0 , q0 , v0 ) de I × V × V , dΦ(u0 ,q0 ,v0 ) est un isomorphisme.
En déduire que si l’on pose p = ∂L
(u, q, v) ∈ L(V ; R), on peut localement autour
∂v
de ce point (u0 , q0 , v0 ) exprimer v comme une fonction de classe C 1 de (u, q, p) ∈
I × V × L(V ; R) :
v = g(u, q, p).
Φ : I × V × V → I × V × L(V ; R),
(u, q, v) 7→ (u, q,
Correction. On a
∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
dΦ(u0 ,q0 ,v0 ) (u, q, v) = u, q,
(u0 , q0 , v0 ) · u +
(u0 , q0 , v0 ) · q +
(u0 , q0 , v0 ) · v .
∂u∂v
∂q∂v
∂v∂v
Comme nous sommes en dimension finie, il suffit de montrer que dΦ(u0 ,q0 ,v0 ) est injective pour montrer que c’est un isomorphisme. Mais le calcul ci-dessus montre que si
dΦ(u0 ,q0 ,v0 ) (u, q, v) = 0, alors u = 0, q = 0 et
∂ 2L
(u0 , q0 , v0 ) · v = 0.
∂v∂v
L’hypothèse de régularité du Lagrangien est justement l’injectivité de
∂ 2L
(u0 , q0 , v0 ) · v,
∂v∂v
(à valeurs dans L(V ; R)) d’où v = 0.
Comme dΦ(u0 ,q0 ,v0 ) est un isomorphisme, le théorème d’inversion locale implique
qu’il existe un voisinage ouvert de (u0 , q0 , v0 ) et voisinage ouvert de Φ(u0 , q0 , v0 ) tous
deux dans dans I × V × V , tel que Φ réalise un C 1 -difféomorphisme entre ces deux
v 7→
6
voisinages. Soit Ψ son inverse et p3 la projection de I × V × V sur le troisième facteur.
(u, q, v), on obtient
En posant p = ∂L
∂v
∂L
Ψ
u, q,
(u, q, v)
= Ψ ((u, q, p)) = (u, q, v)
∂v
et donc v = p3 ◦ (Ψ(u, q, p)). On pose donc g = p3 ◦ Ψ qui est de classe C 1 .
(t, γ(t), γ 0 (t)), réécrire
(8) En remplaçant (u, q, v) par (t, γ(t), γ 0 (t)) et p par p(t) = ∂L
∂v
localement l’équation d’Euler-Lagrange sous la forme d’un système
(
γ 0 (t) = g(t, γ(t), p(t))
p0 (t) = ∂L
(t, γ(t), g(t, γ(t), p(t)).
∂q
et que les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites pour celui-ci.
Correction. On fait ce que l’énoncé nous demande, pour obtenir immédiatement
γ 0 (t) = g(t, γ(t), p(t)). La seconde équation p0 (t) = ∂L
(t, γ(t), g(t, γ(t), p(t)) est obte∂q
nue de la définition de p(t) et de l’équation d’Euler-Lagrange (valide sur l’intervalle de
temps ]0, 1[). Les applications g et ∂L
sont C 1 et donc le système vérifie les hypothèses
∂q
du théorème de Cauchy-Lipschitz.
(9) En déduire que si on se donne (t0 , q0 , v0 ) ∈]0; 1[×V × V , il existe un intervalle ouvert
J ⊂]0, 1[ tel qu’il existe une unique courbe γ vérifiant l’équation d’Euler-Lagrange
avec γ(t0 ) = q0 et γ 0 (t0 ) = v0 .
Correction. On applique le théorème de Cauchy-Lipschitz.