A tutorial calculus for factorial analysis

A tutorial calculus for factorial analysis

Université de Caen Basse-Normandie
1
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
AFC régions et âges en france en 1968
Sommaire
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.1
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1
1
1
3
11
Objectifs
–
–
–
–
–
–
–
–
1.2
Objectifs . .
Description
Enoncé . . .
Sorties SAS
Graphiques
Tableau de contingence.
Préparation des données
Procédures CORRESP, FREQ
Pourcentage par ligne ou colonnes
Profil ligne, colonne ,
Indices de liaisons, interprétations
Projection des profils ligne ou colonne des indices de liaisons.
Etude démographique.
Description
Les données contenues dans le fichier http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/data/regions.ages.1968.txt concernent
une partie du recensement de 1968 : un tableau de contingence entre les régions et les tranches d’ages ( hommes et femmes).
Pour chaucune des 22 régions (en ligne) de la france métropolitaine il indique le nombre d’hommes et de femmes (en millier)
par tranche d’age de 5 ans. Ainsi le variable HF40 indique le nombre d’hommes et de femmes dont l’age vérifie 40 ≤ age < 45.
Cet exemple a été inspiré d’une feuille de travaux dirigé faite par F.G Carpentier de l’université de Brest.
1
2
3
4
5
6
CODES.REG
PARI
HAM
PICA
HNOR
BNOR
NORD
HF00
593
101
126
116
99
303
HF05
695
120
150
141
120
366
HF10
669
116
148
139
120
361
HF15
703
119
89
139
120
361
Table 1 – Premières lignes et colonnes du tableau de contingence
1.3
Enoncé
On note X ∈ M22,16 (R) la matrice des indices de liaisons de ce tableau de contingence.
1. Le tableau de contingence étudié est une matrice de 22 lignes ou régions et 16 colonnes ou trances d’âges. Quel est
la définition de l’analyse des correspondances simples de ce taleau de contingence ? On rappelera la définition de la
métrique M sur l’espace des lignes et la métrique D sur l’espace des colonnes.
2. Que vaut l’inertie totale ? , kXk2M,D ?
3. Vérifier théoriquement que le vecteur fage = (f.1 , f.2 , · · · , f.16 )′ ∈ M16,1 (R) est dans le noyau de la matrice de liaison.
Que peut-on en déduire que les valeurs singulières de la matrice X et sur le rang de X ?
4. Quelle est la valeur du test du chi2 d’indépendance entre les deux variables régions et tranches d’âges ? (la somme
des éléments du tableau de contingence vaut 49365). Quel le nombre de degré de liberté de cette loi. Peut-on accepter
l’hypothèse d’indépendance ? Est ce que les résultats indiqués par SAS sont corrects ?
5. Combien faut-il retenir de facteurs pour expliquer au moins 80% de l’inertie totale ? Dans toute la suite on considérera
que l’on a choisit les deux premiers axes factoriels.
6. Dans cette question on va s’intéresser aux résultats concernant les régions : les lignes de la matrice X.
(a) Dans l’onglet ”Quality, Mass, Inertia” des résultats des lignes, on voit que la colonne MASS indique pour la région
PARI une valeur de 0.187. Quel est la signification de cette valeur ?
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(b) Dans l’onglet ”Quality, Mass, Inertia” des résultats des lignes, on voit que la colonne INERTIA indique que la région
LOIR (pays de la Loire) explique 18.35% de l’inertie totale. Exprimez kXk2M,D en fonction de kXi k2M et de fi. pour
1 ≤ i ≤ 22. En déduire kXLOIR k2M .
2
2
(c) Soit XLOIR
la projection orthogonale du vecteur XLOIR sur le premier plan factoriel. Calculer kXLOIR
k2 .
(d) Dans l’onglet ”Quality, Mass, Inertia” des résultats des lignes, on voit que la colonne Quality indique que la
région LOIR a une qualité d’approximation de 71.84%. Définir cet indice de qualité en fonction de kXLOIR k2 et
2
de kXLOIR
k2 . Vérifiez vos résultats.
(e) Dans l’onglet ”Squared cosines for the Row points”, on constate que pour la région LOIR le cosinus carré avec
le deuxième axe est d’environ 0.7158. Donnez la formule définissant ce nombre en fonction des coordonnées de
XLOIR dans la base factorielle et de kXLOIR k2 .
7. D’après le graphique représentant la projection des régions dans le premier plan factoriel, indiquer une région qui semble
avoir la répartition des âges la plus éloignée de la répartition moyenne en justifiant votre réponse. De même indiquer
une région qui semble avoir un profil d’âge le plus proche du profil moyen de la population française en justifiant votre
réponse.
8. La région Picardie apparaı̂t proche de l’origine dans la représentation graphique de la projection des régions sur le
premier plan factoriel. Peut-on en déduire que le profil des tranches d’âges de la région picardie est proche de la
moyenne nationale en justifiant votre réponse ?
9. On veut expliquer les deux premiers axes principaux de l’espace des lignes.
(a) Quel sont les régions les plus corrélées positivement avec le premier axe factoriel, puis les régions les plus corrélées
négativement.
(b) Interprétez le premier axe à l’aide d’une répartition géographique très simple. Comment décrire simplement ce
phénomène à l’aide des profils des tranches d’âges par région ?
(c) Expliquez alors le deuxième axe principal de l’espace des lignes.
10. Analyser alors ce tableau de contingence.
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Sorties SAS
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Inertia and Chi-Square Decomposition
Singular Principal
ChiCumulative
Value
Inertia Square Percent
Percent
9
18
27
36
45
----+----+----+----+----+---
0.07860
0.00618 305.009
44.87
44.87 *************************
0.07073
0.00500 246.988
36.34
81.21 ********************
0.03551
0.00126
62.244
9.16
90.37 *****
0.02571
0.00066
32.641
4.80
95.17 ***
0.01759
0.00031
15.266
2.25
97.42 *
0.01288
0.00017
8.189
1.20
98.62 *
0.00872
0.00008
3.751
0.55
99.17
0.00679
0.00005
2.279
0.34
99.51
0.00571
0.00003
1.612
0.24
99.75
0.00383
0.00001
0.726
0.11
99.85
0.00344
0.00001
0.584
0.09
99.94
0.00211
0.00000
0.219
0.03
99.97
0.00160
0.00000
0.126
0.02
99.99
0.00093
0.00000
0.043
0.01
100.00
0.00068
0.00000
0.023
0.00
100.00
0.01377 679.698
100.00
Total
Degrees of Freedom = 315
Row Coordinates
Dim1
Dim2
PARI
-0.0182
0.1131
HAM
-0.0551 -0.0353
PICA
-0.0324 -0.0170
HNOR -0.0765 -0.0251
BNOR
-0.0697 -0.0535
NORD
-0.1531 -0.0390
LORR
-0.1094 -0.0195
ALSA
-0.0411
0.0107
FCOM -0.0566 -0.0242
LOIR
-0.0114 -0.1902
RHON -0.0250
BRET
0.0308
0.0088 -0.0325
FK 10APR2005:19:11:51
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POIT
0.0503 -0.0611
AQUI
0.0944 -0.0211
MIDI
0.1085 -0.0132
CENT
0.0501 -0.0344
BOUR
0.0707 -0.0456
AUVE
0.0942 -0.0176
LANG
0.1251 -0.0200
PROV
0.0817
LIMO
0.2079 -0.0281
CORS
0.1237
0.0339
0.0692
Summary Statistics for the Row
Points
Quality Mass Inertia
PARI
0.9273 0.1873
0.1924
HAM
0.6249 0.0259
0.0129
PICA
0.0787 0.0307
0.0381
HNOR
0.8232 0.0302
0.0173
BNOR
0.8229 0.0254
0.0173
NORD
0.8604 0.0747
0.1575
LORR
0.8571 0.0459
0.0480
ALSA
0.3443 0.0286
0.0109
FCOM
0.6706 0.0202
0.0083
LOIR
0.7184 0.0500
0.1835
RHON
0.7928 0.0894
0.0129
BRET
0.3567 0.0499
0.0115
POIT
0.8038 0.0300
0.0170
AQUI
0.9377 0.0497
0.0360
MIDI
0.9603 0.0441
0.0399
CENT
0.6232 0.0403
0.0173
BOUR
0.7933 0.0304
0.0197
AUVE
0.9503 0.0265
0.0186
LANG
0.9627 0.0346
0.0419
PROV
0.9292 0.0670
0.0409
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LIMO
0.9548 0.0149
0.0498
CORS
0.7604 0.0043
0.0082
Partial Contributions
to Inertia for the Row
Points
Dim1 Dim2
PARI
0.0101 0.4785
HAM
0.0127 0.0065
PICA
0.0052 0.0018
HNOR 0.0286 0.0038
BNOR
0.0200 0.0145
NORD 0.2837 0.0227
LORR
0.0889 0.0035
ALSA
0.0078 0.0007
FCOM 0.0105 0.0024
0.0010 0.3615
LOIR
RHON 0.0090 0.0169
BRET
0.0006 0.0105
POIT
0.0123 0.0224
AQUI
0.0717 0.0044
MIDI
0.0842 0.0015
CENT
0.0164 0.0095
BOUR
0.0246 0.0126
AUVE
0.0380 0.0016
LANG
0.0876 0.0028
PROV
0.0723 0.0154
LIMO
0.1042 0.0024
CORS
0.0106 0.0041
Indices of the Coordinates
that Contribute Most to
Inertia for the Row Points
Dim1 Dim2 Best
PARI
0
2
2
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HAM
0
0
1
PICA
0
0
1
HNOR
0
0
1
BNOR
0
0
1
NORD
1
0
1
LORR
1
0
1
ALSA
0
0
1
FCOM
0
0
1
LOIR
0
2
2
RHON
0
0
2
BRET
0
0
2
POIT
0
0
2
AQUI
1
0
1
MIDI
1
0
1
CENT
0
0
1
BOUR
0
0
1
AUVE
1
0
1
LANG
1
0
1
PROV
1
0
1
LIMO
1
0
1
CORS
0
0
1
Squared Cosines for
the Row Points
Dim1 Dim2
PARI
0.0235 0.9038
HAM
0.4428 0.1821
PICA
0.0617 0.0170
HNOR 0.7431 0.0800
BNOR
0.5179 0.3050
NORD 0.8081 0.0523
LORR
0.8308 0.0263
ALSA
0.3226 0.0217
FCOM 0.5671 0.1035
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LOIR
0.0026 0.7158
RHON 0.3146 0.4782
BRET
0.0243 0.3325
POIT
0.3247 0.4791
AQUI
0.8930 0.0447
MIDI
0.9463 0.0140
CENT
0.4238 0.1994
BOUR
0.5603 0.2330
AUVE
0.9183 0.0320
LANG
0.9386 0.0241
PROV
0.7927 0.1365
LIMO
0.9376 0.0172
CORS
0.5793 0.1811
Column Coordinates
Dim1
Dim2
HF00 -0.0891 -0.0570
HF05 -0.0798 -0.0701
HF10 -0.0691 -0.0819
HF15 -0.0429 -0.0693
HF20 -0.0465
0.0367
HF25 -0.0388
0.1174
HF30 -0.0417
0.1832
HF35 -0.0226
0.0488
HF40 -0.0027
0.0274
HF45
0.0217
0.0169
HF50
0.0650
0.0356
HF55
0.0580 -0.0247
HF60
0.0722 -0.0080
HF65
0.1447 -0.0152
HF70
0.1823 -0.0186
HF75
0.1612 -0.0486
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Summary Statistics for the
Column Points
Quality Mass Inertia
HF00
0.9181 0.0703
0.0622
HF05
0.9393 0.0848
0.0740
HF10
0.9100 0.0836
0.0767
HF15
0.6180 0.0843
0.0659
HF20
0.6679 0.0769
0.0294
HF25
0.7172 0.0579
0.0896
HF30
0.7775 0.0604
0.1993
HF35
0.7396 0.0680
0.0193
HF40
0.4781 0.0674
0.0078
HF45
0.3255 0.0626
0.0106
HF50
0.7083 0.0397
0.0223
HF55
0.7199 0.0575
0.0230
HF60
0.8080 0.0541
0.0256
HF65
0.9019 0.0467
0.0796
HF70
0.8766 0.0348
0.0968
HF75
0.8904 0.0510
0.1179
Partial
Contributions to
Inertia for the
Column Points
Dim1 Dim2
HF00 0.0903 0.0455
HF05 0.0874 0.0834
HF10 0.0647 0.1121
HF15 0.0251 0.0810
HF20 0.0269 0.0208
HF25 0.0141 0.1594
HF30 0.0170 0.4053
HF35 0.0056 0.0323
HF40 0.0001 0.0101
HF45 0.0048 0.0036
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Regions et Ages en 68
HF50 0.0271 0.0100
HF55 0.0313 0.0070
HF60 0.0456 0.0007
HF65 0.1583 0.0021
HF70 0.1872 0.0024
HF75 0.2144 0.0241
Indices of the
Coordinates that
Contribute Most to
Inertia for the Column
Points
Dim1 Dim2 Best
HF00
1
0
1
HF05
1
1
1
HF10
2
2
2
HF15
0
2
2
HF20
0
0
1
HF25
0
2
2
HF30
0
2
2
HF35
0
0
2
HF40
0
0
2
HF45
0
0
1
HF50
0
0
1
HF55
0
0
1
HF60
0
0
1
HF65
1
0
1
HF70
1
0
1
HF75
1
0
1
Squared Cosines for
the Column Points
Dim1 Dim2
HF00 0.6518 0.2662
HF05 0.5300 0.4093
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Regions et Ages en 68
HF10 0.3786 0.5314
HF15 0.1713 0.4467
HF20 0.4112 0.2567
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10
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
1.5
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
Graphiques
Figure 1 – Tranches d’ages
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
11
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
Figure 2 – Régions
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
12
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
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13
[email protected]
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10 octobre 2013
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Regions et Ages en 68
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Regions et Ages en 68
FK 09APR2005:10:17:57
Regions et Ages en 68
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15
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Regions et Ages en 68
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Percent of Column Frequency
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Regions et Ages en 68
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Percent of Column Frequency
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region
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age=HF55
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Percent of Column Frequency
Percent of Column Frequency
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A
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A
Département de Mathématiques et Mécanique
FK 09APR2005:10:17:57
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region
Regions et Ages en 68
FK 09APR2005:10:17:57
Regions et Ages en 68
Figure 4 – Profils régions par tranches d’ages
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
14
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
region=AUVE
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age
FK 09APR2005:10:17:57
Regions et Ages en 68
Figure 5 – Profil Auvergne
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
15
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
region=PARI
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30
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age
FK 09APR2005:10:17:57
Regions et Ages en 68
Figure 6 – Profil région parisienne
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
16
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
region=LOIR
Percent of Row Frequency
30
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H
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H
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age
FK 09APR2005:10:17:57
Regions et Ages en 68
Figure 7 – Profil Pays de la Loire
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
17
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
Figure 8 – Biplot isométrique age
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
18
[email protected]
Université de Caen Basse-Normandie
10 octobre 2013
Département de Mathématiques et Mécanique
Figure 9 – Biplot isométrique region
http://www.math.unicaen.fr/~kauffman/cours
19
[email protected]