Qualités de vol de l`avion souple

Qualités de vol de l’avion
souple
Influence de la souplesse voilure sur le foyer
Dominique BLANC
Rodolphe GOURSEAU
17 mars 2005
P.I.R. Long X
PROMOTION 2005
SUPAERO-ONERA
Remerciements
Nous remercions Jean-Luc Boiffier et Clément Toussaint pour nous avoir
guidés et soutenus tout au long de ce projet de recherche.
Nous soulignons également la contribution essentielle des travaux d’Élodie
Roux et de Marco Adurno à notre étude.
Tables de matières
iii
Table des matières
Introduction
1 Hypothèses
1.1 Notations . . . . . . . .
1.2 Masse volumique de l’air
1.3 Hauteur de caisson . . .
1.4 Force de portance . . . .
iv
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1
1
2
3
4
2 Calcul du moment quadratique
2.1 Moment de flexion de la force de portance . . . . . . . . . . .
2.2 Moment quadratique d’une section . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
3 Déplacement du foyer
3.1 Dimensionnement et vol
3.2 Loi de déformation . . .
3.3 Loi d’incidence . . . . .
3.4 Avancement du foyer . .
3.5 Application numérique .
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8
8
8
9
11
14
4 Validité du modèle
4.1 Choix de la répartition de portance . . . . . .
4.1.1 Corde linéaire . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Portance proportionnelle à la corde . .
4.2 Modèle de structure . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Semelles du caisson . . . . . . . . . . .
4.2.2 Influences . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Simplification de la statique de l’avion souple
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16
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18
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Synthèse
19
Bibliographie
20
P.I.R.
17 mars 2005
Introduction
iv
Introduction
De même que n’importe quelle structure soumise à une sollicitation, une
aile d’avion se déforme sous l’action des forces aérodynamiques. Ainsi, même
si les mécaniciens des structures tentent de minimiser leurs effets, portance
et traînée ont une incidence sur l’aspect d’une aile qui, portant, n’a plus en
l’air la forme qu’elle avait au sol.
Un cisaillement dans la direction de la largeur d’une poutre la déforme
moins que s’il lui est appliqué selon son épaisseur. Si on suppose en plus
que l’aile d’avion a une bonne finesse (portance supérieure d’un ordre de
grandeur à la traînée), on peut supposer que l’effet principal des contraintes
aérodynamiques est celui de la portance.
On s’attend alors logiquement à un déplacement vertical de l’aile sous
l’effet de sa souplesse. Mais, par un effet géométrique, ce déplacement induit également une diminution de l’incidence locale de l’aile. Cela a pour
conséquence de faire avancer le foyer de l’avion. Ce phénomène peut être
dangereux si le foyer passe devant le centre de gravité de l’avion. L’avion
est alors instable, c’est-à-dire que soumis à une rafale qui augmenterait son
incidence, la somme des moments tendrait à faire augmenter cette incidence,
et l’avion deviendrait incontrôlable. Mais sans aller jusqu’à cette situation,
le déplacement du foyer a une influence sur la maniabilité de l’avion. À deux
masses différentes (ie pour deux déformations différentes de la voilure) mais
pour le même ordre du pilote, l’avion régira différemment. On comprend alors
l’intérêt de pouvoir prévoir le déplacement du foyer d’un avion.
Notre étude, qui allie structures, aérodynamique et géométrie, a pour objectif de retrouver cet effet par la théorie, de le quantifier et de comparer
nos résultats théoriques aux données disponibles. Pour rendre nos développements plus concrets, nous les appliquerons au cas de l’Airbus A300-600.
P.I.R.
17 mars 2005
1
Chapitre 1
Hypothèses
Dans cette partie, nous définissons les variables, les notations ainsi que le
modèle d’atmosphère utilisé pour la calcul de la masse volumique de l’air à
l’altitude de croisière, le modèle géométrique d’aile (purement trapézoïdale)
et le type de répartition de portance que nous utiliserons.
1.1
Notations
x
y
O
ϕ
η
Fig. 1.1 – Repère avion et axe élastique
P.I.R.
17 mars 2005
1.2 Masse volumique de l’air
2
On considère le repère avion canonique Oxyz et on introduit l’axe Oη
élastique de l’aile. L’angle entre Oy et Oη est l’angle de flèche ϕ.
On introduit une variable adimensionnée y suivant l’axe Oy. On a alors :
b
y=y .
2
b
.
η est une variable adimensionnée par
2 cos(ϕ)
On utilise les notations suivantes :
– ϕ : angle de flèche ;
– b : envergure des deux ailes ;
– h : coefficient permettant de ne considérer que la hauteur du longeron
sans la peau, rapport entre la hauteur effective du longeron et l’épaisseur de l’aile ;
– er : épaisseur relative du profil, rapport entre l’épaisseur et la corde ;
– cemp : corde à l’emplanture ;
– cma : corde moyenne aérodynamique ;
– ε : effilement, rapport entre la corde à l’extrémité et la corde à l’emplanture ;
– λ : allongement de l’aile, rapport entre le carré de l’envergure et la
surface alaire ;
– Sa : surface alaire ;
– E : module d’Young du matériau du caisson ;
– MM T OW : masse maximale au décollage ;
– V : vitesse de croisière ;
– nz : facteur de charge extrême ;
– g : accélération de la pesanteur ;
– σ = −3.10−3 E : contrainte extrême en compression du matériau du
caisson ;
– ρ : masse volumique locale de l’air ;
– Czα : gradient de coefficient de portance ;
– v : déformation transversale suivant Oz locale de l’aile en mètres.
1.2
Masse volumique de l’air
On considère le modèle standard de l’atmosphère pour évaluer la masse
volumique de l’air à une altitude donnée ζ.
ρ = ρ0 e
P.I.R.
− ζζ
0
(1.1)
17 mars 2005
1.3 Hauteur de caisson
3
Les valeurs références sont :
ρ0 = 1.225 kg.m−3
(1.2)
ζ0 = 9.103 m
(1.3)
Ainsi à une altitude de 10000 m, la masse volumique de l’air vaut :
(1.4)
ρ ' 0.403 kg.m−3
1.3
Hauteur de caisson
On fait l’hypothèse que la corde varie linéairement en fonction de η :
(1.5)
c = cemp (1 + (ε − 1) η)
Cette corde est la longueur d’une section d’aile prise dans le sens de
l’écoulement amont de l’air. La corde c est donc parallèle à l’axe Ox, ou
encore perpendiculaire à Oy.
On peut aussi exprimer aussi la corde en fonction de y :
2y
c = cemp 1 + (ε − 1)
(1.6)
b
On suppose de plus que l’épaisseur relative er et le coefficient h sont
constants sur toute l’aile. Ainsi la hauteur du caisson varie linéairement en
fonction de la corde et s’exprime par a :
(1.7)
h = h er c = h er cemp (1 + (ε − 1) η)
On peut alors mettre en évidence les relations suivantes :
cma
2
=
b
Z
b
2
c(y) dy = cemp
0
Sa = b cma
λ=
b2
b
=
Sa
cma
b = λ cma
a
ε+1
2
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
Élodie Roux, Méthodes de masse voilure [1], p. 57
P.I.R.
17 mars 2005
1.4 Force de portance
1.4
4
Force de portance
On considère un cas simplifié où la force de portance varie proportionnellement avec la corde. On choisit donc une force linéique Fη du type :
(1.12)
Fη = K c(η)
Il s’agit d’une force linéique par unité de longueur suivant l’envergure.
K est une constante qui s’interprète physiquement comme une portance
surfacique. L’égalité de l’accélération (produit du facteur de charge extrême
et du poids) et de la portance à la rupture Fextr (cas dimensionnant pour les
semelles du caisson) pour une seule aile permet de déterminer la valeur de
K:
Z 1
b
MM T OW nz g
Fextr =
K c(η) cos(ϕ)dη =
(1.13)
2 cos(ϕ) 0
2
Le terme c(η) cos(ϕ) provient du fait qu’il faut projeter la corde selon un
axe perpendiculaire à l’axe d’intégration qui est ici l’axe élastique Oη (voir
figure 1.2).
x
ϕ
dη.c(η).cos( ϕ)
η
Fig. 1.2 – Corde réelle et corde projetée
b
vient du fait que η est une grandeur adimensionnée et
2 cos(ϕ)
b
que l’intervalle d’intégration est physiquement [ 0 ;
].
2 cos(ϕ)
Le terme
P.I.R.
17 mars 2005
1.4 Force de portance
5
x
B
A
c(η)
ϕ
η
Fig. 1.3 – Surface de l’aile et surface d’intégration
En intégrant de cette manière, on n’intègre pas sur la forme véritable A
de l’aile, mais sur une forme B différente aux extrémités (comme le montre la
figure 1.3). En fait, un calcul simple d’aire de trapèzes montre que ces deux
surfaces sont égales.
Après calcul, on obtient la forme suivante pour la force linéique de portance :
2 MM T OW nz g
K=
(1.14)
b cemp (ε + 1)
Fη =
P.I.R.
2 MM T OW nz g
(1 + (ε − 1) η)
b (ε + 1)
(1.15)
17 mars 2005
6
Chapitre 2
Calcul du moment quadratique
Pour calculer la déformation de l’aile, les équations de structures nécessitent la connaissance du moment quadratique du caisson. Pour cela,
nous avons besoin de ses caractéristiques. N’ayant pas accès aux valeursconstructeur des sections des semelles du caisson, nous les dimensionnons
pour supporter les charges extrêmes.
2.1
Moment de flexion de la force de portance
Pour l’aile tribord, on calcule d’abord le moment de flexion de la force de
portance Fη = K c(η) exercé par la portion située à droite de η sur la portion
à gauche ou encore le moment en η de toute la portance qui s’exerce à droite
de η :
2 Z 1
b
MF =
(2.1)
(1 − η) K c(η) cos(ϕ) dη
2 cos(ϕ)
η
Là encore il faut voir le coefficient K comme une portance surfacique.
Comme on effectue l’intégration dans la direction de l’axe élastique Oη, l’élément de surface à considérer est : c(η) cos(ϕ) dη.
Comme pour le calcul de la force de portance, la surface d’intégration
ne correspond pas à la forme réelle de l’aile (voir figure 1.2). L’intégration
suivant la surface B est plus naturelle et le résultat obtenu est le même que
celui obtenu avec la surface A.
Tout calcul fait, on obtient le résultat suivant :
MF =
b MM T OW nz g
(1 − η)2 (ε + 2 [1 + (ε − 1) η])
12 (ε + 1) cos(ϕ)
(2.2)
1
Remarquons la dépendance en cos(ϕ)
qui fait augmenter le moment avec la
force. Cette évolution se comprend lorsque l’on voit qu’augmenter ϕ revient
P.I.R.
17 mars 2005
2.2 Moment quadratique d’une section
7
à augmenter la longueur de la poutre sans changer l’envergure de l’aile.
2.2
Moment quadratique d’une section
En compression, la surface de la semelle extrados est dimensionnée selon
le critère a :
MF
(2.3)
SE = −
hσ
En utilisant les résultats précédents, on obtient :
SE = −
b MM T OW nz g
(1 − η)2 (ε + 2 [1 + (ε − 1) η])
1 + (ε − 1) η
12 (ε + 1) σ h er cemp cos(ϕ)
(2.4)
Nous dimensionnons la semelle intrados par la formule simple suivante
qui représente bien la réalité :
SI '
SE
2.5
(2.5)
La surface extrados doit assurer la tenue de l’aile pour un facteur de
charge de 2.5 × 1.5. La surface intrados doit, elle, tenir pour un facteur de
charge de −1 × 1.5. Il est donc raisonnable de prendre un rapport de section
SE
2.5×1.5
égal au rapport des facteurs de charge | −1×1.5
| = 2.5.
SI
Le moment quadratique est donné par b :
Iy = h 2
SE
SI SE
' h2
SI + S E
3.5
(2.6)
Le résultat du calcul du moment quadratique est le suivant :
Iy = −
a
b
b MM T OW nz g h er cemp
(1−η)2 (ε+2 [1+(ε−1) η]) (1+(ε−1) η) (2.7)
42 σ (ε + 1) cos(ϕ)
Élodie Roux, Modèle de Masse Voilure [1], p. 55
Élodie Roux, Méthodes de masse voilure [1], p. 52
P.I.R.
17 mars 2005
8
Chapitre 3
Déplacement du foyer
L’objet de ce chapitre est d’estimer l’avancement du foyer dû à la souplesse
de l’aile. Pour cela, il nous faut connaître la déformation de l’aile. Celle-ci va
modifier la répartition de la portance ainsi que le moment de tangage et le
point d’application de la résultante aérodynamique.
3.1
Dimensionnement et vol
Le calcul du moment quadratique est effectué pour le facteur de charge
extrême nz = 2.5 × 1.5 = 3.75 qui est dimensionnant pour les semelles.
En revanche, pour la suite on se place dans le cas du vol de croisière où
nz = 1.
Les expressions littérales de la force de portance et de son moment de
flexion (déterminés pour un facteur de charge quelconque) sont a fortiori
valables en prenant cette nouvelle valeur de facteur de charge.
3.2
Loi de déformation
La loi de déformation de l’aile v(η) est donnée en fonction du moment de
portance à nz = 1, du moment quadratique de dimensionnement(nz = 3.75)
et du module d’Young E.
2 2
2 cos(ϕ)
∂ v
MF = E I y
(3.1)
b
∂η 2
Le terme
P.I.R.
2 cos(ϕ)
b
2
vient du fait que η est une variable adimensionnée
17 mars 2005
3.3 Loi d’incidence
par
9
b
.
2 cos(ϕ)
Après calcul, on obtient :
∂2v
1
7 σ b2
=
−
2
2
∂η
8 nz h er cemp E cos (ϕ) 1 + (ε − 1) η
(3.2)
∂v
(0) = 0 donne :
∂η
ln 1 + (ε − 1) η
7 σ b2
∂v
=−
(3.3)
∂η
ε−1
8 nz h er cemp E cos2 (ϕ)
Une première intégration sur [0; η] avec la condition
Une deuxième intégration sur [0; η] avec la condition v(0) = 0 donne le
résultat final :
1 + 1 + (ε − 1) η ln 1 + (ε − 1) η − 1
7 σ b2
v(η) = −
(ε − 1)2
8 nz h er cemp E cos2 (ϕ)
(3.4)
a
La flèche est maximale en η = 1 et la valeur maximale est :
v(η = 1) = −
3.3
1 − ε + ε ln(ε)
7 σ b2
2
(ε − 1)2
8 nz h er cemp E cos (ϕ)
(3.5)
Loi d’incidence
Le fait que l’axe élastique ne soit pas perpendiculaire à l’écoulement (et
donc à la corde aérodynamique) entraîne que les extrémités d’une corde n’appartiennent pas à la même section élastique. Par conséquent, la flexion de
l’aile crée dans l’axe de la corde une incidence locale supplémentaire ∆α(η)
qui dépend de la flexion v(η). Ainsi, comme le montre la figure 3.2, on a :
c(η) 2 cos(ϕ)
c(η) 2 cos(ϕ)
v η− 2
sin(ϕ) − v η + 2
sin(ϕ)
b
b
tan(∆α) =
(3.6)
c(η)
2 cos(ϕ)
Le terme en
associé au terme c(η) est indispensable car la variable
b
η est adimensionnée.
a
Pour un Airbus A300-600, cette valeur vaut numériquement 0.96 m [voir section 3.5].
P.I.R.
17 mars 2005
3.3 Loi d’incidence
10
v(η = 1)
v(η = 0.75)
v(η = 0.5)
v(η = 0.25)
0
0.2
0.4
η
0.6
0.8
1
Fig. 3.1 – Allure de la flèche v en fonction de η
Dans la suite, on pose :
ξ=
c(η)
sin(ϕ)
(3.7)
v(η − 2ξ ) − v(η + 2ξ )
(3.8)
b
2 cos(ϕ)
Ce qui conduit à :
tan(∆α) =
ξ
b
2 cos(ϕ) sin(ϕ)
qui est équivalent à :
2 cos(ϕ) v(η − 2ξ ) − v(η + 2ξ )
tan(∆α) = sin(ϕ)
b
ξ
(3.9)
En effectuant un développement limité au premier ordre b en η, la variation d’incidence due à la flexion de l’aile suit la loi :
2 cos(ϕ) ∂v
tan(∆α) = − sin(ϕ)
(η)
(3.10)
b
∂η
On linéarise aux petits angles :
∆α = −
2
sin(ϕ) cos(ϕ) v 0 (η)
b
(3.11)
On commet une erreur de moins de 1% sur toute l’envergure du profil en ne conservant
que le premier terme dans le développement limité, ce qui justifie cette approximation.
b
P.I.R.
17 mars 2005
3.4 Avancement du foyer
11
x
écoulement aérodynamique
y
ϕ
ϕη
η
ϕ
η
v(η)
∆η=2.ξ
∆v
η
η +2.cos(ϕ)/b.c(η).sin(ϕ)
η−2.cos(ϕ)/b.c(η).sin(ϕ)
Fig. 3.2 – Variation d’incidence ∆α
On obtient finalement :
7 σ b tan(ϕ) ln 1 + (ε − 1) η
∆α =
ε−1
4 nz h er cemp E
3.4
(3.12)
Avancement du foyer
On vient de mettre en évidence l’apparition d’une variation d’incidence
due à la souplesse de l’aile. Celle-ci va donc perturber la répartition linéique
de portance Fη calculée en vol de croisière pour une aile rigide, et va modifier
la position du foyer.
Dans un premier temps, on s’intéresse à la portance linéique de l’avion
rigide en vol de croisière à la vitesse V .
P.I.R.
17 mars 2005
3.4 Avancement du foyer
12
0
∆α(η = 0.25)
∆α(η = 0.5)
∆α(η = 0.75)
∆α(η = 1)
0
0.2
0.4
η
0.6
0.8
1
Fig. 3.3 – Allure de la variation d’incidence ∆α en fonction de η
Elle s’exprime par :
(Fη )R = Knz =1 c(η) =
2 MM T OW g
(1 + (ε − 1) η)
b (ε + 1)
La portance totale d’une aile est donc :
Z 1
b
MM T OW g
FR =
Knz =1 c(η) cos(ϕ) dη =
2 cos(ϕ) 0
2
(3.13)
(3.14)
En raison de la flèche de l’aile, le moment de tangage associé a deux
composantes : l’une suivant Ox et l’autre suivant Oy. Or seule la contribution suivant Ox influe sur la position longitudinale du foyer (par symétrie
de l’avion, les composantes suivant Oy des deux ailes sont opposées et s’annulent). On calcule donc le moment de tangage de la portance rigide projeté
sur l’axe Ox.
2 Z 1
b
η Knz =1 c(η) cos(ϕ) dη
(3.15)
MR = sin(ϕ)
2 cos(ϕ)
0
soit
MR =
P.I.R.
b tan(ϕ) MM T OW g 2 ε + 1
12
ε+1
(3.16)
17 mars 2005
3.4 Avancement du foyer
13
On note xR la distance entre l’origine O (point d’intersection de l’axe Ox
et de l’axe élastique Oη) et la position du foyer rigide. Le point O est un
point de la corde à l’emplanture. La prise en compte du diamètre du fuselage
n’est pas nécessaire dans le problème du tangage (symétrie de l’avion par
rapport à Ox). On a :
xR = −
b tan(ϕ) 2 ε + 1
MR
=−
FR
6
ε+1
(3.17)
On peut adimensionner par la corde à l’emplanture ou par la corde
moyenne aérodynamique la position du foyer dans le cas statique. On obtient alors :
xR
λ
=−
tan(ϕ) (2 ε + 1)
(3.18)
cemp
12
λ tan(ϕ) 2 ε + 1
xR
=−
cma
6
ε+1
(3.19)
Dans un deuxième temps, on calcule la portance de l’avion souple ce
qui nécessite de connaître la portance linéique. On peut décomposer cette
portance linéique en deux contributions : la première est celle due à l’avion
rigide, et la deuxième provient de la variation locale d’incidence due à la
flexion de l’aile. Cela s’écrit :
1
ρV 2
(Fη )S =
(3.20)
(Fη )R +
Czα c(η) ∆α
Γ
2
Le coefficient Γ est ajusté de manière à équilibrer la portance totale et le
poids de l’avion :
MM T OW g
FS =
(3.21)
2
Pour cela, on intègre la formule précédente :
1 MM T OW g 7 b2 ρ V 2 σ Czα tan(ϕ) 2 ε2 ln(ε) ε + 1
+
−
(3.22)
FS =
Γ
2
(ε − 1)2
ε−1
64 nz h er E
On obtient alors l’expression de Γ :
7 b2 ρ V 2 σ Czα tan(ϕ)
Γ=1+
32 MM T OW g nz h er E
P.I.R.
2 ε2 ln(ε) ε + 1
−
(ε − 1)2
ε−1
(3.23)
17 mars 2005
3.5 Application numérique
14
On calcule ensuite la composante suivant Ox du moment de tangage
associé à la force FS :
b tan(ϕ) MM T OW g 2 ε + 1
12 Γ
ε+1
MS =
7 b3 ρ V 2 σ Czα sin(ϕ) tan(ϕ) 6 ε2 (2ε − 3) ln(ε) − (ε − 1)(4ε2 − 5ε − 5)
+
(ε − 1)3
1152 nz h er E Γ
(3.24)
En introduisant cma , on a :
λ tan(ϕ) MM T OW g 2 ε + 1
cma
12 Γ
ε+1
MS =
+
7 λ3 σ Czα sin(ϕ) tan(ϕ) 6 ε2 (2ε − 3) ln(ε) − (ε − 1)(4ε2 − 5ε − 5)
ρ V 2 c3ma
3
(ε
−
1)
1152 nz h er E Γ
(3.25)
Puis on obtient la position du foyer de l’avion souple :
xS = −
MS
FS
(3.26)
Le déplacement du foyer peut alors être évalué par :
∆x = xS − xR =
3.5
MR − M S
MM T OW g
2
(3.27)
Application numérique
Pour un Airbus A300-600 c , on a :
– ϕ = 28˚
– b = 39.6 m
– h = 0.93
– er = 0.11
c
Élodie Roux, Modèle de masse voilure [1], p. 30-32
P.I.R.
17 mars 2005
3.5 Application numérique
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
15
cemp = 10 m
ε = 0.29
E = 2.1011 P a
MM T OW = 165000 kg
V = 245 m.s−1 (M = 0.82)
nz = 2.5 × 1.5 = 3.75
g = 9.81 m.s−2
σ = −3.10−3 E = −6.108 P a
ρ = 0.403 kg.m−3 (à une altitude de 10000 m)
C zα = 5
Après calcul, on obtient :
 xR

= −0.67

 cma
soit


 xS = −0.62
cma
xR = −4.29 m
xS = −4.03 m
(3.28)
(3.29)
On obtient finalement un avancement du foyer dans le cas de statique de :
∆x
= 4.13%
cma
(3.30)
∆x = 0.27 m
(3.31)
soit
P.I.R.
17 mars 2005
16
Chapitre 4
Validité du modèle
Le résultat présenté au chapitre précédent a été obtenu en utilisant certaines hypothèses dont il faut vérifier la validité.
Nous comparerons également notre résultat numérique à la donnée-constructeur.
4.1
4.1.1
Choix de la répartition de portance
Corde linéaire
On a choisi de représenter l’aile comme un trapèze. Ce choix de forme ne
correspond pas à l’aspect réel d’une aile. En effet, afin de ménager de l’espace
pour le mécanisme du train d’atterrissage, le bord de fuite des ailes de la
plupart des avions de transport civil présente une cassure que nous n’avons
pas prise en compte (voir figure 4.1). Celle-ci se traduit par un changement
de flèche du bord de fuite (flèche nulle à l’emplanture).
Fig. 4.1 – Airbus A300 cassure du bord de fuite
P.I.R.
17 mars 2005
4.2 Modèle de structure
17
Cette cassure invalide notre hypothèse de corde linéaire. Du même coup,
la surface alaire réelle de l’avion n’est pas celle qu’on obtient par notre calcul.
Toutefois la différence relative entre ces deux aires est inférieure à 1.5%, ce qui
justifie cette approximation. En outre, les déformations de l’aile ont surtout
lieu à son extrémité, et c’est donc cette partie de l’aile qui influence le plus
le déplacement du foyer.
4.1.2
Portance proportionnelle à la corde
Dans notre développement, pour simplifier les calculs, nous avons supposé
que la portance locale était proportionnelle à la corde.
Il existe d’autres modèles plus réalistes de répartition de portance, comme
la répartition elliptique. Cependant on ne peut pas mener des calculs de
manière analytique avec ce type de modèles.
Nous avons aussi négligé les contributions du fuselage et de l’empennage
alors qu’ils participent également au moment de tangage et au déplacement
du foyer par leur souplesse [2].
En tout état de cause, il nous est difficile d’estimer l’erreur que nous
commettons en faisant cette hypothèse.
4.2
4.2.1
Modèle de structure
Semelles du caisson
Nous avons dimensionné la surface de la semelle extrados du caisson en
considérant qu’elle ne travaillait qu’en compression. Le dimensionnement
pourrait être amélioré en appliquant le modèle plus précis développé par
Élodie Roux [1].
Pour la semelle intrados, nous avons raisonné sur les facteurs de charge
extrêmes ce qui a certainement introduit une erreur supplémentaire.
Ces deux approximations disparaîtraient si l’on avait accès aux donnéesconstructeur.
4.2.2
Influences
Les hypothèses utilisées pour déterminer les surfaces des semelles du caisson ont un impact direct sur l’estimation du moment quadratique.
Puis on a introduit la déformation de l’aile en considérant que le problème se ramenait à celui d’une poutre 1D. Là encore la validité de ce choix
P.I.R.
17 mars 2005
4.3 Simplification de la statique de l’avion souple
18
est discutable compte tenu des dimensions du caisson.
Toutes les petites approximations signalées se cumulent, et il nous est malheureusement difficile de connaître l’ordre de grandeur des erreurs qu’elles introduisent. La seule façon de s’affranchir de ces approximations serait d’avoir
accès aux données-constructeur (surface de la semelle, mesure directe en essai
en vol de la déformation de l’aile. . .).
4.3
Simplification de la statique de l’avion
souple
Lors du calcul de l’avancement du foyer, nous avons d’abord étudié le cas
de l’avion rigide auquel nous avons ajouté une perturbation (variation locale
d’incidence) pour obtenir le cas de l’avion souple.
Ce raisonnement aurait fourni une portance inférieure au poids si nous
n’avions pas normalisé la portance totale.
Pour être rigoureux, il aurait fallu redéfinir l’équilibre de l’avion en utilisant les angles d’incidence. On aurait alors des incidences différentes dans
les cas rigide et souple (l’incidence dans le cas souple étant plus faible que
celle dans le cas rigide).
1
(4.1)
F = ρ V 2 S C zα α
2
Conformément à l’équation 4.1, si l’on veut que F soit constante alors
que α diminue, il faut que V augmente (toutes choses égales par ailleurs).
D’un point de vue quantitatif, il est impossible d’avoir accès aux paramètres de vol de l’avion rigide puisque tous les avions sont souples.
P.I.R.
17 mars 2005
Synthèse
19
Synthèse
Le déplacement que nous avons calculé n’est dû qu’à la souplesse des ailes.
Comme nous l’avons dit précédemment, fuselage et empennage contribuent
également à la portance et leur souplesse participe à l’avancement du foyer.
On peut prendre en compte cet incrément en reprenant les résultats d’une
étude précédente de l’ONERA a qui évalue cette contribution à l’avancement
à 0.99% de la cma . On l’ajoute alors à notre résultat (4.13%). On obtient
finalement un avancement du foyer de l’avion de 5.12% de la cma .
Pour l’avion complet, par une méthode statistique, Airbus b évalue l’avancement du foyer à 7.27%.
Modèle empennage-fuselage ONERA
Modèle voilure présenté
Total empennage-fuselage-voilure
Modèle statistique Airbus (avion complet)
Déplacement du foyer
en pourcentage de la cma
-0.99
-4.13
-5.12
-7.27
L’ordre de grandeur de notre résultat est satisfaisant compte tenu de la
simplicité du raisonnement que nous avons suivi.
Avec des modèles rustiques, on a réussi à approcher l’avancement réel du
foyer. En les approfondissant, on peut donc sans doute représenter la réalité
avec une meilleure fidélité. De plus, la prise en compte des effets dynamiques
devrait certainement améliorer l’estimation du déplacement du foyer.
a
b
section 3.3 de la référence [2]
section 3.3 de la référence [2]
P.I.R.
17 mars 2005
Bibliographie
20
Bibliographie
[1] Élodie Roux, Modèle de Masse Voilure, thèse SUPAERO - ONERA, 2003
[2] Marco Adurno, L’avion souple : approche analytique — avions de
transport civil, stage long SUPAERO - ONERA, 2003-2004
P.I.R.
17 mars 2005