avion - IUT en Ligne

DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES
EXERCICE DE PERFECTIONNEMENT SUR LES BASES DU COMPORTEMENT ELASTIQUE
ex-avion.doc/version du 01/11/2010/JG
NOM :
groupe
ELEMENTS DE REDUCTION DU TORSEUR DE COHESION – AVION
En cours de vol l’empennage d’un avion peut être sollicité par les
efforts aérodynamiques que l’on donne qualitativement :
J
Z
J
F
F
- sur la gouverne de direction : F = X F X + YF Y avec X F < 0 et
H
YF > 0
H
- sur la gouverne de profondeur : H = Z H Z avec Z H > 0 et J = Z J Z
A
G
avec Z J > 0 ; J = H et F << H
Autres données : GA = x A X ; GF = x F X + z F Z ;
X
GH = x H X + y H Y ; GJ = x J X + y J Y ; GA << GH ; GJ = GH
Y
Travail demandé :
Calculer littéralement les éléments de réduction du torseur de ces actions aérodynamiques transmissibles au centre géométrique A
d’une section fuselage :
A = X X + Y Y + Z Z 
A
A
A
Faérodyn / II A = 

M A = L A X + M A Y + N A Z A , R
{
}
à l’issue de ces calculs littéraux et compte tenu des données,
indiquer les signes des composantes algébriques des forces et des
moments, en vérifier ensuite la cohérence mécanique sur la
figure
donner sur cette figure une représentation vectorielle des
efforts transmissibles
Z
J
F
H
G
A
X
Y
1
afin de déterminer les sollicitations dans cette section du fuselage, calculer littéralement les éléments de réduction du torseur de cohésion en son
centre géométrique A (actions de la partie supprimée II sur la partie conservée I) ; faire apparaître explicitement le changement de base r Local à R
Global
{Coh }
II / I A , r
R
 II / I = N x x + T y y + T z z
=
M A(II / I) = M t x + Mf y y + Mf z



z 
A,r
donner sur cette figure une représentation vectorielle des efforts de cohésion.
y
x
I
G
A
z
en utilisant les résultats de la théorie des poutres, représenter sur les six figures l’allure du champ des contraintes pour chaque
sollicitation recensée et y localiser les points soumis à des contraintes maximales et nulles
sollicitation :
sollicitation :
sollicitation :
contraintes engendrées :
contraintes engendrées :
contraintes engendrées :
y
z
y
x
sollicitation :
contraintes engendrées :
z
x
sollicitation :
contraintes engendrées :
y
z
y
z
sollicitation :
contraintes engendrées :
y
x
z
x
y
x
z
x
expression algébrique littérale de la contrainte normale résultante en fonction des éléments de réduction du torseur de cohésion en
point de la section :
expression vectorielle littérale de la contrainte tangentielle résultante en point de la section :
2
CORRECTION
Calculer littéralement les éléments de réduction du torseur de ces
actions aérodynamiques transmissibles au centre géométrique A
d’une section fuselage ::
A = X X + Y Y + Z Z 
A
A
A
Faérodyn / II A = 

M A = L A X + M A Y + N A Z A , R
Calcul de la résultante des forces
 XA = XF 
X A < 0
A ⇒  YA = YF  ⇒  YA > 0
Z = Z + Z 
Z > 0
H
J R
 A
 A
Calcul du moment résultant en A
{
}
Y
yH
0
Z 

0  = y H .Z H X − x AH .Z H Y
Z H 

 X Y Z


AJ ∧ J =  x AJ y J 0  = y J .Z J X − x AJ .Z J Y
 0
0 Z J 


Signes des composantes algébriques des vecteurs position dans
le repère GXYZ (cf. configuration géométrique sur l’avion)
>0
yH
zF
< 0 xAF xAH xAJ
yJ
 L A = −z F .YF + y H .Z H + y J .Z J 
 LA < 0
M A ⇒ M A = z F .X F − x AH .Z H − x AJ .Z J  ⇒ M A > 0


 N A < 0
N A = x AF .YF
A,R
en donner une représentation vectorielle.
M A = AF ∧ F + AH ∧ H + AJ ∧ J
On pose
AF = AG + GF = GF − GA = ( x F X + z F Z) − x A X
= ( x F − x A )X + z F Z = x AF X + z F Z
AH = GH − GA = ( x H − x A )X + y H Y = x AH X + y H Y
 X

AH ∧ H =  x AH
 0

et
Z
AJ = GJ − GA = ( x J − x A )X + y J Y = x AJ X + y J Y
Détails des produits vectoriels pour calculer les moments
 X
Y Z


AF ∧ F =  x AF 0 z F  = −z F .YF X + z F .X F Y + x AF .YF Z
X

 F YF 0 
J
F
ZA
H
XA
LA
A
G
YA
NA
MA
X
Y
afin de déterminer les sollicitations dans cette section du
fuselage, calculer littéralement les éléments de réduction du
torseur de cohésion en son centre géométrique A
R

= N x x +T y y +Tz z

Coh II / I A =  II / I

M A(II / I ) = M t x + Mf y y + Mf z z 
A, r
Matrice de passage du repère local vers le repère global
X = − x 
X 
- 1 0 0   x 
 
 




Y  =  0 0 1  •  y  ⇒  Y = z 
Z
 
 Z= y 
  R  0 1 0  z  r


- après avoir exprimé dans le repère local {F aero / II }A (remplacer
{
en donner une représentation vectorielle.
y
}
x
TyA
NA
MtA
A
I
G Mfy
A
TzA
MfzA
z
les vecteurs unitaires du repère global par leur expression en
repère local) et sachant que Coh sup II / consI A = {F aero / II }A :
{
}
R

 II / I = −X A x + Z A y + YA z 
=


II / I A
M A(II / I ) = −L A x + N A y + M A z  A ,r
éléments de réduction du torseur de cohésion de II / I au point A
N = −X A 
M x = −L A 




 T y = Z A  et Mf y = N A 
T =Y 
Mf = M 
A r
A  A ,r
 z
 z
{Coh }
3
sollicitation : N traction suivant x
contraintes engendrées : normales
sollicitation : Ty cisaillement
contraintes engendrées : tangentielles
y
sollicitation : Tz cisaillement
contraintes engendrées : tangentielles
y
y
τ xz max
τ=0
z
x
σx
τz = 0
x
z
τ=0
sollicitation : Mt torsion/x
contraintes engendrées : tangentielles
T
T
z
sollicitation : Mfz flexion/z
contraintes engendrées : normales
y
y
σ=0
max
x
τ xz max
y
sollicitation : Mfy flexion/y
contraintes engendrées : normales
y
σx
Mf y
τ
σ=0
σ=0
Mt
z
τ
τ
N
τ
τ=0
τ xy max
τ xy max
x
z
z
x
σx
x
Mf z
σ=0
expression algébrique littérale de la contrainte normale résultante en point de la section en fonction des éléments de réduction du
torseur de cohésion:
σx = σx + σx + σx =
N
Mf y
Mf z
N Mf y
Mf z
+
×z−
×y
S
Iy
Iz
expression vectorielle littérale de la contrainte tangentielle résultante en point de la section :
τ = τ xy y + τ xz z
En superposant les trois sollicitations engendrant des contraintes tangentielles
4
τ= τ+ τ+ τ
Ty
Tz
Mt