Un théorème de réalisation de groupes réticulés

Pacific Journal of
Mathematics
UN THÉORÈME DE RÉALISATION DE GROUPES RÉTICULÉS
PAULO R IBENBOIM
Vol. 10, No. 1
September 1960
UN THEOREME DE REALISATION DE
GROUPES RETICULES
P . RlBENBOIM
En 1939, Lorenzen [4] a demontre que tout groupe reticule est isomorphe a un sous-groupe sous-reticule d'un produit direct de groupes
totalement ordonnes. Pour le faire, il a utilise la theorie des systemes
d'ideaux, introduite auparavant par Krull [2] dans Γarithmetique des anneaux d'integrite commutatifs.
Dans cette note, nous demontrons ce meme theoreme par une methode distincte, qui utilise la notion de filet de Jaffard [1]. Notre
demonstration semble plus transparente et met en relief certains aspects
d'interet qui ne sont pas du tout apparents dans le travail de Lorenzen: (1)
la realisation qui nous obtenons est completement reguliere, de Hausdorff
et fidele (ces termes sont definis ci-dessous); (2) il y a une relation entre
les ultraίiltres de Γ ensemble des filets du groupe donne et les pre-ordres
totaux plus fins, laquelle est utile pour exprimer Γordre donne comme
la conjonction d'ordres totaux plus fins (cf. Krull [3], Ribenboim [5, 6]).
1. Rappelons d'abord les definitions et resultats qui seront utilises.
Soit G un groupe (abelien additif) reticule (selon Γordre <S) et notons
P Γensemble des elements positifs de G; G est un reticule distributif.
Si feP soit E(f) == {geP\g Λf-0}
Γensemble des elements de P
etrangers a /. Posons f=g si et seulement si E(f) = E(g). La classe
d'equivalence / contenant Γelement fe P s'appelle le filet de /. Soit
Γensemble des filets du groupe G, determines par les elements feP.
est ordonne en posant / ^ g si et seulement si E(f) Ώ. E(g); ^ possede un premier element 0 = {0} si /, g e P, / ^ g alors f^g;
^ est
un reticule distributif:
on a / Λ g = 0 si et seulement si / Λ g = 0; ^ est disjonctif: si/, g e
f ne suit pas g dans ^~, il existe h e ^ tel que 0 Φh ^g,h Λ 7=0.
Si /eG(mais non necessairement feP) posons par definition: f —
f~ V/-, donc/=T71, ou | / | = / + . + /-eP.
Soit (GL)ίei une famille de groupes totalement ordonnes, ILez Gt leur
produit direct ordonne; un isomorphisme θ d'un groupe ordonne G dans
ILeiGt s'appelle une realisation lorsque prLθ(G) = Gt quelque soit ce I.
Par un theoreme de Lorenzen-Dieudonne, un groupe ordonne G admet
une realisation si et seulement s'il verifie la condition suivante: si feG
Received March 16, 1959.
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P. RIBENBOIM
et nf }t 0, oύ n est un entier strictement positif, alors / ^ 0. En particulier, tout groupe reticule satisfait cette condition et admet alors une
realisation.
La realisation θ : G—>Θ(G) c γ[ιei GL est dite concordante (ou propre)
lorsque Θ(G) est un sous-reticule de ILez GL (la realisation obtenue dans
la demonstration du theoreme de Lorenzen-Dieudonne n'est pas concordante).
Si feG notons σ(f)= {cel\ prβ{f)Φθ}.
Alors σ(fVg) = σ(f) Uσ(g),
σ
(f Λ g) = o(f) Π o(g) lorsque θ est une realisation concordante.
La realisation Θ:G—>Θ(G) c; J[ιeiGt est dite completement reguliere
lorsque : si c e I, fe P, c φ σ(f) alors il existe g e P tel que c e σ{g), σ(f) Π
σ(g) = φ.
La realisation 0: G—>Θ(G) c Π t e z ^ est dite de Hausdorff lorsque:
si c,ιceI,cΦic, il existe f, geP tels que f 6σ(/), Λ:e<τ(flf), σ(f)Πσ(g)—φ.
La realisation indiquee dans le theoreme de Lorenzen-Dieudonne
n'est pas completement reguliere, ni de Hausdorff.
LEMME 1. Si θ est une realisation concordante et completement
reguliere alors θ est fidele, c'est-ά-dire: si f,geP
alors f—'g si et
seulement si σ(f) = σ{g) ainsi a definit un isomorphisme du reticule
^
des filets de G sur un sous-reticule de celui de parties de Vensemble
7, en posant σ(f) = σ(f).
En effet, soit / = g et ceσ(g), cφσ(f); alors il existe heP tel que
c e σ(h), σ(h) Π σ(f) = φ; done σ(h A f) = Φ et h A f = 0; or, ^ etant
concordante, f e σ(fe) n ^(έ/) = o{h A g) done h A g Φ 0 et alors f Φg,
absurde! Ainsi, on a bien σ(/) = σ(g).
Reciproquement, si σ(f) = α(flf), si fe 6 P est tel que fe Λ / = 0, alors
Φ = ^(fe Λ /) = tf(fe) Π <x(/) = tf(fe) Π σ(flf) = σ(fe Λ g)
done fe Λ g = 0, et vice-versa, done / = g.
Par consequent, si on pose σ(/) = </(/) alors 5(δ) = φ, σ(f V ff) =
^(7) U S(^)» ^(/Λ ^) = 5(/) Π σ(g)(oϋ.f,geP) et σ est bien un isomorphisme du reticule ^~ des filets de G dans celui des parties de /.
2* Theoreme de realisation* Tout groupe reticule admet une realisation concordante et completement reguliere.
Demonstration.
1°. Soit G le groupe reticule dohne, ^ le reticule des filets de G,
Ω Γensemble des ultrafiltres de ^ . Pour tout UeΩ soit Pσ = {feG\
il existe a e U tel que / . Λ α = 0}. Alors P^ + P ^ c P ^ , En effet, si
/, # 6 G et /3, 7 e U sont tels que 7- Λ β = 0, </_ Λ 7 = 0 alors
(/ + 0)- Λ (β A 7) ^ /- + flr- Λ G8 Λ 7) = (/- V ^1) Λ (/3 Λ 7)
=(/ΓΛ
/8 Λ 7) V (ffl Λ /5 Λ 7) = 0
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avec β A Ύ e U, done/ + g e Pσ. De meme, Pσ Π (—Pu) = {/β G | il existe
a e U tel que / Λ « = 0}, En effet, si f Aa = 0 alors de / = /+ V/vient 0 = / Λ a = (f+ V /-) Λ a = (/+ Λ α) V (/I Λα) done /_ Λ α=0,
(-/)_ Λ α = / + Λ α = 0; reciproquement. Enίin, G = P,, U {-Pu). En
efFet, si fφPπ alors /_ Λ tf Φ 0 quelque soit aeU, done /+ 0 Ϊ7 (car
/_ Λ /+ = 0) et alors il existe /3 e U tel que 0 = / + Λ β = ( - / ) - Λ ft
e'est-a-dire —fePπ.
2°. Nous venons de voir que Pυ defίnit un pre-ordre total compatible
sur G. Soit G'v = GI(Pσ Π(-Pu)) et considerons Ptu^Pϋl(Pϋ r\(-Pσ)) done
Pσ definit un ordre total compatible sur Gπ. Pour t o u t / e G soit f'σ son
image canonique en G'π. Si / 6 G posons θ(f) = (/' σ ) σ € α e IltreiG^ et
montrons que θ est un isomorphisme de G dans le produit direct ordonne
Π^ΘΩ G'u. D^abord θ(f + g) = θ(f) + θ(g) car (/ +_(/){, = f'σ +j'σ quelque soit £7GJ2. Si / ^ 0 il existe Z7eβ tel que fe U done / Λ α ^ 0
quelque soit α e Uetf $ Pπ n (~P^), e'est-a-dire /[, ^ 0 et alors θ(f)Φθ.
Si feP alors /_ = 0 done/eP^ quelque soit UeΩ et alors 6>(/) = (/^)ί76Ω
est positif dans Π^GΩG^. Reciproquement, s i / 0 P alors /_ =£ 0 done il
existe U e Ω tel que /_ e Ϊ7 et alors fφPπ car /_ Λ # ^ 0 quelque soit
α e Ϊ7, done 0(/) n'est pas positif, car f'π 0 P'π .
3°. ^ est une realisation, car prπθ(G) — Gπ quelque soit UeΩ; en
efFet, si f'σ e G'σ avec fe G alors Wu&(f)—fu- L'isomorphisme θ est concordant, e'est-a-dire, θ(fAg)= ud{θ(f), % ) } , θ(f V flr) = sup {^(/), %)}
(inf et sup pris dans ΓLGΩ G'σ); pour cela, on doit montrer que prσθ(fAg) =
inf {prσθ(f), prσθ(g)} (inf pris dans G^) pour tout Ϊ7 e β (analoguement
pour le sup). Puisque Gπ est totalement ordonne, alors par exemple
f'u ^ g'u dans g'u — f'u =- {g — f)'u £P'u et alors g — fePUy
done il existe
β e U tel que (# — /)_ Λ β = 0 or, alors / Λ g et / sont quasi-egaux
selon le pre-ordre defini par Pσ, e'est-a-dire, / Λ ^ — / e P ^ n ί — P σ ) ; en
effet, f Ag -f A β = 0 A (g - f) A β = - (flf - / ) - Λ /3 = 0. Done
Λ flf) = (/ Λ flr)^ = A = Λ Λ flk - inf {pr^f),
prπθ{g)}.
4°. Montrons maintenant que la realisation est completement reguliere.
Soit UeΩ,feP tel que ί/0 σ(f)= {Ve Ω\prvθ(f) Φ 0}, done prσθ(f) = 0
et alors fePσΠ (Pu) ainsi, il existe g eP,g eU, tel que f Ag = 0, done
= 0 et par consequent σ(/) Π ^(^) = Φ; enfin pr^g) Φ 0, e'est-a-dire
Π (—iV), sinon il existe /8 e Ϊ7 tel que g Λ β = 0, absurde!
On a σ(/) = {UeΩ\feU}
quelque soit feG, et θ est
une realisation de HausdorfF. En efFet, &ifeG,feU,
alors prσθ(f)Φθ,
car sinon / e Pυ Π (— P^) et il existe a e U tel que / Λ α = 0, absurde !
REMARQUE.
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P. RIBENBOIM
Reciproquement, si fφ U il existe β e U tel que fAβ=0 done f e Pv Π
{-Pu) et alors prvθ(f)=0.
II resulte que si U, VeΩ, Uφ V, il existe
f,gePte\ que feUjφ
V, g e V,fΛg = 0, done gφ U et alors Ueσ(f),
V e <7(flr), / Λ flf = 0, done σ ( / ) n <τ(ff) = Φ
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4. P. Lorenzen, Λbstrakte Begrύndung der multiplikativen
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6.
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entre ΓAffinement de Filtres et d'Ordres, Summa Bras. Math., 4 (1958) 65-89.
INSTITUTO DE MATEMATICA PURA E APLICADA,
RIO DE JANEIRO, BRASIL
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
EDITORS
DAVID GILBARG
A.
Stanford University
Stanford, California
F. H.
L.
WHITEMAN
University of Southern California
Los Angeles 7. California
L.
BROWNELL
Jniversity of Washington
Seattle 5, Washington
J. PAIGE
University of California
Los Angeles 24, California
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I. F. BECKENBACH
Γ. M. CHERRY
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A. HORN
L. NACHBIN
M. OHTSUKA
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E. SPANIER
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